Ριζικά

kostas136 · #1

Αν για τους θετικούς a, b

ισχύει

να αποδείξετε:

$\displaystyle \sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{2+2\sqrt{a}}$

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ανδρέας Πούλος · #3

Ας δώσουμε μια λύση "φαντεζί".
Θέτουμε $\sqrt{a} + \sqrt{b} = x$ και $\sqrt{a} - \sqrt{b} = y$ .
Με πρόσθεση αυτών των σχέσεων έχουμε $2\sqrt{a} = x + y$ .

Άρα, η αρχική σχέση ξαναγράφεται ως: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2+x+y}$ .
Αν την υψώσουμε στη δεύτερη δύναμη προκύπτει η σχέση:

$x + y + 2\sqrt{xy} = 2 + x + y \Rightarrow \sqrt{xy} = 1$ ,
η οποία ισχύει αφού είναι η σχέση α - β = 1 με άλλη μορφή.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

mathfinder · #4

Είναι $\left(\sqrt{\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }} +\sqrt{\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }} \right)^{2}=\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }+\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }+2\sqrt{\left(\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta } \right)\left(\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta } \right)} = 2\sqrt{\alpha }+2$

οπότε $\sqrt{\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }} +\sqrt{\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }} =\sqrt{2+2\sqrt{\alpha }}$ (ως θετικοί αριθμοί ) .

Ριζικά

Ριζικά

Re: Ριζικά

Re: Ριζικά

Re: Ριζικά

Μέλη σε σύνδεση