τριώνυμο

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{ f(x) = 2x^2 - 2(\lambda - 5)x - (\lambda - 5) }$ , όπου λ πραγματικός αριθμός.

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με: $\displaystyle{ \Delta = 4(\lambda - 5)(\lambda - 3) }$

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

γ) Αν $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου να δείξετε ότι ισχύει: $\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 = (\lambda - 5)(\lambda - 4) }$

δ) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{ \lambda \in \Re }$ ώστε το τριώνυμο f(x) να είναι θετικό για κάθε τιμή του $\displaystyle{ x \in \Re }$
.

Θέμα κατάλληλο για εξετάσεις, με ερωτήματα σωστά (κατά την γνώμη μου ) δομημένα, καλύπτει όλη την ύλη του τριωνύμου στην α λυκείου.

hlkampel · #2

Να δώσω μια αναλυτική λύση.
α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\Delta = \beta ^2 - 4 \cdot \alpha \cdot \gamma \Rightarrow \Delta = 4\left( {\lambda - 5} \right)^2 + 8\left( {\lambda - 5} \right) \Rightarrow$
$\Delta = 4\left( {\lambda - 5} \right)\left( {\lambda - 5 + 2} \right) \Rightarrow \Delta = 4\left( {\lambda - 5} \right)\left( {\lambda - 3} \right)$

β) Για να έχει το τριώνυμο δύο ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει:
$\Delta > 0 \Rightarrow \left( {\lambda - 5} \right)\left( {\lambda - 3} \right) > 0 \Rightarrow \lambda < 3\quad \dot \eta \quad \lambda > 5$
δηλαδή πρέπει $\lambda \in \left( { - \infty ,3} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$

γ) Αν $\lambda \in \left( { - \infty ,3} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$
και $x_1 ,\;x_2$ οι ρίζες του τριωνύμου τότε:
$x_1 + x_2 = - \frac{\beta }{\alpha } \Rightarrow x_1 + x_2 = \lambda - 5$ και
$x_1 \cdot x_2 = \frac{\gamma }{\alpha } \Rightarrow x_1 \cdot x_2 = - \frac{{\lambda - 5}}{2}$
Είναι: $x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 2x_1 x_2 \Rightarrow$
$x_1^2 + x_2^2 = \left( {\lambda - 5} \right)^2 - 2\left( { - \frac{{\lambda - 5}}{2}} \right) \Rightarrow$
$x_1^2 + x_2^2 = \left( {\lambda - 5} \right)^2 + \left( {\lambda - 5} \right) \Rightarrow$
$x_1^2 + x_2^2 = \left( {\lambda - 5} \right)\left( {\lambda - 5 + 1} \right) \Rightarrow$
$x_1^2 + x_2^2 = \left( {\lambda - 5} \right)\left( {\lambda - 4} \right)$

δ) Για να είναι το τριώνυμο θετικό για κάθε $x \in R$ , επειδή $\alpha = 2 > 0$
, πρέπει να ισχύει: $\Delta < 0 \Rightarrow 4\left( {\lambda - 5} \right)\left( {\lambda - 3} \right) < 0 \Rightarrow 3 < \lambda < 5$ δηλαδή $\lambda \in \left( {3,5} \right)$

τριώνυμο

τριώνυμο

Re: τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση