Ταυτότητες μέσω συνάρτησης

KARKAR · #1

Για τους θετικούς a , b

ισχύει : $ab = \displaystyle\frac{1}{25}$

Ορίζω τη συνάρτηση : $f(x) = \sqrt{a^x} + \sqrt{b^x}$ για την οποία είναι γνωστό ότι f(1) = 1

.

Να συγκριθούν οι αριθμοί : $f(2) , \displaystyle\frac{f(4)-f(3)}{f(3)-f(2)}$

chris · #2

Είναι
$\displaystyle f(1)=1\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}=1\Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\Rightarrow a+b=1-\frac{2}{5}\Rightarrow f(2)=a+b=\frac{3}{5}$

$\displaystyle f(4)=a^2+b^2=\left(a+b \right)^2-2ab=\frac{9}{25}-\frac{2}{25}=\frac{7}{25}$
$\displaystyle f(3)=\left(\sqrt{a} \right)^3+\left(\sqrt{b} \right)^3=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left(a+b-\sqrt{ab} \right)=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$

Επομένως:
$\displaystyle \frac{f(4)-f(3)}{f(3)-f(2)}=\frac{\frac{7}{25}-\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}-\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}=f(2)$

KARKAR · #3

Σημαντική παράλειψη : Πού είναι τα (:) μετά το Είναι ;

Καλή χρονιά !!!

Ταυτότητες μέσω συνάρτησης

Ταυτότητες μέσω συνάρτησης

Re: Ταυτότητες μέσω συνάρτησης

Re: Ταυτότητες μέσω συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση