Παραμετρική εξίσωση 4oυ βαθμού και πλήθος λύσεων

mathxl · #1

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{{({x^2} - 2x)^2} - (p + 3)({x^2} - 2x) + (p - 2) = 0}$
Να βρείτε την τιμή του p όταν
1) η εξίσωση έχει 4 πραγματικές λύσεις
2) η εξίσωση έχει μόνο 3 πραγματικές λύσεις
3) η εξίσωση έχει μόνο δύο πραγματικές λύσεις
4) η εξίσωση έχει μόνο μία πραγματική λύση
5) η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις

Από τον Stuart Clark

Find value of

for which the equation (x^2-2x)^2-(p+3)(x^2-2x)+(p-2)=0

has

(i) 4 real solutions

(ii) 3 real solutions only

(iii) 2 real solutions only

(iv) 1 real solution only

(v) No real solution.

#2

Θέτουμε

, οπότε η εξίσωση γίνεται:
y^2 - (p + 3)y + (p - 2) = 0

(Ι)

Η (Ι) είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με διακρίνουσα
$\Delta= [-(p + 3)]^2 - 4(p - 2) = p^2 + 6p + 9 - 4p + 8 = p^2 + 2p + 17 > 0$ ,
αφού το τελευταίο τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα.

Συνεπώς:
$\displaystyle{y_1 = \frac{{p + 3 + \sqrt {p^2 + 2p + 17} }}{2}}$ ή $\displaystyle{y_2 = \frac{{p + 3 - \sqrt {p^2 + 2p + 17} }}{2}}$ ,
οπότε
$\displaystyle{x^2 - 2x = \frac{{p + 3 + \sqrt {p^2 + 2p + 17} }}{2}}$ ή $\displaystyle{x^2 - 2x = \frac{{p + 3 - \sqrt {p^2 + 2p + 17} }}{2} \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2 - 2x - \frac{{p + 3 + \sqrt {p^2 + 2p + 17} }}{2} = 0 (II)}$ ή $\displaystyle{x^2 - 2x - \frac{{p + 3 - \sqrt {p^2 + 2p + 17} }}{2} = 0(III)}$

Η εξίσωση (ΙΙ) έχει διακρίνουσα
$\Delta _1 = 4 + 2p + 6 + 2\sqrt {p^2 + 2p + 17} = 2\left( {p + 5 + \sqrt {p^2 + 2p + 17} } \right)$ .
Λύνουμε την ανίσωση
$\Delta _1 > 0 \Leftrightarrow p + 5 + \sqrt {p^2 + 2p + 17} > 0 \Leftrightarrow\sqrt {p^2 + 2p + 17} > - p - 5 (IV)$
* Αν $-p-5 \leq 0 \Leftrightarrow p \geq -5$ , η ανίσωση (IV) ισχύει για κάθε $p \geq -5$
* Αν $-p-5 > 0 \Leftrightarrow p < -5$ , η
$(IV) \Leftrightarrow \sqrt {p^2 + 2p + 17} ^2 > ( - p - 5)^2 \Leftrightarrow p^2 + 2p + 17 > p^2 + 10p + 25\Leftrightarrow p<-1$
και συναληθεύοντας με την p < -5

, έχουμε

, άρα η (IV) ισχύει για κάθε p < -5

.
Επομένως η (IV) ισχύει για κάθε πραγματικό

, οπότε $\Delta_1>0$ και η (ΙΙ) έχει πάντα 2 πραγματικές και άνισες ρίζες.

Η εξίσωση (ΙIΙ) έχει διακρίνουσα
$\Delta _2 = 4 + 2p + 6 - 2\sqrt {p^2 + 2p + 17} = 2\left( {p + 5 - \sqrt {p^2 + 2p + 17} } \right)$ .
Λύνουμε την ανίσωση
$\Delta _2 > 0 \Leftrightarrow p + 5 - \sqrt {p^2 + 2p + 17} > 0 \Leftrightarrow\sqrt {p^2 + 2p + 17} < p+ 5 (V)$
* Αν $p+5 \leq 0 \Leftrightarrow p \geq -5$ , η ανίσωση (V) είναι αδύνατη.
* Αν $p+5 > 0 \Leftrightarrow p > -5$ , η
$(IV) \Leftrightarrow \sqrt {p^2 + 2p + 17} ^2 < ( p + 5)^2 \Leftrightarrow p^2 + 2p + 17 <p^2 + 10p + 25\Leftrightarrow p>-1$
και συναληθεύοντας με την p > -5

, έχουμε

, άρα η (IV) ισχύει για κάθε p > -1

.
Επομένως: $\Delta_2>0 \Leftrightarrow p>-1 \Leftrightarrow$ η (ΙΙΙ) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
Ομοίως αποδεικνύονται ότι:
$\Delta_2=0 \Leftrightarrow p=-1 \Leftrightarrow$ η (ΙΙΙ) έχει μία διπλή ρίζα και
$\Delta_2<0 \Leftrightarrow p<-1 \Leftrightarrow$ η (ΙΙΙ) δεν έχει πραγματικές ρίζες.

1) Η αρχικά δοσμένη εξίσωση έχει 4 πραγματικές ρίζες όταν η (ΙΙ) έχει 2 πραγματικές άνισες ρίζες και η (ΙΙΙ) έχει 2 πραγματικές άνισες ρίζες, το οποίο συμβαίνει όταν p > -1

.

2) Η αρχικά δοσμένη εξίσωση έχει 3 πραγματικές ρίζες όταν η (ΙΙ) έχει 2 πραγματικές άνισες ρίζες και η (ΙΙΙ) έχει 1 πραγματική ρίζα, το οποίο συμβαίνει όταν p =-1

.

3) Η αρχικά δοσμένη εξίσωση έχει 2 πραγματικές ρίζες όταν η (ΙΙ) έχει 2 πραγματικές άνισες ρίζες και η (ΙΙΙ) δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, το οποίο συμβαίνει όταν p <-1

.

4,5) Αφού η (ΙΙ) έχει πάντα δύο πραγματικές άνισες ρίζες, δεν υπάρχουν πραγματικοί p ώστε η αρχικά δοσμένη εξίσωση να έχει μόνο μία πραγματική ή καμία πραγματική ρίζα.

Linardatos · #3

ουα ου.... πλακα ειχε... και ολο αυτο για πρωτη λυκειου ε??

βαζω στοιχημα οτι τουλαχιστον το 70 % των μαθητων σε οποιοδηποτε τμημα Γ λυκειου (που να εχει πανω απο 10 μαθητες......) δεν μπορει να φτασει μεχρι το τελος και τουλαχιστον 50 % δεν μπορει να ολοκληρωσει την σκεψη...
στοιχηματιζει κανεις??? (just kidding) τρομερη ασκηση. μπραβο .....
<Γ/Λ>

Παραμετρική εξίσωση 4oυ βαθμού και πλήθος λύσεων

Παραμετρική εξίσωση 4oυ βαθμού και πλήθος λύσεων

Re: Παραμετρική εξίσωση 4oυ βαθμού και πλήθος λύσεων

Re: Παραμετρική εξίσωση 4oυ βαθμού και πλήθος λύσεων

Μέλη σε σύνδεση