Δύο ασκήσεις από "Όπερ έδει Δείξαι"

kostas136 · #1

Σας γράφω 2 ασκήσεις που μου άρεσαν από το "Όπερ Έδει Δείξαι" των κυρίων Απλακίδη και Ζανταρίδη. Νομίζω ότι κάνουν υπέροχη δουλειά με αυτά που δημοσιεύουν.

1)Αν το άθροισμα a+b,

το γινόμενο

και η διαφορά $a^{2}-b^{2}$ δύο θετικών αριθμών a, b

είναι ο ίδιος μη μηδενικός αριθμός να βρεθεί το

2) Αν η εξίσωση $\displaystyle \x^{2}-(2a+1)x+a=0$ έχει ρίζες τους $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ και η εξίσωση $\displaystyle x^{2}+(a-4)x+a-1=0$ τους $\displaystyle x_{3}, x_{4}$ όπου $\displaystyle a\in R$ και ισχύει $\displaystyle \frac{x_{1}}{x_{3}}+\frac{x_{4}}{x_{2}}=\frac{x_{1}x_{4}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})}{a}$ να βρεθεί η τιμή του

nonlinear · #2

Για την 1

και από την a+b=a^2-b^2

έχω

από οπού

και αντικαθιστώντας στην a^2-b^2=ab

παίρνω

και παίρνω την θετική ρίζα.

#3

Για τη δεύτερη: Η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle{a(x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\left((x_{1}+x_{2})+(x_{3}+x_{4})\right)}$ .

Επειδή από Vieta τώρα είναι

$\displaystyle{x_{1}+x_{2}=2a+1}$

$\displaystyle{x_{1}x_{2}=a}$

$\displaystyle{x_{3}+x_{4}=4-a}$

$\displaystyle{x_{3}x_{4}=a-1}$ , η σχέση γίνεται $\displaystyle{a(2a-1)=a(a-1)(a+5)}$ ή a(a^2+2a-4)=0

. Η μηδενική λύση απορρίπτεται, άρα $a=1\pm\sqrt{5}$ .

Δύο ασκήσεις από "Όπερ έδει Δείξαι"

Δύο ασκήσεις από "Όπερ έδει Δείξαι"

Re: Δύο ασκήσεις από "Όπερ έδει Δείξαι"

Re: Δύο ασκήσεις από "Όπερ έδει Δείξαι"

Μέλη σε σύνδεση