Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

[S.E.Louridas]

Φίλε Δημήτρη, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και για την αισθητική απόλαυση που δίνεις τόσο εσύ όσο και μια πλειάδα μαθηματικών του mathematica, με τον όμορφο διάλογο και την κομψότητα των αποδείξεων.
Όμως, εμένα πάντα με απασχολούσε ένα ερώτημα: για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;
Η ελληνική μαθηματική κοινότητα δεν απάντησε επί της ουσίας σ' αυτό το ερώτημα. Μήπως θα 'πρεπε η μαθηματική κοινότητα του mathematica να αρχίσει σιγά-σιγά να ανοίγει τη συζήτηση;
Γιάννης Κερασαρίδης

Γιάννη, νομίζω ότι ένας κατάλληλος εισηγητής για το θέμα που θέτεις¨"Για ποιο λόγο διδάσκουμε τα μαθηματικά στα παιδιά;" , είσαι εσύ, με μεγάλη εμπειρία στα μαθηματικά δρώμενα και καινοτόμες ιδέες, που αρκετές φορές έχουμε απολαύσει στα συνέδρια της ΕΜΕ και σε άρθρα σου.
Δείξε μας λοιπόν το μονοπάτι, δώσε μας μια αρχή και θα ακολουθήσουμε και αρκετοί πιστεύω από εμάς , ώστε να γίνει ένας εποικοδομητικός διάλογος.

Να είσαι πάντα καλά.

Ιωάννου Δημήτρης.

Ας μου επιτραπεί να μεταφέρω προς συζήτηση, εδώ στα "Γενικά μηνύματα" το Τεράστιο αυτό θέμα:

για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

με τις πάρα πολλές πτυχές ουσίας, θέμα που ήδη άνοιξε ο Γιάννης Κερασαρίδης και που ο Άριστος Μάχιμος Συνάδελφος και φίλος Δημήτρης Ιωάννου συνηγόρησε.
Προσωπικά πιστεύω ότι τέτοιου επιπέδου διάλογοι είναι επιβεβλημένοι.

[greek_sorcerer]

Μία φορά ρώτησα ακριβώς την ίδια ερώτηση στους μαθητές μου και η απάντηση που πήρα:

Γιατί οι καθηγητές είναι σαδιστές!!

[ykerasar]

1ο Σημείωμα
Φίλε greek_sorcerer αυτή η μοναδική γραμμή που έγραψες, λέει τόσες αλήθειες όσες θα χωρούσανε σε μερικούς τόμους περισπούδαστων αναλύσεων.
Καλή και "άγια" η λατρεία των μαθηματικών θεμάτων με τα οποία ασχολούμαστε (και τα οποία σε μένα, τουλάχιστον, χαρίζουν ψυχική ευφορία διαβάζοντάς τα στις στήλες της ιστοσελίδας μας), όμως παρασυρμένοι απ' αυτή την ομορφιά δεν προσέξαμε τα αισθήματα για τα Μαθηματικά που δημιουργήθηκαν στη συντριπτική πλειοψηφία των παιδιών.
Για τη συντριπτική πλειοψηφία των παιδιών τα Μαθηματικά είναι ένας βραχνάς χωρίς αρχή και τέλος.
Φταίνε τα Μαθηματικά; Είναι οκνά τα παιδιά μας; Γιατί στη συντριπτική τους πλειοψηφία καταφεύγουν σε φροντιστηριακή στήριξη; Αυτά και άλλα παρόμοια θα μπορούσαμε να διερωτόμαστε. Η γνώμη μου είναι πως ποτέ η ελληνική μαθηματική κοινότητα δεν απάντησε οργανωμένα στο ερώτημα: για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά; Γιατί αποφεύγουμε να ανοίξουμε ένα τέτοιο λόγο; Χρόνια ολόκληρα, προτείνω στις Επιτροπές Συνεδρίων της ΕΜΕ, να μπει σαν θέμα το κεντριό ερώτημα τούτης της στήλης. Οι αρμόδιοι αποφεύγουν και να το συζητήσουν ακόμη. Γιατί; Η γνώμη μου είναι πως θα βγουν στην επιφάνεια αλήθειες πικρές για το Σύστημα και για την Εκπαίδευση.
Γιάννης Κερασαρίδης
συνταξιούχος,
37 χρόνια εκπαιδευτιός
της αίθουσας

[Κώστας Μαλλιάκας]

Μία φορά ρώτησα ακριβώς την ίδια ερώτηση στους μαθητές μου και η απάντηση που πήρα:

Γιατί οι καθηγητές είναι σαδιστές!!

Αυτό νομίζω ότι θα μπορούσε να είναι η απάντηση στο ερώτημα:"Γιατί βάζουμε τέτοια θέματα στις εξετάσεις των μαθηματικών στα παιδιά" αλλά όχι τόσο στην ερώτηση "γιατί διδάσκουμε μαθηματικά". Απλώς αυτές οι εξετάσεις μας οδηγούν από μόνες τους εκεί.

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Χαιρετίζω την εκλεκτή παρέα,
Η άποψή μου για το θέμα (που μέχρι τώρα έχω διαμορφώσει), είναι πως είναι από όλους αποδεκτό ότι χωρίς τα μαθηματικά
θα είμασταν ακόμα στην λίθινη εποχή. Δεν υπάρχει σχεδόν καμιά επιστήμη, που να μην χρησιμοποιεί τα μαθηματικά ως εργαλείο για την ανάπτυξή της. Για να δούμε το γιατί πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά, ας δούμε το τι θα συνέβαινε αν δεν διδάσκαμε το μάθημα αυτό. Πρώτα πρώτα ο κόσμος θα ζούσε βυθισμένος στο σκοτάδι των προκαταλήψεων, αφού δεν θα μπορούσε να εξηγήσει σχεδόν κανένα φυσικό φαινόμενο (τον Μεσαίωνα που είχέ απαγορευτεί στα σχολεία να διδάσκεται το μάθημα αυτό, είχαμε τραγικά αποτελέσματα: Οι άνθρωποι ζούσαν με τον φόβο της μαγείας, ήσαν βυθισμένοι στην θρησκοληψία, και δίκαζαν ακόμα και σε θάνατο όποιον προσπαθούσε να δώσει κάποια εξήγηση σε κάτι που θεωρούταν δογματικό). Χωρίς την γνώση των μαθηματικών, δεν θα υπήρχε γνώση ούτε για την φυσική, την χημεία, την μετεωρολογία , την κοσμογραφία, την βιολογία, την πληροφορική...Πέραν αυτών η φύση του μαθήματος είναι τέτοια, που προάγει την κριτική σκέψη και κάνει τον άνθρωπο να είναι πιο ικανός σε λήψη αποφάσεων, τον κάνει σαφώς σοφότερο.
Ακόμα και οι μαθητές που λένε ότι "δεν χωνεύουν τα μαθηματικά ", όλοι τους αναγνωρίζουν την αξία που έχουν στην ζωή μας.
Συνεπώς, το ζητούμενο από εμας είναι το πως θα κάνουμε τους μαθητές να αγαπήσουν το φαινομενικά "ψυχρό" αυτό μάθημα, ώστε να μπορούν να το χρησιμοποιήσουν ως εργαλείο τόσο στον επαγγελματικό τους τομέα (όποιο επάγγελμα και αν επιλέξουν), όσο και στις άλλες καθημερινές τους ασχολίες.
Ίσως λοιπόν ο φίλος μας Γιάννης Κερασαρίδης αυτό να είχε στον νου του: Πως πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά, ώστε να μην είναι αντιπαθή από τους διδασκομένους.
Σίγουρα και ο Γιάννης και ο Σωτήρης Λουρίδας, ΄και αρκετά από τα μέλη μας, έχουν πολλές και χρήσιμες απόψεις για το θέμα αυτό.

[STOPJOHN]

Καλημέρα ,το θέμα που έχει ανοίξει έχει ενδιαφέρον να συζητηθεί μετά τις πανελλήνιες εξετάσεις .......ας είναι ρώτησα συνάδελφο μου ,θεωρητικών επιστημών ,γιατί έμαθε Μαθηματικά στο σχολείο και μου απάντησε με αφοπλιστική ειλικρίνεια για να μπορώ να μετράω τα ρέστα στο βενζινάδικο .......και έχουμε συνέχεια ....
Καλημέρα και επιτυχία στους μαθητές στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Γιάννης

[polysot]

Οι λόγοι μπορεί να είναι πολλοί!
Αναλόγως του ποιος μας ενδιαφέρει να υλοποιηθεί θα έπρεπε να προωθείται το κατάλληλο σχέδιο διδασκαλίας !!!
Δυστυχώς όμως άλλα λέμε (ως πολιτεία), άλλα εννοούμε (ως άνθρωποι) και άλλα κάνουμε (ως καθηγητές και μαθητές)...
Έτσι το αναλυτικό πρόγραμμα αναφέρει την κριτική σκέψη για παράδειγμα, αλλά στην πράξη οι αποδείξεις, μέσω των οποίων φαίνεται η συνοχή των εννοιών βγαίνουν εκτός ύλης όλο και περισσότερο και παραμένουν "ξεκάρφωτες" έννοιες που δεν μπορούν να προκαλέσουν καμία εντύπωση στους μαθητές, αλλά καταπίπτουν στη σφαίρα του καταγκαστικού έργου και της παπαγαλίας.
Ακόμα, αναζητούμε πώς θα εισάγουμε "πρακτικά" μαθηματικά, "της καθημερινής ζωής", αλλά πετάμε τα προβλήματα εκτός ύλης και εξετάσεων, διότι «είναι δύσκολα» ή υπάρχει ο κίνδυνος να μην είναι «σαφώς διατυπωμένα»!
Νομίζω ότι η μόνη ελπίδα που έχουμε είναι να αποφασίσουμε να στήσουμε ένα πρόγραμμα σπουδών (όχι μόνο για τα μαθηματικά, αλλά για όλα τα μαθήματα που πρέπει να διδάσκονται τα παιδιά - ξεκινώντας από το ποια και πόσα πρέπει να είναι αυτά) από το Δημοτικό, στο Γυμνάσιο, το Λύκειο και το Πανεπιστήμιο. Να έχουμε επιτέλους ΕΝΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ με ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΒΙΒΛΙΑ και ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ και όχι μία συρραφή από ιδέες διαφόρων - καταξιωμένων και ικανών ή όχι - οι οποίες όμως δεν μπορούν να συγκροτήσουν μία ολότητα.
Για παράδειγμα δεν πιστεύω ότι δεν θα μπορούσαμε ως χώρα να είμασταν από τους πρώτους στη βλακεία του PISA, αν διαμορφώναμε κατάλληλα τα προγράμματά μας και τις επιδιώξεις μας, εδώ με λίγη σχετική προετοιμασία τα καταφέρνουμε πολύ καλά σε σοβαρούς μαθηματικούς διαγωνισμούς σε πολλά επίπεδα γιατί όχι και στην μπούρδα !!!
Συνεπώς, «απλά» χρειάζεται να αποκτήσουμε ταυτότητα ως χώρα : τι θέλουμε να κάνουμε και με βάση αυτό να οργανώσουμε και τα σχολεία μας, αλλά εδώ δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν θα καταδικαστούμε στη φτώχεια με το ευρώ ή τη δραχμή και ομονοούμε στην πνευματική φτώχεια και την ηθική πτώχευση, οπότε...

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Συνεχίζοντας τον συλλαγισμό του Σωτήρη (polysot), για να έχει χρησιμότητα η διδασκαλία των μαθηματικών, στην Πρωτοβάθμια και την Δευτεροβάθμια εκπαίδευση, είναι απαραίτητο να ξεφύγει από την παροχή σκόρπιων γνώσεων, εξειδικευμένων εννοιών και άπειρων θεωρημάτων και προτάσεων που καλείται ο μαθητής να φορτωθεί.
Είναι απαραίτητο να φροντίσουμε να μάθει λιγότερα αλλά αυτά τα λίγα να του γίνουν βίωμα.
Αν μιλήσουμε π.χ για τα μαθηματικά που σήμερα διδάσκονται στο Λύκειο, πράγματι δεν μπορώ να καταλάβω το ΓΙΑΤΙ ΔΙΔΑΣΚΟΥΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Πού θα χρειαστεί ΄το ολοκλήρωμα ο μέσος αυριανός πολίτης, όταν χάριν αυτών των εξειδικευμένων γνώσεων, έχουμε θυσιάσει την μαθηματική λογική (που θα τον μάθαινε να αντιμετωπίζει με ακρίβεια και σαφήνεια το κάθε θέμα που καλείται να αντιμετωπίσει), έχουμε θυσιάσει την διερεύνιση και την ανάλυση (που προάγουν την κριτική σκέψη), έχουμε περιορίσει δραμματικά την ευκλείδια γεωμετρία η οποία όλοι γνωρίζουμε το πόσο "ακονίζει το μυαλό" , έχουμε θυσιάσει την στερεομετρία και έτσι οι μαθητές μας έχουν την ψευδαίσθηση ότι ζουν σε χώρο δύο μόνο διαστάσεων. Γνωρίζουν ίσως να βρίσκουν την παράγωγο μιας συνάρτησης, να εφαρμόζουν το θεώρημα του Rolle και του Fermat, αλλά δεν γνωρίζουν σίγουρα να βρουνε το εμβαδόν του οικοπέδου τους, πόσα πλακάκια συγκεκριμένων διαστάσεων πρέπει να αγοράσουν για να στρώσουν την αυλή τους, πως θα βρούνε πόσα λίτρα πετρέλαιο χωράει η δεξαμενή τους κλπ.
Σίγουρα λοιπόν είναι απαραίτητο να διδάσκουμε τα μαθηματικά, αλλά το ερώτημα που έθεσε ο Γιάννης Κερασαρίδης, ίσως πρέπει να το εξειδικεύσουμε στο εξής:

ΤΙ ΕΙΔΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΜΕ ΩΣΤΕ ΝΑ ΓΙΝΟΥΝ ΠΙΟ ΕΛΚΥΣΤΙΚΑ ΑΛΛΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ ΜΑΣ

Τα λεγόμενα ανώτερα μαθηματικά, ας τα αφήσουμε να τα διδαχθούν αυτοί που θα θελήσουν να ακολουθήσουν την τριτοβάθμια εκπαίδευση.

[mathxl]

"Why do I need to study math?" http://chronicle.com/article/After-Crac ... al/124367/

Κατά την γνώμη μου τα μαθηματικά τα διδάσκουμε για να μάθουν τα παιδιά να κάνουν έλεγχο υποθέσων, να έχουν βάθος στην σκέψη, να έντρυφήσουν στην επαγωγική σκέψη, να μπορούν να διευρευνούν στην καθημερινότητα τους κτλ. Γενικά να έχουν ένα συγκροτημένο τρόπο με τον οποίο σκέφτονται. Για εμένα τα παιδιά κάθε μέρα κάνουν μαθηματικά απλά δεν το αντιλαμβάνονται...Θα μου πείτε "μα αυτό το κάνουν και άλλα μαθήματα, όπως η φιλοσοφία'. Ναι, όμως κανένα σε τέτοιο βαθμό όπως τα μαθηματικά. Στην σύγχρονη εποχή είναι μικρή ως ισχνύ η ανάγκη για μέτρηση μεγεθών ή εκτέλεση πράξεων.

[ykerasar]

2ο Σημείωμα
Για πιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά από την Α΄ Δημοτικού μέχρι και τη Γ΄ Λυκείου; Στο ερώτημα αυτό, ανάλογα με την απάντηση που θα δώσουμε, δεσμευόμαστε να υποστηρίξουμε και το αντίστοιχο εκπαιδευτικό σύστημα, που κι αυτό με τη σειρά του, προϋποθέτει αντίστοιχη φιλοσοφική τοποθέτηση
Εμείς λέμε πως οι πιθανότερες εκδοχές μπορεί να είναι:
▪ πρώτη εκδοχή: γιατί "ακούμε" πως τα Μαθηματικά "είναι απαραίτητα", γιατί “τα βρήκαμε απ' τους πατεράδες μας” γιατί, επιπλέον, δικαιολογείται η ύπαρξη θέσεων μαθηματικών στα σχολεία
▪ δεύτερη εκδοχή: για να ανιχνεύσουμε “μαθηματικά ταλέντα” και να τα κάνουμε μαθηματικούς
▪ τρίτη εκδοχή: για να αντιμετωπίσουν τα παιδιά τις Πανελλαδικές εξετάσεις
▪ τέταρτη εκδοχή:
α) με όχημα τα Μαθηματικά (μεταξύ άλλων), μέσω των άλλων επιστημών, τα παιδιά γνωρίζουν τη Φύση και την κοινωνία και τις μετασχηματίζουν επιστημονικά προς όφελος της ανθρωπότητας και
β) μέσω των Μαθηματικών τα παιδιά μπορούν να καλλιεργήσου τις παρακάτω μορφές της Λογικής Νόησης (με την απαραίτητη προϋπόθεση πως περνούν από την καθημερινή εμπειρία στη θεωρία και αντίστροφα): i. «Έννοια», ii. «Κρίση», iii. «Συλλογισμός», iv. «Υπόθεση», v. «Ιδέα», vi. «Θεωρία», vii. «Ιδέα και Φαντασία», viii. «Ανάλυση», ix. «Σύνθεση», x. «Επαγωγή», xi. «Παραγωγή» (ή «παραγωγική απόδειξη»), xii. «Συγκεκριμένο»–«Αφηρημένο», «Αναγωγή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο» και
γ) τα παιδιά μαθαίνουν πως η ίδια η μαθηματική διαδικασία προσφέρει αισθητική ικανοποίηση κι ακόμα πως τα Μαθηματικά έχουν πλατιά εφαρμογή στις Καλές Τέχνες την αρχιτεκτονική και τη Λογοτεχνία και
δ) οι μαθητές και οι μαθήτριες αντιμετωπίζουν ένα κόσμο που διαμορφώνεται από ολοένα και πιο σύνθετα, δυναμικά και ισχυρά συστήματα πληροφοριών και ιδεών. Ως μελλοντικά μέλη του εργατικού δυναμικού οι μαθητές και οι μαθήτριες θα χρειαστεί να είναι ικανοί να ερμηνεύουν και να εξηγούν δομικά σύνθετα συστήματα, να σκέφτονται με μαθηματικά ποικίλους τρόπους και να χρησιμοποιούν πολύπλοκους εξοπλισμούς και μέσα.
Αρκετοί, μεταξύ αυτών και ο γράφων, δέχονται την τέταρτη εκδοχή.

Γιάννης Κερασαρίδης

Υ.Γ.
1) για το φίλο Κώστα Μαλλιάκα: το ότι βάζουν τέτοια θέματα στις εξετάσεις οφείλεται στο ότι οι θεματοδότες αυτοί δεν γνωρίζουν για ποιο λόγο διδάσκονται τα Μαθηματικά
2) για το φίλο orestisgotsis: στην πορεία της συζήτησης θα παραθέσω ένα κείμενό μου που εισηγήθηκα σε συνέδριο της ΕΜΕ
3) για το φίλο STOPJOHN: Φίλε Γιάννη, οφείλεται στο γεγονός ότι ο μαθηματικός του συναδέλφου σου δεν γνώριζε για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά
4) Φίλε mathxl. χαίρομαι για την άποψή σου. Στην πορεία της συζήτησης θα πρέπει, σαν καλοί μαθηματικοί, να αποδείξουμε αυτά που γράφουμε

[S.E.Louridas]

Θα ήθελα να μου επιτραπεί να τοποθετηθώ αρχικά σε αυτό το Τεράστιο Θέμα που με τόλμη και μεγάλη υπευθυνότητα άνοιξε ο Γιάννης Κερασαρίδης.
Η ύπαρξη των Επιστημών είναι το αποτέλεσμα της δυνατότητας που έχει ο Άνθρωπος ( από τον Θεό είτε την Φύση) να σκέφτεται πέραν της διαδικασίας που εξασφαλίζει την εκδήλωση των ενστίκτων και μόνο. Ο Φρόιντ έλεγε ότι ο Πολιτισμός είναι τελικά αποτέλεσμα του ελέγχου (άρα σε πολλές περιπτώσεις καταπίεσης) των ενστίκτων.
Συνεπώς ο Άνθρωπος είναι «δέσμιος» να συνεχίσει το «οδοιπορικό» αυτό της εξέλιξης των Επιστημών, της εξέλιξης τελικά της ίδιας της ζωής.
Μια από τις Βασικές Επιστήμες (ίσως η πλέον σπουδαία) είναι τα Μαθηματικά.
Άρα τα Μαθηματικά μας θα πρέπει να διδάσκονται κατ’ αρχήν και κατ’ αρχάς, με αναγκαίο στόχο το συνεχές άπλωμα τους, σαν μία από τις Βασικές Επιστήμες.
Όμως δεν θα πρέπει να ξεχνιέται ποτέ ότι τα Μαθηματικά έχουν το αποκλειστικό προνόμιο να έχουν εισάγει στην διαδικασία της ανθρώπινης σκέψης την Λογική Απόδειξη, για να τεκμηριωθεί αντικειμενικά και άρα να γίνει Αποδεκτή η εκάστοτε Επιστημονική Αλήθεια και αυτό αποτελεί ένα επαναστατικό γεγονός που άλλαξε θετικώτατα και επί της ουσίας την ροή της ανθρωπότητας.
Τελικά «Τα Μαθηματικά επέβαλλαν» την ανάγκη Απόδειξης για οτιδήποτε, μετά την επιλογή αρχικών εννοιών που λειτουργούν ως σωστά πατήματα και που επεκτείνονται μέσω της Λογικής Επαγωγικής σκέψης.
Και βέβαια άνοιξαν τον δρόμο για την συνεχή δημιουργία βασικών δεδομένων (θεωρήματα, πορίσματα κ.τ.λ.) αλλά και της ορθής διατύπωσης προβλημάτων με στόχο την επίλυση τους, κάτι που είναι πολύ μα πάρα πολύ σημαντικό για την ίδια την υπόσταση του ανθρώπου.
Σε πρώτη λοιπόν φάση τοποθετούμαι εκφράζοντας την άποψη, ότι είναι επιβεβλημένο να διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά αφού είναι ενάντια στην ίδια τη φύση η αποστασιοποίηση από την διδασκαλία τους στον άνθρωπο.

[freyia]

Θα πω και εγώ έναν από τους πολλούς λόγους που πρέπει να διδασκόμαστε τα μαθηματικά. Στον ελεύθερο χρόνο μου, αντί να λύνω μόνο SUDOKU, πιάνω μια ασκησούλα και περνάει ευχάριστα και δημιουργικά ο χρόνος μου.

ΚΑΛΟ ΒΡΑΔΥ ΣΕ ΟΛΟΥΣ

[STOPJOHN]

Καλησπέρα θα τοποθετηθώ στο τεράστιο θέμα που συζητάμε και θα γράψω τις ερωτήσεις και απορίες των μαθητών της Γ λυκείου που είναι το σημαντικό ...δηλαδή πως αντιλαμβάνονται οι μαθητές μας τα Μαθηματικά και τη χρησιμότητα τους .Πιστεύω ότι διδάσκουμε Μαθηματικά για δυο βασικούς λόγους : α) Για να αποκτήσουν οι μαθητές κριτική σκέψη -Μαθηματική σκέψη, σε κάποιο βαθμό(τι είναι αλήθεια κριτική σκέψη στα Μαθηματικά; για να μην πλατιάσω πολυ....το αφήνω για άλλη φορά ) που είναι απαραίτητη στα άλλα μαθήματα και στη ζωή τους . β) Για να καταλάβουνε τις σημαντικές εφαρμογές των Μαθηματικών μέσω των προβλημάτων.Υπάρχουνε προβλήματα στα σχολικά βιβλία της Ανάλυσης που αποδεικνύεται η χρησιμότητα του μαθήματος. Τα προβλήματα με μέγιστα και ελάχιστα στην αντίστοιχη παράγραφο του σχολικού βιβλίου είναι ενδεικτικά των εφαρμογών .Γιατί στις Πανελλήνιες εξετάσεις δεν δίνονται προβλήματα αυτού του είδους ; άρα και εμείς στα σχολεία τα περνάμε γρήγορα η δεν τα διδάσκουμε καθόλου για να προλάβουμε τις Διαφορικές εξισώσεις και τα γενικά θέματα........
Ένας ακόμη λόγος είναι για ΝΑ ΠΕΡΆΣΟΥΝΕ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΆΣΕΙ Σ ,εδώ διαφωνώ γιατί η κριτική σκέψη πάει περίπατο ....και η σκοπιμότητα και ο τυφλοσούρτης ενισχύονται.
Σε διδακτική ώρα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας μαθητής κάνει την ερώτηση σε τι θα του χρειαστούνε τα Μαθηματικά στη ζωή του ;
Το πρώτο που σκέφτηκα είναι ότι είναι ερώτηση για να με καθυστερήσει ....όμως είναι πολύ καλός στα Μαθηματικά και δεν μου αρέσει να μην απαντάω σε ερωτήσεις . Η απάντηση μου είναι ότι ακονίζουνε το ανθρώπινο μυαλό και ο σκεπτόμενος άνθρωπος πρέπει να έχει κριτική σκέψη και να αμφισβητεί στην εποχή μας. Ακόμη αν ΑΦΑΙΡΕΣΟΥΜΕ για μια ώρα από τη ζωή μας την Τεχνολογία και Πληροφορική ,που είναι Μαθηματικά, έρχονται τα πάνω κάτω...καμία αμφισβήτηση σε αυτό ...όμως για τη κριτική σκέψη υπήρχανε έντονες αντιδράσεις ......
καλό βραδυ
Γιάννης

[ykerasar]

3ο Σημείωμα
Προλεγόμενα
Συνεχίζουμε με σύντομες αναφορές σε διάφορα θέματα. Μετά την ολοκλήρωση αυτών των σημειωμάτων, θα γίνει φανερό για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ - ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τα Μαθηματικά είναι μια γλώσσα και μια μεθοδολογία για τους μηχανικούς και τους τεχνολόγους. Τα Μαθηματικά θεωρούνται ως προαπαιτούμενα για την τεχνολογία και, αντίστροφα, η τεχνολογία μπορεί να θεωρηθεί ως υλική ενσάρκωση των Μαθηματικών. Ακριβώς αυτά τα Μαθηματικά που χρησιμοποιεί η τεχνολογία, ονομάζονται ενσωματωμένα Μαθηματικά. (ή ότι η Τεχνολογία είναι υλική ενσάρκωση των Μαθηματικών)
Οι άμεσοι δεσμοί μεταξύ Μαθηματικών και Τεχνολογίας έχουν πάρει συχνά την μορφή εφαρμογής υφιστάμενων μαθηματικών θεωριών σε τεχνολογικά προβλήματα
Ας επισημάνουμε, όμως, παραδείγματα της εμφάνισης νέων γενικών μαθηματικών θεωριών σε ανταπόκριση προς άμεσες τεχνολογικές απαιτήσεις:
– Η ανάπτυξη της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων ήταν συνδεδεμένη με γεωδαισιακές εργασίες
– Οι μέθοδοι λύσης διαφορικών εξισώσεων με χρήση τελεστών, αναπτύχθηκαν σε σύνδεση με την ηλεκτρολογία
– Οι ανάγκες για επικοινωνία οδήγησαν στο σχηματισμό ενός νέου κλάδου της πιθανοθεωρίας, την θεωρία των πληροφοριών
– Τα προβλήματα σύνδεσης συστημάτων ελέγχου οδήγησαν στην ανάπτυξη νέων κλάδων της Μαθηματικής Λογικής
– Το πρόβλημα ταχείας επίτευξης αριθμητικών λύσεων έγινε πολύ οξύ με την αυξανόμενη πολυπλοκότητα των τεχνολογικών προβλημάτων. Οι αριθμητικές μέθοδοι αποκτούν ολοένα μεγαλύτερη σημασία, σε σχέση με τις δυνατότητες, που παρουσιάστηκαν από τους υπολογιστές για την λύση πρακτικών προβλημάτων
– Το υψηλό επίπεδο των Θεωρητικών Μαθηματικών κατέστησε δυνατή την ταχεία ανάπτυξη των μεθόδων της επιστήμης των υπολογιστών, η οποία έχει διαδραματίσει μείζονα ρόλο στη λύση σειράς πολύ σημαντικών πρακτικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανόμενων εκείνων που αφορούν τη χρήση της ατομικής ενέργειας και την εξερεύνηση του διαστήματος

[►Δ.Ρόκος:"Τεχνολογία, Πολιτισμός και Αποκέντρωση. Μια απόπειρα ολοκληρωμένης θεώρησης, προσέγγισης και ανάλυσης των πολυδιάστατων σχέσεων, αλληλεξαρτήσεων και αλληλεπιδράσεών τους, στα επίπεδα της πολιτικής και της κοινωνίας", ►"Αειφόρος ή Βιώσιμη ή Διατηρήσιμη Ανάπτυξη", από την έκθεση Brundtland (World Commision on Environment and Development/ W.C.E.D., 1987), ►"Εκθεση για την Ανθρώπινη Ανάπτυξη – 1999", του ΟΗΕ]

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Ένα πολύ ενδιαφέρον άρθρο του Μ. Τουμάση, που είχε δημοσιευθεί στο περιοδικό "ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β", το 1989, ήταν το εξής;
"Γνωρίζουν οι μέλισσες μαθηματικά;"
Και δινόταν η απάντηση στα τρία ερωτήματα:
(α) ΓΙΑΤΙ η μέλισσα κατασκευάζει την φωλιά της εξαγωνική; Γιατί δεν χρησιμοποιεί άλλα σχήματα;

(β) Εξυπηρετεί το εξαγωνικό πρίσμα για την πιο οικομική μέθοδο χώρου;

(γ) Είναι η κατασκευή αυτή αυτή και πιο οικονομική σε πρώτη ύλη; (κερί)

Και με πολύ ωραίο τρόπο απαντώνται αυτά τα ερωτήματα με πλήρεις μαθηματικές αποδείξεις και βγαίνει το συμπέρασμα ότι ΟΙ ΜΕΛΙΣΣΕΣ έλυσαν με επιτυχία ένα πολύ δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα: Τί σχήμα πρέπει να πάρει μια δοσμένη ποσότητα ύλης έτσι ώστε να έχει την μεγαλύτερη χωρητικότητα και την μεγαλύτερη δυνατή σταθερότητα, καταλαμβάνοντας ταυτόχρονα τον πιο μικρό χώρο και προϋποθέτοντας την λιγότερη εργασία για την κατασκευή του.

Τώρα εγώ αναρωτιέμαι: Από τα πρώτα χρόνια της εμφάνισης της ζωής, έτσι κατασκεύαζαν οι μέλισσες την φωλιά τους; Ή μήπως με το πέρασμα των αιώνων βελτίωσαν την τεχνική τους; Αν αυτό συνέβη, τότε μήπως και αυτές έχουν έναν τρόπο να διδάσκουν από γενιά σε γενιά τα δικά τους μαθηματικά; Και αν αυτό συμβαίνει π.χ στις μέλισσες πως είναι δυνατόν να μην χρησιμοποιεί αυτήν την γνώση ο άνθρωπος;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο ίδιο άρθρο, αναφέρεται ότι οι μέλισσες της νότιας Αμερικής, κατασκευάζουν τις φωλιές τους κυλινδρικές.
Αυτός όμως ο τρόπος κατασκευής, υστερεί σε σχέση με τον τρόπο των άλλων μελισσών. Δεν είναι ο οικονομικότερος, όπως στο άρθρο αποδεικνύεται! Είναι λοιπόν πιο πρωτόγονος.
Μήπως είναι θέμα "ΠΑΙΔΕΙΑΣ;"

[ykerasar]

4ο Σημείωμα. Παραθέτοντας επιχειρήματα για απάντηση στο ερώτημα «Για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά», το παρόν σημείωμα έχει σαν θέμα το «Μαθηματικά και Φυσική».
Μαθηματικά και Φυσική
Δεν υπάρχει σχεδόν καμιά περιοχή της Φυσικής, που να μην απαιτεί τη χρήση πολύπλοκου μαθηματικού μηχανισμού, αλλά η κύρια δυσκολία που παρουσιάζεται στις έρευνες, έγκειται συχνά στην επιλογή των υποθέσεων για την μαθηματική επεξεργασία και στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν με μαθηματικά μέσα, παρά στην ανάπτυξη της μαθηματικής θεωρίας.
Στην σημερινή εποχή το σύνορο, ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Φυσική, καλύπτεται από την Μαθηματική Φυσική (στο εξής: ΜΦ). Η διατύπωση των προβλημάτων της ΜΦ συνίσταται στην κατάστρωση μαθηματικών μοντέλων, τα οποία περιγράφουν τις βασικές "κανονικότητες", που διαφαίνονται από την κλάση των υπό μελέτη φυσικών φαινομένων. Η ΜΦ συνδέεται στενά με την Φυσική στο βαθμό, που ασχολείται με την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων για τα φυσικά φαινόμενα. Ταυτόχρονα η ΜΦ είναι κλάδος των Μαθηματικών στο βαθμό που οι μέθοδοι, που χρησιμοποιούνται σ’ αυτή για τη μελέτη αυτών των μοντέλων είναι μαθηματικές.
Παραδείγματα: Οι κυματικές συναρτήσεις στην Ηλεκτροδυναμική, στην Ακουστική, στη θεωρία της ελαστικότητας, στην Υδροδυναμική καθώς και σε άλλους τομείς σχετικούς με τη μελέτη φυσικών φαινομένων σε συνεχή μέσα. Οι λεγόμενες "εξισώσεις της ΜΦ" είναι συχνά διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Χρησιμοποιούνται ακόμη και ολοκληρωτικές και ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις, μέθοδοι μεταβολών, πιθανοθεωρητικές μέθοδοι, θεωρία δυναμικού, θεωρία συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, κλπ. Οι θεωρητικές έρευνες στην Κβαντική Ηλεκτροδυναμική, την Αξιωματική Θεωρία των Πεδίων και πολλούς άλλους κλάδους της σύγχρονης Φυσικής, οδήγησαν στη δημιουργία μιας νέας κλάσης μαθηματικών μοντέλων (συμπεριλαμβανομένης και της Θεωρίας Τελεστών με Συνεχή Φάσματα) που αποτελούν σημαντικό κλάδο της ΜΦ. Εμφανίστηκε η Θεωρία των Συνοριακών Τιμών, η οποία αργότερα επέτρεψε το συσχετισμό των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους προς τις ολοκληρωτικές εξισώσεις και τις μεθόδους μεταβολών.
Η χρησιμοποίηση αριθμητικών μοντέλων για αντιπροσωπευτικά προβλήματα της ΜΦ ανάγεται στην αντικατάσταση των εξισώσεων της ΜΦ για συναρτήσεις συνεχούς μεταβλητής, από αλγεβρικές εξισώσεις για συναρτήσεις πεπερασμένων διαφορών, οι οποίες ορίζονται σε ένα διακριτό σύνολο σημείων (σε ένα δίκτυο). Με άλλα λόγια εισάγεται ένα διακριτό ανάλογο στη θέση ενός συνεχούς μοντέλου του μέσου.
Γιάννης Κερασαρίδης

[ykerasar]

5ο Σημείωμα. Συμβάλοντας στην ανάπτυξη του θέματος «για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά», σημειώνουμε πως άλλος ένας λόγος διδασκαλίας τους είναι η γνώση της Μαθηματικής Λογικής και η σχέση της με την Τυπική Λογική.

Προλεγόμενα
Η Λογική είναι η επιστήμη των μορφών και των νόμων της νόησης. Η Λογική είναι η επιστήμη που μελετά όχι τις εξωτερικές μορφές της νόησης, αλλά τους νόμους της ανάπτυξης όλων των υλικών, φυσικών και πνευματικών πραγμάτων, δηλαδή τους νόμους που διέπουν το «γίγνεσθαι» όλου του συγκεκριμένου περιεχομένου του κόσμου και τη γνώση του˙ δηλαδή αντιπροσωπεύει τον απολογισμό, το σύνολο, το συμπέρασμα που βγαίνει από την ιστορία της γνώσης του κόσμου. Οι νόμοι της Λογικής είναι οι αντανακλάσεις του αντικειμενικού κόσμου στη συνείδηση του ανθρώπου.

1) Τυπική Λογική
Η Τυπική Λογική δεν είναι παρά ο κατώτατος βαθμός της λογικής, που μπορούμε να την συγκρίνουμε με τα στοιχειώδη Μαθηματικά. Η Τυπική Λογική αντιμετωπίζει τα φαινόμενα και τα αντικείμενα έξω από τις αμοιβαίες σχέσεις τους και από τις αλληλεξαρτήσεις τους, σαν να ήσαν ακίνητα και αμετάβλητα. Δεν υπολογίζει την ανάπτυξη, τις αλλαγές, τις εσωτερικές αντιφάσεις των πραγμάτων, κλπ. Οι νόμοι της νόησης τους οποίους διατυπώνει αντανακλούν τα αντικείμενα και τα φαινόμενα ανεξάρτητα από τις διεργασίες, από τις βαθμιαίες αλλαγές που συντελούνται μέσα τους, στο εσωτερικό τους. Αυτός ο τρόπος μελέτης της φύσης ήταν ιστορικά αναγκαίος. έπρεπε να μελετήσει κανείς πρωτύτερα τα πράγματα, πριν μπορέσει να μελετήσει τις εξελίξεις τους. Έπρεπε πριν απ’ όλα να γνωρίζει τι ακριβώς ήταν το άλφα ή το βήτα πράγμα πριν αρχίσει να παρατηρεί τις μεταβολές που γίνονται στο εσωτερικό του». Η Τυπική Λογική είναι χρήσιμη και απαραίτητη σαν μέσο για τη διανοητική ανάπτυξη του ατόμου.

2) μαθηματική λογική
Η μαθηματική (ή συμβολική) λογική έχει σαν αντικείμενο τη μελέτη των μαθηματικών εννοιών, πράξεων και κανόνων. Είναι μια εφαρμογή των μαθηματικών μεθόδων στο πεδίο της τυπικής λογικής πιο πέρα από τους πατροπαράδοτους, (Αριστοτέλειους), συλλογισμούς. Η μαθηματική λογική αντικαθιστά τις λέξεις που υποδηλώνουν τους όρους της λογικής, τα συνδετικά και τις ενέργειες, τις εργασίες της λογικής, με σημεία συμβολικά και με τύπους μαθηματικούς διατυπωμένους με τη βοήθεια αυτών των σημείων. Ο τρόπος αυτός επιτρέπει να λύνονται πιο πολύπλοκα και και πιο γενικά προβλήματα απ’ τα προβλήματα που λύνει η πατροπαράδοτη λογική. Η μαθηματική λογική δεν βρίσκεται σε αντίφαση με την συνήθη, την τυπική, την στοιχειώδη δηλ. λογική, αλλά επιβάλλει αναγκαστικά σ’ αυτή (την τυπική λογική) τις δικές της θέσεις.

Υ.Γ. Στο επόμενο σημείωμα θα ασχοληθούμε με τις μορφές της Λογικής Νόησης και της σχέσεις τους με τα με τα Μαθηματικά.

[k-ser]

Αγαπητέ Γιάννη.

Κατ' αρχήν συγχαρητήρια για την διερευνητική προσπάθεια που ξεκίνησες για το γιατί της διδασκαλίας των Μαθηματικών.

Θα μου επιτρέψεις να καταθέσω κ' εγώ ένα σημείωμα, θέλοντας να συμπληρώσω τα πολύ όμορφα σημειώματα σκέψεων που γράφεις.
Αν έδινα κάποιο τίτλο στο σημείωμά μου θα το ονόμαζα: Μαθηματικά και φύση .
Αφορμή για τη σύνταξή του ήταν αυτό που γράφεις για τους νόμους της λογικής:

Οι νόμοι της Λογικής είναι οι αντανακλάσεις του αντικειμενικού κόσμου στη συνείδηση του ανθρώπου.

Η πραγματική αιτία του σημειώματος μου είναι ο λόγος για τον οποίο θέλω να διδάσκουμε τα Μαθηματικά και τον οποίο αφήνω σαν επίλογο του σημειώματος.
..............................................................................................
Με τη βοήθεια των μαθηματικών μπορούμε να γνωρίσουμε, κατά προσέγγιση μόνο, τη φύση.
Τα μαθηματικά δεν αντανακλούν απαραίτητα τον πραγματικό κόσμο.
Η δημιουργία, η λειτουργία και η εξέλιξη της φύσης δεν είναι μαθηματικά αντικείμενα.

Ο Νεύτων και οι φυσικοί μέχρι το 19ο αιώνα πίστευαν ότι η ανθρώπινη νόηση με τη βοήθεια των μαθηματικών μπορούσε να κατανοήσει πλήρως τη φύση. Σήμερα, αυτή η πεποίθηση, έχει αποδειχθεί ότι είναι λάθος.

Ένα μαθηματικό μοντέλο, όπως η θεωρία της μεγάλης έκρηξης, δεν μπορεί να απαντήσει στο ερώτημα της αρχικής κατάστασης του σύμπαντος καθώς και της εξέλιξής του. Σήμερα διαπιστώνουμε ότι η διαστολή του σύμπαντος δεν επιβραδύνεται όπως προβλέπει αυτό το μοντέλο αλλά επιταχύνεται, με αποτέλεσμα την αναζήτηση της μεταβλητής που λείπει από το μοντέλο μας: τη σκοτεινή ενέργεια, ή την αντικατάσταση αυτού, του μοντέλου, από κάποιο πληρέστερο, αν αυτό μπορεί να υπάρξει.
Ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει την κατάρρευση ενός αστέρα σε μαύρη τρύπα δεν μπορεί να απαντήσει στο ερώτημα τι συμβαίνει στο κέντρο μιας μαύρης τρύπας, όπου κάθε νόμος στον οποίο θεωρούμε ότι υπακούει η φύση εκεί καταρρέει.
Τα μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε την υποατομική λειτουργία της φύσης δεν είναι καθαρά μαθηματικά αφού χρησιμοποιούν νόμους των πιθανοτήτων.
Κανένα μαθηματικό μοντέλο μέχρι σήμερα δεν έχει πετύχει πειστικά την ενοποίηση των νόμων της φύσης .

Η φύση, ο κόσμος μας δεν είναι φτιαγμένος με μαθηματική λογική, δεν είναι μια μαθηματική θεωρία. Τα αντικείμενά της δεν είναι μαθηματικά αντικείμενα.
Στο παράδειγμα με τις μέλισσες που ανέφερε ο Δημήτρης, προφανώς οι μέλισσες δεν γεννήθηκαν μαθηματικά ταλέντα και δεν έμαθαν μαθηματικά σε κάποια αίθουσα, για να λύσουν το δύσκολο πρόβλημα της κατασκευής της κερήθρας. Εξελικτικά προσάρμοσαν τις λειτουργίες της ζωής τους προς κάτι ανώτερο και αυτό ήταν μαθηματική κατασκευή της κερήθρας.

Ο κόσμος μας υπάρχει με τρόπο ώστε, οι λειτουργίες του και οι νόμοι που υπακούει να εξελίσσονται προς μια ανώτερη μορφή οργάνωσης, η οποία οριοθετείται από τα μαθηματικά αλλά σε καμιά περίπτωση αυτός ο κόσμος δεν είναι μαθηματικά.

Ένας σημαντικός λόγος για να μάθουμε μαθηματικά είναι γιατί η ίδια η φύση το επιβάλλει, όπως επιβάλλει και τον τρόπο με τον οποίο πρέπει να τα μάθουμε: όχι για να την ερμηνεύσουμε ως κάτι που είναι έξω από εμάς - δεν είμαστε παρά το ίδιο μ' αυτή και έχουμε την ίδια αγωνία. Να οργανώσουμε τη ζωή μας - την ύπαρξή μας προς το καλύτερο δυνατό ακολουθώντας τον δρόμο που χαράσσουν τα μαθηματικά μας.

[Demetres]

Ας δούμε και αυτό το άρθρο (στα αγγλικά) του Underwood Dudley.

Επεξεργασία: Διόρθωση συνδέσμου.