Απαιτητική άσκηση 4

mathxl · #1

Α)
α) Να λύσεε τις εξισώσεις $\displaystyle{{16 - {x^2} = 0}}$
και $\displaystyle{{{x^4} - 2{x^2} + 1 = 0}}$
β) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου $\displaystyle{{ - {x^2} + 5x - 7}}$
Β) Έστω η συνάρτηση f, με τύπο $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\left| { - {x^2} + 5x - 7} \right| - 3}}{{\left( {16 - {x^2}} \right)\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)}}}$
α) Να βρείτε τις τιμές του x, για τις οποίες έχει νόημα ο τύπος της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της
γ) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) \le 0}$

#2

A

α) Έχουμε : $\displaystyle{\displaystyle \begin{gathered} 16 - x^2 = 0 \Leftrightarrow 4^2 - x^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4 \vee x = - 4 \hfill \\ x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x^2 - 1} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} }$

β) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ=-3<0. Σ υνεπώς το τριώνυμο διατηρεί σταθερό πρόσημο, όμοιο με αυτό του α=-1
για κάθε χ πραγματικό αριθμό...Δηλαδή $\displaystyle{\displaystyle - x^2 + 5x - 7 < 0,\forall x \in \mathbb{R} }$ .

Β

α)Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα χ, τα οποία καθιστούν τον παρονομαστή του κλάσματος, αριθμό διάφορο του
μηδενός...Συνεπώς η f ορίζεται για κάθε χ πραγματικό, εκτός των τιμών -4,-1,1,4
Ή αλλιώς $\displaystyle{\displaystyle D_f = \mathbb{R} - \left\{ { - 4, - 1,1,4} \right\} }$ .

β) Είναι : $\displaystyle{\displaystyle | - x^2 + 5x - 7| = - ( - x^2 + 5x - 7) = x^2 - 5x + 7 }$ , αφού $\displaystyle{\displaystyle - x^2 + 5x - 7 < 0,\forall x \in \mathbb{R} }$ .
Αρα έχουμε: $\displaystyle{\displaystyle f(x) = \frac{{x^2 - 5x + 7 - 3}} {{\left( {16 - x^2 } \right)\left( {x^4 - 2x^2 + 1} \right)}} = \frac{{x^2 - 5x + 4}} {{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)\left( {x - 1} \right)^2 \left( {x + 1} \right)^2 }}\mathop = \limits^ * \frac{{(x - 1)(x - 4)}} {{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)\left( {x - 1} \right)^2 \left( {x + 1} \right)^2 }} = - \frac{1} {{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)^2 }},x \in D_f }$ .

γ) Έχουμε $\displaystyle{\displaystyle f(x) = - \frac{1} {{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)^2 }} \leqslant 0,x \in D_f \Leftrightarrow \frac{1} {{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)^2 }} \geqslant 0,x \in D_f \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)^2 \geqslant 0,x \in D_f }$ .
Εδω, δυστυχώς δε μπορώ να παραθέσω σωστό και όμορφο πίνακα προσήμου (αν μπορεί κάποιος συνάδελφος, ας το πράξει). Η επεξεργασία προσήμου δίνει:
$\displaystyle{\displaystyle x < - 4 \vee 1 < x < 4 \vee x > 4 }$ .
Ή με διαστήματα : $\displaystyle{\displaystyle x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( {1,4} \right) \cup \left( {4, + \infty } \right) }$

* Είναι : $\displaystyle{\displaystyle x^2 - 5x + 4 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) }$ , αφού Δ=9>0 και το τριώνυμο $\displaystyle{\displaystyle x^2 - 5x + 4 }$ , έχει για ρίζες, τους αριθμούς 1 και 4.

Απαιτητική άσκηση 4

Απαιτητική άσκηση 4

Re: Απαιτητική άσκηση 4

Μέλη σε σύνδεση