Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Συντονιστής: spyros

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Δευτ. Ιουν. 11, 2012 6:20 am

6o Σημείωμα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΥΣ ΦΙΛΟΥΣ

1) «…………….Να έχουμε επιτέλους ΕΝΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ με ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΒΙΒΛΙΑ και ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ και όχι μία συρραφή από ιδέες διαφόρων - καταξιωμένων και ικανών ή όχι - οι οποίες όμως δεν μπορούν να συγκροτήσουν μία ολότητα………..Συνεπώς, «απλά» χρειάζεται να αποκτήσουμε ταυτότητα ως χώρα : τι θέλουμε να κάνουμε και με βάση αυτό να οργανώσουμε και τα σχολεία μας, ……» (Polysot)
Φίλε Σωτήρη,
ακριβώς, όπως τα γράφεις είναι. Όμως, όλα αυτά δεν είναι τυχαία. Κάποιο σκοπό εξυπηρετούν. Μια ματιά στο κείμενο της συνθήκης του Μάαστριχτ και στο Πράσινο Βιβλίο για την Εκπαίδευση, θα μας έλυνε πολλές από τις απορίες μας


2) «…..Σε πρώτη λοιπόν φάση τοποθετούμαι εκφράζοντας την άποψη, ότι είναι επιβεβλημένο να διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά αφού είναι ενάντια στην ίδια τη φύση η αποστασιοποίηση από την διδασκαλία τους στον άνθρωπο……..» (S.E. Louridas)
Φίλε Σωτήρη,
όπως πάντα σύντομος και ακριβολόγος. Γι' αυτό σε θαυμάζω


3) «…Σε διδακτική ώρα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας μαθητής κάνει την ερώτηση σε τι θα του χρειαστούνε τα Μαθηματικά στη ζωή του ;
Το πρώτο που σκέφτηκα είναι ότι είναι ερώτηση για να με καθυστερήσει ....όμως είναι πολύ καλός στα Μαθηματικά και δεν μου αρέσει να μην απαντάω σε ερωτήσεις . Η απάντηση μου είναι ότι ακονίζουνε το ανθρώπινο μυαλό και ο σκεπτόμενος άνθρωπος πρέπει να έχει κριτική σκέψη και να αμφισβητεί στην εποχή μας…» (stopjohn)
Φίλε Γιάννη,
Ήδη, μ’ αυτή σου την περικοπή, απάντησες στο ερώτημα «τι είναι κριτική σκέψη»


4) «…Τώρα εγώ αναρωτιέμαι: Από τα πρώτα χρόνια της εμφάνισης της ζωής, έτσι κατασκεύαζαν οι μέλισσες την φωλιά τους; Ή μήπως με το πέρασμα των αιώνων βελτίωσαν την τεχνική τους; Αν αυτό συνέβη, τότε μήπως και αυτές έχουν έναν τρόπο να διδάσκουν από γενιά σε γενιά τα δικά τους μαθηματικά;…» (ΔΗΜΗΤΡΗΣ)
Φίλε Δημήτρη,
Η περικοπή: «…Ή μήπως με το πέρασμα των αιώνων βελτίωσαν την τεχνική τους;…», κατά τη γνώμη μου, δεν είναι ερώτηση, είναι "ερώτηση-άποψη" με σπουδαίο περιεχόμενο


5) «Η φύση,……………, δεν είναι μια μαθηματική θεωρία. Τα αντικείμενά της δεν είναι μαθηματικά αντικείμενα……...
……..Στο παράδειγμα με τις μέλισσες που ανέφερε ο Δημήτρης, προφανώς οι μέλισσες…..Εξελικτικά προσάρμοσαν τις λειτουργίες της ζωής τους προς κάτι ανώτερο και αυτό ήταν μαθηματική κατασκευή της κερήθρας…….» (Κ. ΣΕΡΙΦΗΣ)
Φίλε Κώστα,
Συμφωνώ και επαυξάνω μ’ αυτή σου την άποψη. Ακριβώς, αυτό συνέβη.


6) Demetres
Φίλε Demetres ,
Ο Underwood Dudley χαρακτηρίζεται σαν ο «λαογράφος των Μαθηματικών», μ’ αυτή την έννοια, είναι σημαντική η προσφορά του στο θέμα που συζητάμε


με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Πέμ. Ιουν. 14, 2012 12:59 pm

7o σημείωμα
Σε προηγούμενο σημείωμα υποσχεθήκαμε να ασχοληθούμε με τις μορφές της Λογικής Νόησης. Για τις σχέσεις αυτών των μορφών με τα Μαθηματικά δεν χρειάζεται να επιχειρηματολογήσουμε αφού τις χρησιμοποιούμε κάθε τόσο στη θεωρία και στις ασκήσεις των Μαθηματικών και το όνομά τους μας είναι γνωστό. Απλά θα αναφέρουμε τα κύρια χαρακτηριστικά κάθε μιας απ' αυτές.

I. Λογική Νόηση
Η Λογική Νόηση είναι ένα ποιοτικά ανώτερο στάδιο στην ανάπτυξη της γνώσης. Σκοπός της, να αποκαλύψει τις πάγιες ιδιότητες, τα βασικά γνωρίσματα του αντικειμένου. Οι μορφές της λογικής νόησης είναι:

● «Έννοια»:Η έννοια δεν αντανακλά όλες τις πτυχές του αντικειμένου, αλλά μόνο τις ουσιαστικές, τις γενικές, κάνοντας αφαίρεση των επουσιωδών γνωρισμάτων.
● «Κρίση»: Κρίση είναι η μορφή της νόησης που βεβαιώνει κάτι ή αρνείται κάτι. Οι έννοιες και οι κρίσεις είναι αλληλένδετες.
● «Συλλογισμός»: Συλλογισμός είναι η δημιουργία νέας κρίσης (συμπέρασμα) από τα στοιχεία των κρίσεων (προκείμενα). Με βάση τους συλλογισμούς, από τις υπάρχουσες γνώσεις είναι δυνατό να προκύψουν νέες γνώσεις.
● «Υπόθεση»: Υπόθεση είναι η εικασία για τα φαινόμενα, τα γεγονότα τους νόμους. Στα Μαθηματικά με την "Υπόθεση" δεχόμαστε κάτι σαν αληθινό και το χρησιμοποιούμε στην πορεία της απόδειξης. Αν στο σύνολο των "Υποθέσεων" ενός προβλήματος υπάρχει κάποια που δεν παίρνει μέρος στην απόδειξη, αυτή την υπόθεση τη χαρακτηρίζουμε ως "λογικό πλεονασμό" αι την "αγνοούμε".
● «Ιδέα»: Κάτω από την επίδραση των πρακτικών αναγκών, στο κεφάλι του ερευνητή γεννιέται πρώτα η ιδέα, η οποία προηγείται από την κίνηση της σκέψης, που χαράζει τις βασικές κατευθύνσεις των επιστημονικών αναζητήσεων. Η ιδέα αυτή δίνει, συνήθως, μια αμυδρή, κατά προσέγγιση, απάντηση στα ζητήματα της πράξης.
● «Φαντασία»: Είναι μια ιδιαίτερη και πρωτότυπη αντανάκλαση της αντικειμενικής πραγματικότητας στη συνείδηση, μια εικονογραφημένη αναπαράσταση πραγματικών ή μη πραγματικών φαινομένων. Κάθε αναπαράσταση (ακόμη και η πιο φανταστική), μακριά από του να είναι καθαρά υποκειμενικό προϊόν της ανθρώπινης συνείδησης, πηγάζει, σε τελευταία ανάλυση, από την αντανάκλαση της αντικειμενικής πραγματικότητας. Πρέπει να γίνει διάκριση ανάμεσα στην άγονη φαντασία που στηρίζεται πάνω σε εσφαλμένες αντιλήψεις της πραγματικότητας και στη γόνιμη που αντλεί δυνάμεις από τη γνώση των γεγονότων. Είναι χαρακτηριστικό ότι η ιδέα που προηγείται της θεωρίας δεν γεννιέται μόνο κάτω από την επίδραση της πράξης, αλλά υπαγορεύεται και από τη λογική ανάπτυξη της ίδιας της επιστήμης.
● «Θεωρία»: Οι επιστημονικές θεωρίες εκπροσωπούν τη βαθιά, πολύπλευρη γνώση για ορισμένες διαδικασίες ή τομείς της πραγματικότητας. Οι γνώσεις αυτές επαληθεύονται με τον πειραματισμό και την πρακτική.

II. Η μεθοδολογία της επιστημονικής γνώσης
● «Ανάλυση»: Με την "Ανάλυση" δεχόμαστε την αποδεικτέα σαν αληθινή και με μια σειρά αντιστρεπτών (αμφιμονοσήμαντων) βημάτων καταλήγουμε σε κάτι προφανές
● «Σύνθεση»: Σε αντίθεση με την "Ανάλυση", στη "Σύνθεση" ξεκινάμε από τις υποθέσεις του προβλήματος και με μια διαδοχή συλλογισμών καταλήγουμε στο "Συμπέρασμα"
● «Επαγωγή»: Επαγωγή είναι η διαδικασία κίνησης της σκέψης από τα ξεχωριστά φαινόμενα στα γενικά συμπεράσματα. Ως γνωστό, νόμος είναι το γενικό και επαναλαμβανόμενο στα φαινόμενα. Το γενικό, όμως, δεν υπάρχει παρά μέσα στο ξεχωρι-στό. Σαν μέσο απόχτησης γενικής γνώσης από τη γνώση του ξεχωριστού, η επαγωγή είναι σπουδαία μέθοδος αποκάλυψης των νομοτελειών και των αιτιωδών συνδέσεων.
● «Παραγωγή» (ή παραγωγική απόδειξη): Είναι η διαδικασία κίνησης της σκέψης από το γενικό στο μοναδικό. Όταν υπάρχει γνώση για μια ολόκληρη τάξη πραγμάτων, στο σύνολό της, η παραγωγή επιτρέπει να επεκταθεί αυτή η γνώση σε οποιο-δήποτε αντικείμενο της ίδιας τάξης. Η παραγωγή χρησιμεύει σαν μέθοδος επεξεργασίας της επιστημονικής θεωρίας.
● «Αφαίρεση»: Είναι το αποτέλεσμα της νοερής απομάκρυνσης από ορισμένες πτυχές ή γνωρίσματα του αντικειμένου και της προβολής άλλων, απαραίτητων και σπουδαίων για το δοσμένο στάδιο της έρευνας. Τελικά, διαμορφώνονται οι αφηρημένες έννοιες που, όπως, ξέρουμε, είναι σπουδαία μορφή της λογικής γνώσης. Η αφαίρεση αποτελεί διαδικασία μετάβασης απ’ το αντικείμενο στην εικόνα. Στο υποκείμενο δημιουργούνται εικόνες ως αποτέλεσμα της αντανάκλασης της αντικειμενικής πραγματικότητας σ’ αυτό, από την αλληλεπίδραση μαζί της, δηλ. δημιουργούνται μοντέλα της πραγματικότητας. Πρόκειται για εικόνες αντικειμένων και φαινομένων [συσχετίσεις, συναρτησιακές σχέσεις].
● «Αναγωγή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο»: Μια άλλη μέθοδος διερεύνησης του αντικειμένου στην κίνηση και εξέλιξή του, στις εσωτερικές διασυνδέσεις του, είναι η αναγωγή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο. Το συγκεκριμένο εκπροσωπεί το αντικείμενο που αντανακλάται στη νόηση, με πλήρη ενότητα των ουσιαστικών, των διασυνδέσεων και σχέσεών του. Το αφηρημένο και το συγκε-κριμένο, σαν λογικές κατηγορίες, εδράζονται στην αντικειμενική πραγματικότητα, δηλαδή στην ενότητα, ολότητα των αντικειμένων και φαινομένων του κόσμου, που συνεπάγονται ορισμένα συστατικά, μέρη, γνωρίσματα.

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

Υ.Γ. στο επόμενο σημείωμα θα ασχοληθούμε με τη σχέση ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Μουσική
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό freyia » Πέμ. Ιουν. 14, 2012 1:46 pm

ykerasar έγραψε:Υ.Γ. στο επόμενο σημείωμα θα ασχοληθούμε με τη σχέση ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Μουσική


Κ'υριε Γιάννη, επειδή είμαι μουσικός και γνωρίζω ελάχιστα για την σχέση της μουσικής με τα μαθηματικά, αν σας είναι εύκολο, δώστε μια εκτενή αναφορά στο θέμα που προαναγγέλετε, που το θεωρώ πολύ ενδιαφέρον.

Ευχαριστώ.
freyia
 
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Πέμ. Δεκ. 15, 2011 9:44 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Κυρ. Ιουν. 17, 2012 9:18 pm

8ο Σημείωμα
Μαθηματικά και Μουσική

Εισαγωγικά. Απ’ την εποχή, ακόμα, των πυθαγορείων υπάρχει συσχετισμός της Μουσικής με τα Μαθηματικά. Από την πληθώρα στοιχείων θα διαλέξουμε δύο αποσπάσματα απ’ αυτά που είπαν (ή έγραψαν) δύο σημαντικοί άνθρωποι του πνεύματος: ο μουσικοσυνθέτης Ιάννης Ξενάκης και ο ακαδημαϊκός Φίλων Βασιλείου.

►▪ Ιάννης Ξενάκης [1922-2001]

Προλεγόμενα. Χρειάστηκαν αρκετοί αιώνες, ως ότου αναπτυχθούν τα Μαθηματικά (και κοντά σ’ αυτά, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές) για να φτάσουμε στον Ιάννη Ξενάκη, ο οποίος έκανε συνειδητή χρήση των Μαθηματικών στη δημιουργία σημαντικών μουσικών συνθέσεων. Ο Ιάννης Ξενάκης, πρωτοπόρος της ηλεκτρονικής μουσικής, μαθηματικός, φιλόσοφος και αρχιτέκτονας, είπε (στις 17/9/1975 και 21/9/1975) για τον τρόπο με τον οποίο κάνει συνθέσεις με τη βοήθεια των Μαθηματικών:
Ιάννης Ξενάκης: «....Αυτά σας τα λέω…. για να περάσει η ώρα. [ Γέλια]. Κι αυτός είναι ένας τύπος θεμελιώδης του Gauss, από τον οποίο εξαρτώνται πολλά φαινόμενα στη Βιολογία, στην Αστρονομία και παντού. Επομένως και στην μουσική. Τώρα γενικεύω. Κατ’ αυτό τον τρόπο, με τύπους μαθηματικούς, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύστημα, δηλαδή ένα μηχανισμό αφηρημένο που να κάνει τις αποφάσεις που θα ‘θελα να έκανα εγώ. Βρήκα, δηλαδή, αυτό που ονειρευόμουν. Ένα οργανωτικό σύστημα, που να μου φτιάχνει ορισμένα συμβάντα, μουσικά ή οπτικά και, εφόσον αυτοί οι τύποι είναι μαθηματικοί, είναι δυνατό να τους συναρμολογήσω έτσι, ώστε να μπορέσει μια υπολογιστική μηχανή να τους εκτελέσει. αυτό, βέβαια, θα γίνει από το πέρασμα ενός προγράμματος….»
«…Θα μιλήσω τώρα, για μιαν άλλη άποψη της μουσικής, πως μπορεί να καταλήξει πάλι, κατ’ αυτή την έννοια της απόλυτης ελευθερίας, σ’ ένα τύπο διαφορετικό που είναι του Gauss ( κι αυτός ένας θεμελιώδης τύπος των Μαθηματικών, του λογισμού των πιθανοτήτων και, γενικά, της Φυσικής, της Στατιστικής, της Κοινωνιολογίας, της ανθρωπομετρήσεως κλπ., κλπ.). Θα πάρω μια απεικόνιση που χρησιμοποίησα πριν είκοσι χρόνια επειδή ευτυχώς είχα κάνει ορισμένες σπουδές στο Πολυτεχνείο κ’ ήξερα να σχεδιάζω στον δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο με τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Έτσι μετέφρασα τους κώδικες [ δείχνει στον πίνακα] σ’ αυτόν εδώ, που είναι πιο ακριβής και πιο διεθνής – λίγο πολύ τον καταλαβαίνει όλος ο κόσμος. Λοιπόν τι σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι αν πάρω αυτό τον άξονα, διατηρώντας δηλαδή αυτό που είχαν ανακαλύψει οι μουσικοί πριν χίλια χρόνια – πρώτοι αυτοί πριν από τους γεωμέτρες και τους μαθηματικούς – όπου, δηλαδή προς τα πάνω έχω τους οξύτερους ήχους και προς τα κάτω έχω τους βαρύτερους ήχους, και πάρω ένα σημείο [γράφει μια τελεία] που αντιστοιχεί στο " λα" – 440 διπλοί παλμοί ανά δευτερόλεπτο δηλαδή Hertz – παίρνω μια μονάδα γραφική που να δηλοί το ημιτόνιο˙ τότε κάθε σημείο πάνω σ’ αυτή την ευθεία, σ’ αυτό τον άξονα, θα δηλοί ένα φθόγγο, δηλαδή ένα ύψος του ήχου. Τώρα το ίδιο θα κάνω με το χρόνο με μονάδα λ.χ. το δευτερόλεπτο και μια αφετηρία που θα την έχω συνδέσει με τα περασμένα μεσάνυχτα. Τότε κάθε σημείο θα αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη στιγμή. Ώστε ένα σημείο [ γράφει μια τελεία στον πίνακα] σ’ αυτό το δισδιάστατο χώρο θα σημαίνει έναν ήχο που θα είναι στιγμιαίος – δεν θα ‘χει έκταση ούτε κατά την έννοια του χρόνου, ούτε κατά την έννοια του ύψους – ας πούμε, ένας στικτός ήχος σε μια χορδή, ή ένας πολύ σύντομος ήχος σαν κραυγή. Ένας ήχος, όμως, που κρατιέται ορισμένο διάστημα χωρίς να μεταβάλλεται το ύψος του, θα ζωγραφιστεί έτσι [ τραβάει μια γραμμή παράλληλη προς την παράμετρο του χρόνου]. Φυσικό είναι να σκεφτεί κανένας τι πάει να πει αυτό. [ και σημειώνει μια γραμμή διαγώνια προς τις δύο παραμέτρους]. Αυτό είναι ένας ολισθαίνον ήχος που πάει απ’ τα οξύτερα προς τα βαρύτερα και το αντίθετο. Ώστε αυτή η γραφή μας επιτρέπει να γενικεύσουμε την έννοια του ύψους και να συμπεριλάβουμε τους ολισθαίνοντες ήχους. Και, επομένως, να φτιάξουμε ένα σωρό κατασκευές με ευθείες γραμμές, δηλαδή με glissandi, όπως λέμε στη μουσική. Ας πούμε, αν έχουμε μια ορχήστρα εγχόρδων, όπως ακούσατε ή θ’ ακούσετε αν πάτε στις συναυλίες στο Ηρώδειο μπορεί κάλλιστα το κάθε όργανο να φτιάξει από μια τέτοια ευθεία, και μπορούνε να συγκροτηθούν σε κατασκευές λίγο πολύ πολύπλοκες…..»

►▪ Φίλων Βασιλείου [1904-1983]
Προλεγόμενα. Θα ήταν σοβαρή παράλειψη αν δεν σας μεταφέραμε ένα απόσπασμα από ένα κείμενο του Ακαδημαϊκού και καθηγητή Μαθηματικών στο Ε.Μ.Π. Αρχικά δημοσιεύθηκε στο περιοδικό «ΕΥΘΥΝΗ» [τ. 50, 1976, σελ. 49-52] και στη συνέχεια στη «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ» [τ. 9, 1978, σελ. 55-60]
Φ. Βασιλείου: «…Μια βασική τώρα έννοια, κοινή στα Μαθηματικά και την Καλλιτεχνία, εκτός από τις γνωστές σε όλους χρυσή τομή και συμμετρία, είναι εκείνη του συμπλέγματος, αλλιώς ομάδας, που πηγάζει απ’ αυτή την έννοια της συμμετρίας. Σ’ ένα γεωμετρικό σχήμα συμμετρία είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των σημείων του σχήματος επάνω στα ίδια αυτά σημεία με διατήρηση της απόστασής τους ανά δύο. Η πράξη της αλλεπάλληλης εφαρμογής δύο τέτοιων απεικονίσεων, που έχει ορισμένες ιδιότητες, παρέχει ένα σύστημα από απεικονίσεις. Γενίκευση του συστήματος αυτού σε οποιαδήποτε αφηρημένα στοιχεία – στη θέση απεικονίσεων – για τα οποία ορίζεται μια μονοσήμαντη διμελής πράξη που υπακούει σε ίδιες ιδιότητες όπως οι απεικονίσεις, αποτελεί αυτό που ονομάζουμε σύστημα συμπλεγμάτων.
Η έννοια του συμπλέγματος εισέρχεται σε κάθε σχεδόν κλάδο των σύγχρονων Μαθηματικών. Ιδιαίτερα μια από τις πιο βασικές και ωραίες μαθηματικές θεωρίες, η λεγόμενη θεωρία του E. Galois (1811-1832) , έχει τις ρίζες της στα συμπλέγματα.
Στις Καλές Τέχνες, ιδιαίτερα στη Μουσική, η έννοια του συμπλέγματος παίζει επίσης σπουδαιότατο ρόλο. Έτσι η " Τέχνη της Φούγκας" του J.S. Bach (1685-1750) δείχνει το πόσο βαθιά εισδύουν στη μουσική σύνθεση μαθηματικές έννοιες. Άλλωστε η σημασία της επίδρασης καταφαίνεται και από το γεγονός , ότι το έργο αυτό θεωρείται ως το πιο μεγαλεπήβολο δείγμα σύνθεσης στη Μουσική της Δύσης. Δεν μπορεί φυσικά να υποστηριχθεί, ότι ο συνθέτης του υπ’ όψη έργου καθοδηγείτο ενσυνείδητα από κάποια μαθηματική θεωρία. Ακριβώς όμως η σύνθεση αυτή καταδεικνύει μια στενή συγγένεια ανάμεσα στη Μουσική και στα Μαθηματικά.
Από μουσικοκριτικές αναλύσεις της σονάτας 15 op. 28 για πιάνο του L. van Beethoven (1770-1827) συμπεραίνουμε ακόμα, ότι το έργο αυτό έχει συντεθεί, φυσικά με τρόπο μη συνειδητό, επάνω σε μαθηματικά πρότυπα, συγκεκριμένα τη θεωρία των συμπλεγμάτων. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί και για άλλες μουσικές συνθέσεις, όπως για μερικά όχι τόσο γνωστά έργα του W.A Mozart ( 1756-1791) και του J. Haydn ( 1732-1809)…»

Υ.Γ. 1 Για τον φίλο Freyia: Αγαπητέ φίλε, επειδή οι συντονιστές μας εφιστούν την προσοχή, ώστε τα κείμενά μας να μην είναι μακροσκελή και επειδή το υλικό που μου ζητάς είναι μακροσκελές, θα σε παρακαλέσω να μου στείλεις το mail σου για να σου στείλω το υλικό. Το δικό μου mail είναι: kerasaridis@yahoo.gr
Υ.Γ. 2 Στο επόμενο θα δημοσιεύσουμε ένα σημείωμα του σημαντικού μαθηματικού Τάσσου Πατρώνη, με τίτλο «ΓΙΑΤΙ ΔΙΔΑΣΚΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΠΟΙΟΥΣ;»

Με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Πέμ. Ιουν. 21, 2012 7:26 am

9ο σημείωμα

Προλεγόμενα: Ο Τάσος Πατρώνης διδάσκει στον Τομέα Παιδαγωγικής, Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Τον συνάντησα στο "10ο Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών", που οργανώνει ο σημαντικός μαθηματικός Δημ. Χασάπης (πανεπιστήμιο Αθήνας). Στο αίτημά μου να μου πει τη γνώμη του για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά, την επομένη μου έστειλε ηλεκτρονικά το παρακάτω σημείωμα:

«Γιατί διδάσκουμε Μαθηματικά και για ποιους;»
«Η μοναδική νέα αντίληψη που εισάγεται μέσα από την τελευταία εξέλιξη των σχολικών βιβλίων των Μαθηματικών (ιδίως για τις τρεις τελευταίες τάξεις του Δημοτικού) είναι μια κουλτούρα «διαχείρισης αριθμών», όπως αυτή που αντιμετωπίζει ο Μικρός Πρίγκιπας του Εξυπερύ στο πρόσωπο του Επιχειρηματία.
Πέρα από την πρωτοφανή αυτή παιδαγωγική αναισθησία του εγχειρήματος μιας τόσο βίαιης αποκόλλησης των παιδιών από την αθωότητα της ηλικίας τους, έχουμε εδώ και ένα ατόπημα στο καθαρά γνωστικό επίπεδο: όταν το παιδί των 8-12 χρόνων στρέφεται στο βασίλειο των αριθμών για να θέσει κάποια ερωτήματα, το κάνει παίζοντας σχεδόν και ξεκινώντας από συγκεκριμένες παραστάσεις οικείων πραγμάτων. Αντίθετα, τα σχολικά βιβλία του ζητούν να "επενδύσει" τους αφηρημένους αριθμούς στα συγκεκριμένα πράγματα. Προφανώς έτσι διδάσκονται τα Μαθηματικά σ’ ένα ταχύρρυθμο σεμινάριο τεχνικής κατάρτισης (know how), όχι στη σχολική εκπαίδευση.
Απέναντι στην υποτιθέμενη "διαχείριση" της μαθηματικής γνώσης μπορούμε, λοιπόν, να αντιτάξουμε την προέκταση αυτού που κάνουν αυθόρμητα τα παιδιά: την εξερεύνηση των παραστάσεων των πραγμάτων μέσα από ένα παιχνίδι, είτε αυτές οι παραστάσεις είναι μαθηματικές είτε επιδέχονται κάποιου είδους μαθηματικοποίηση»
Τάσσος Πατρώνης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Demetres » Παρ. Ιουν. 22, 2012 12:29 pm

Σήμερα υπέπεσε στην αντίληψή μου και ένα σχετικό άρθρο (στα Αγγλικά) από τον Günter Ziegler. Βρίσκεται στις σελίδες 8-11 του Newsletter της European Mathematical Society εδώ .

Διόρθωσα επίσης και τον σύνδεσμο για το άρθρο του Underwood Dudley που παρέπεμψα εδώ.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 5017
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Παρ. Ιουν. 22, 2012 3:15 pm

Φίλε DEMETRES,
πολλά ευχαριστώ για την πολύτιμη συμβολή σου στην πρόοδο αυτού του διαλόγου.
Φίλε DEMETRES, επαναλαμβάνω αυτό που τονίζω σε κάθε ευκαιρία: τέσσερα είναι τα κυριαρχικά ερωτήματα στα οποία οφείλει να απαντήσει οργανωμένα η ελληνική μαθηματική κοινότητα
α) τι είναι τα Μαθηματικά
β) για ποιο λόγο τα διδάσκουμε
γ) ποια Μαθηματικά πρέπει να διδάσκουμε σε κάθε βαθμίδα εκπαίδευσης
δ) πως να τα διδάσκουμε
Στη χώρα μας από ετών γίνεται μια οργανωμένη προσπάθεια να απαντηθεί το ερώτημα (δ). Προσωπικά πιστεύω πως αν δεν απαντήσουμε πρώτα στα ερωτήματα (α),(β),(γ) θα δυσκολευτούμε να απαντήσουμε πειστικά στο ερώτημα (δ).
Μιλώντας απλουστευτικά (με όλους τους κινδύνους που μπορεί να έχει ο τέτοιος λόγος), πιστεύω πως για ένα καινούργιο εργαλείο προκειμένου να το χρησιμοποιήσουμε, θα πρέπει προηγούμενα να μάθουμε πως είναι δομημένο, πως λειτουργεί, για ποιά εργασία προορίζεται...Το ίδιο ισχύει για το εργαλείο "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" για την ανθρώπινη δραστηριότητα.

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Σάβ. Ιουν. 23, 2012 5:35 pm

10ο σημείωμα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΔΙΑΣΤΗΜΑ, ΑΤΟΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Προλεγόμενα Συνεχίζουμε τα σημειώματά μας με θέμα τα Μαθηματικά, τη διαστημική προσπάθεια του ανθρώπου και την ατομική ενέργεια

Α) Μαθηματικά και Διάστημα
Στις χώρες με διαστημικά προγράμματα, οι στρατιωτικές υπηρεσίες , οι αεροναυτικές και οι ηλεκτρονικές βιομηχανίες είναι, όπως και τα πανεπιστήμια, οι σπουδαιότεροι εργοδότες των μαθηματικών. Ένα από τα μεγαλύτερα πεδία για τους επιστήμονες αυτούς είναι η κατάκτηση του διαστήματος. Οι μαθηματικοί προπαρασκευάζουν την εξωγήινη περιπέτεια.
Για μια μόνο πτήση στο διάστημα πρέπει να υπολογίσουν περί τις 100 τροχιές, για να διαλέξουν την καλύτερη δυνατή, καθώς και άλλες 20 διαζευκτικές για περιπτώσεις ανάγκης. Έχουν να λάβουν υπ’ όψη τους μύριους όσους παράγοντες, όπως τις πιθανότητες σύγκρουσης με μετεωρίτες, τις ασφαλέστερες πορείες διαμέσου των ακτινοβολιών, το βάρος και την κατανάλωση καυσίμων. Ο υπολογισμός της τροχιάς είναι ζήτημα δευτερολέπτων για ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή- αφού όμως έχουν εργασθεί προηγούμενα πέντε άτομα επί 4-5 μήνες για να τον τροφοδοτήσουν με σωστές πληροφορίες.
Μόνο όταν τελειώσουν οι μαθηματικοί αναλαμβάνουν οι μηχανικοί του διαστήματος- την κατασκευή του διαστημοπλοίου και την εκτόξευσή του. Η σημασία των Μαθηματικών φάνηκε καθαρά στην πρώτη πτήση του " Μάρινερ " προς την Αφροδίτη. Ένα μηδαμινό τυπογραφικό λάθος σε μια μαθηματική εξίσωση, που είχε τοποθετηθεί στον ηλεκτρονικό υπολογιστή, κατέστρεψε ολόκληρη την πτήση- ο "Μάρινερ" που είχε στοιχίσει 585.000.000 δραχμές, παρεξέκλινε από την τροχιά του και κατά συνέπεια απότυχε.
Και τώρα δύο…ανέκδοτα:
• Ο μαθηματικός Βίκτωρ Σέμπελυ ασχολείτο με την πρόβλεψη ουρανίων φαινομένων και άφηνε στους άλλους την φροντίδα της παρατήρησής τους. Έλεγε, χαρακτηριστικά: «αν οι παρατηρήσεις δεν επιβεβαιώνουν τις προβλέψεις μου, αυτό δεν σημαίνει ότι έχω κάνει λάθος. Δεν ξέρουν ίσως να παρατηρήσουν»(!!!)
• Ο Πολωνός μαθηματικός Stanislav Ulam (που εργαζόταν στο σχέδιο "Λος Αλαμος" για την κατασκευή της ατομικής βόμβας) όταν τον ρώτησαν αν υπήρξε συνεργάτης του Δρα Εντουαρντ Τέλλερ απάντησε: «Ο δρ Τέλλερ υπήρξε συνεργάτης μου»(!!!)
[πηγή: LIFE, τόμος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ]

Β) Μαθηματικά και ατομική ενέργεια
Από την αυγή της ατομικής εποχής οι μαθηματικοί έδειξαν βαθύ ενδιαφέρον για την πυρηνική φυσική, τόσο όσο οι ίδιοι οι φυσικοί. Αυτό εξακολουθεί και σήμερα, παρ’ όλο ότι οι μηχανές εκτελούν τώρα το έργο που προηγούμενα αναλάμβαναν οι ειδικοί επιστήμονες.
Οι εκατοντάδες των μαθηματικών που είχαν επιστρατευθεί για το πολεμικό σχέδιο Λος Αλάμος - την κατασκευή της ατομικής βόμβας - δεν είχαν στη διάθεσή τους παρά μία μόνο μηχανή ΙΒΜ, χονδροειδές αρχέτυπο των μετέπειτα ηλεκτρονικών υπολογιστών. Με ένα σύγχρονο υψηλής απόδοσης υπολογιστή η εργασία θα γινόταν στο ένα χιλιοστό του χρόνου που πραγματικά καταναλώθηκε. Ο Εντουαρντ Τέλερ, επικεφαλής του προγράμματος, σημείωνε: " Όταν υπάρχει πραγματική ανάγκη ο μαθηματικός πάντα νικά-αν είναι αλήθεια καλός" . Την ίδια εποχή ο καθηγητής (μαθηματικός) Stanislaw Ulam, όταν τον ρώτησαν αν υπήρξε συνεργάτης του δρα Εντουαρντ Τέλλερ απάντησε ότι «Ο δρ Τέλλερ υπήρξε συνεργάτης μου»
[πηγή: LIFE, τόμος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ]
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Παρ. Ιουν. 29, 2012 3:12 pm

11o σημείωμα

Μαθηματικά και Κυβερνητική
Η μελέτη των γενικών νόμων που διέπουν τα συστήματα ελέγχου αποτελεί αντικείμενο της ειδικής επιστήμης που λέγεται Κυβερνητική. Ο όρος κυβερνητική προέρχεται από την ελληνική λέξη "κυβερνήτης" και μας θυμίζει ότι η κυβερνητική είναι η επιστήμη για τους γενικούς νόμους του μετασχηματισμού των πληροφοριών στα συστήματα ελέγχου.
Η εμφάνιση της κυβερνητικής είναι αποτέλεσμα της προηγούμενης ανάπτυξης της επιστήμης και της τεχνολογίας. Θεμέλιο της κυβερνητικής είναι τα σύγχρονα Μαθηματικά, οι κλάδοι τους που αναπτύσσονται καταπληκτικά, όπως είναι η Άλγεβρα, η Θεωρία των Πληροφοριών, η Θεωρία των Αλγορίθμων, η Θεωρία των βέλτιστων αποφάσεων, η Θεωρία της Μαζικής Εξυπηρέτησης, η Επιχειρησιακή Έρευνα κλπ.
Το γεγονός ότι η κυβερνητική είναι εφαρμόσιμη, εκφράζεται με την χρησιμοποίησή της στα πιο διαφορετικά αντικείμενα έρευνας του πραγματικού κόσμου. Έτσι:
* Μπροστά στην οικονομική κυβερνητική μπαίνει ο στόχος της εφαρμογής στην οικονομία των γενικών νόμων που διέπουν τα συστήματα ελέγχου.
* Η βιοκυβερνητική εξετάζει τους ζωντανούς οργανισμούς, την ανθρώπινη σκέψη, ασχολείται με την δημιουργία μοντέλου της νοήσεως ή του εγκεφάλου.
* Η τεχνική κυβερνητική εξετάζει τα προβλήματα του σχεδιασμού πολύπλοκων συστημάτων πχ. ηλεκτρονικών υπολογιστών, των πληροφοριοδοτικών συστημάτων κλπ.
Η κυβερνητική σήμερα είναι η θεωρητική βάση του αυτοματισμού και κυρίως του αυτοματισμού πολλών ειδών της πνευματικής δραστηριότητας.
Συστατικά μέρη της κυβερνητικής είναι:
α) Θεωρία πληροφοριών. Σπουδαίο συστατικό της κυβερνητικής είναι η λεγόμενη θεωρία των πληροφοριών. Η θεωρία αυτή εξετάζει τις διάφορες μορφές της παρουσίασης και της μετάδοσης των πληροφοριών, όχι μόνο από αφηρημένη άποψη, αλλά και σχετικά με την εφαρμογή τους στα συγκεκριμένα συστήματα ελέγχου. Οι πληροφορίες μπορούν να διατυπωθούν σε δύο μορφές, τη συνεχόμενη και τη διακοπτόμενη. Η διαδικασία της διατυπώσεως των πληροφοριών με γράμματα του αφηρημένου αλφαβήτου στη σειρά λέγεται κωδικοποίηση. Η αντίστροφη διαδικασία της αποκατάστασης της αρχικής μορφής πληροφοριώννμε τον διακεκομένο κώδικά τους, λέγεται αποκωδικοποίηση.
β) Θεωρία των αυτομάτων. Προβλήματα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης, καθώς και άλλα ζητήματα δημιουργούνται κατά κύριο λόγο στην επεξεργασία των μηχανισμών εισόδου και εξόδου στα συστήματα ελέγχου. Θεωρητική βάση των συσκευών για το μετασχηματισμό των πληροφοριών είναι ο κλάδος της σύγχρονης κυβερνητικής που λέγεται θεωρία των αυτομάτων. Το βασικό αντικείμενο μελέτης αυτής της θεωρίας είναι το αυτόματο, οι ιδιότητές του, η δομή του, ο σχεδιασμός του, καθώς και οι τρόποι μετασχηματισμού των πληροφοριών με τη βοήθεια των αυτομάτων. Η θεωρία των αυτομάτων συνδέεται στενά με την θεωρία των Αλγορίθμων, ενώ η ίδια η έννοια του αυτόματου βασίζεται στην έννοια του αλγόριθμου.
γ) Θεωρία των αλγορίθμων . Όλα τα αποτελέσματα, τα οποία μπορούν να επιτευχθούν, μέσα στα πλαίσια μιας μοναδικής παραγωγικής θεωρίας, μπορούν επίσης να επιτευχθούν με υπολογισμούς, οι οποίοι βασίζονται σε ένα ορισμένο σύνολο κανόνων. Αν δοθεί μια αυστηρά ορισμένη διαδικασία για την λύση κάποιας κλάσης προβλημάτων, τότε μιλούμε για μαθηματικό αλγόριθμο.

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Δευτ. Ιούλ. 02, 2012 5:41 am

12ο σημείωμα

Προλεγόμενα Συνεχίζουμε τη σειρά σημειωμάτων με την οποία κάνουμε την προσπάθεια να τεκμηριώσουμε τους λόγους για τους οποίους πρέπει να διδάσκουμε τα Μαθηματικά. Το σημείωμα αυτό είναι μέρος μιας εργασίας με τίτλο «Μαθηματικά και Αισθητική», που δημοσίευσε ο Ακαδημαϊκός (καθηγητής Μαθηματικών στο ΕΜΠ) Φίλων Βασιλείου [1904-1983], στο περιοδικό «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ» (τ. 9, σελ. 55)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ
«Είναι δύσκολο για τους πολλούς να κατανοήσουν την ύπαρξη οποιασδήποτε συγγένειας ανάμεσα στα Μαθηματικά και την Αισθητική. Κι’ αυτό γιατί ο κοινός άνθρωπος θεωρεί τα Μαθηματικά σαν μια επιστήμη σκοτεινή και ψυχρή, που περισσότερο αποκρούει παρά θέλγει και που γι αυτό κάθε αισθητικό στοιχείο της είναι ξένο και απρόσιτο. Ο ίδιος ακόμα συναρτά την ύπαρξη του Ωραίου μόνο με τη Φύση και την Καλλιτεχνία. Δεν ημπορεί λοιπόν να σκεφθεί με ποιο μια τόσο έκδηλα νοητική δραστηριότητα, όπως εκείνη του μαθηματικού, είναι δυνατό να σχετίζεται με τον συναισθηματικό κόσμο, μέσα στον οποίο πολλές φορές ο καλλιτέχνης κινείται και δημιουργεί.
Ωστόσο, αν δε σταθεί κανείς στην απλοϊκή αυτή αντίληψη και αν ζητήσει, ακόμη και ως μη ειδικός, να ερευνήσει για βαθύτερες αναλογίες, δεν θ’ αργήσει να εντυπωσιαστεί από πολύ στενές ομοιότητες, που υπάρχουν στις επιφανειακά τόσο διαφορετικές λειτουργίες του μαθηματικού και του καλλιτεχνικού νου. Δεν αποκλείεται, η έκπληξη να οδηγήσει ακόμα και στην ακραία άποψη, πως δηλ. τα Μαθηματικά πρέπει κι αυτά να θεωρηθούν ως μία Καλή Τέχνη.
Οι ομοιότητες, για τις οποίες έγινε λόγος, αφορούν είτε στον τρόπο λειτουργίας του δημιουργικού νου, στις δύο εξεταζόμενες περιπτώσεις, είτε σε κοινές βασικές έννοιες που χρησιμοποιεί τόσον ο μαθηματικός όσον και ο καλλιτέχνης. Εξ’ άλλου η θεώρηση καθ’ εαυτήν οποιασδήποτε μαθηματικής δομής μαζί με τη χρησιμοποιούμενη μέθοδο δόμησή της παρέχει πραγματικά μια καθαρά αισθητική απόλαυση με τη θαυμαστή αρμονία αρχιτεκτονικής και την κομψότητα στην έκθεση των θεωριών της.
…………………………………………………………………………………………
Μια βασική τώρα έννοια, κοινή στα Μαθηματικά και την Καλλιτεχνία, εκτός από τις γνωστές σε όλους χρυσή τομή και συμμετρία, είναι εκείνη του συμπλέγματος, αλλιώς ομάδας, που πηγάζει απ’ αυτή την έννοια της συμμετρίας. Σ’ ένα γεωμετρικό σχήμα συμμετρία είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των σημείων του σχήματος επάνω στα ίδια αυτά σημεία με διατήρηση της απόστασής τους ανά δύο. Η πράξη της αλλεπάλληλης εφαρμογής δύο τέτοιων απεικονίσεων, που έχει ορισμένες ιδιότητες, παρέχει ένα σύστημα από απεικονίσεις. Γενίκευση του συστήματος αυτού σε οποιαδήποτε αφηρημένα στοιχεία – στη θέση απεικονίσεων – για τα οποία ορίζεται μια μονοσήμαντη διμελής πράξη που υπακούει σε ίδιες ιδιότητες όπως οι απεικονίσεις, αποτελεί αυτό που ονομάζουμε σύστημα συμπλεγμάτων.
…………………………………………………………………………………………
Αλλά και σχετικά με την ίδια τη δομή της μαθηματικής θεωρίας υπάρχει υψηλή αισθητική απόλαυση, που για να τη δοκιμάσει όμως κανείς απαιτείται – όπως και στην Τέχνη- προηγούμενη καλλιέργεια αυτού που ονομάζουμε μαθηματικό γούστο , ανάλογο με το καλλιτεχνικό. Την αισθητική απόλαυση, στην περίπτωση μιας μαθηματικής θεωρίας, τη δίνει η τελειότητα στις αποδείξεις, η αρμονία ανάμεσα στα διάφορα μέρη και η αυστηρή αρχιτεκτονική του Όλου. Στην αρμονία αυτή, τη συμμετρία και την πλήρη ισορρόπηση των μερών, αποδίδει ο H. Poincaré την αίσθηση της κομψότητας, που χαρακτηρίζει τα Μαθηματικά.
Αναφορικά με τη μέθοδο δομήσεως σημειώνουμε, ότι ένα από τα κύρια εφόδια στα Μαθηματικά είναι οι συμβολικοί τύποι, που αντιπροσωπεύουν αυτές τις ίδιες τις μαθηματικές ιδέες. Ώστε, η ακολουθούμενη αξιωματική μεθοδολογία για τον χειρισμό των τύπων αυτών εμφανίζει ένα πρόσθετο τομέα, άξιο να εξεταστεί για τον αισθητικό του χαρακτήρα.
…………………………………………………………………………………………
Με τους χαρακτηρισμούς " υπέροχο" και "ευγενικό" για το μαθηματικό κάλλος, εκφράζεται επίσης ο B. Russell (1872-1971). Όταν μιλούμε βέβαια για το μαθηματικό κάλλος, δεν το ταυτίζουμε με εκείνο στις άλλες δραστηριότητες του ανθρώπου. Γιατί, παρά τις ομοιότητες που τονίσαμε, υπάρχουν και σημαντικές διαφορές στα διάφορα είδη πνευματικής και καλλιτεχνικής δημιουργίας που, μεταξύ άλλων, οφείλονται και στα διαφορετικά μέσα που χρησιμοποιούνται σ’ αυτές.
…………………………………………………………………………………………»

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Σάβ. Ιούλ. 07, 2012 10:21 am

13ο Σημείωμα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ (1)


Για να δείξουμε τη σχέση ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Λογοτεχνία, θα παραθέσουμε δύο σημειώματα· το ένα τώρα, με τίτλο «Η ποιητική των αριθμών» του σημαντικού μαθηματικού και συγγραφέα Στέφανου Μπαλή [δημοσιεύτηκε στην εφημερίδα ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ στις 11/4/2004].
Το δεύτερο σημείωμα αφορά σχετικές απόψεις του μαθηματικού και λογοτέχνη Έκτωρα Κακναβάτου.

Απόσπασμα από την " ποιητική των αριθμών",
του Στέφανου Μπαλή

«Τι είναι όμως ποίηση και τι μαθηματικά;………………….
…………….. Χαρακτηριστική είναι η φράση του Γερμανού φυσικού Bέρνερ Kαρλ Χάιζενμπεργκ, ο οποίος τιμήθηκε το 1932 με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής για το έργο του στον κλάδο της κβαντομηχανικής: «Μόνο δύο γλώσσες έχει ο άνθρωπος για να αντιμετωπίσει την πραγματικότητα, τα μαθηματικά και την ποίηση».

Κοινά σημεία
«Έχουν τα μαθηματικά και η ποίηση κάποια κοινά χαρακτηριστικά, ομοιότητες, κάποια συγγένεια ή τα χωρίζει ένα μεγάλο χάσμα όπως νομίζουν πολλοί; Θεωρώντας ότι αυτή η συγγένεια υπάρχει, στο παρόν άρθρο θα γίνει προσπάθεια να φανερωθεί, να αποδειχθεί, όπως λέμε οι μαθηματικοί. Και όπως κάθε απόδειξη, για να είναι έγκυρη, πρέπει να στηρίζεται σε επιχειρήματα, σε αξιώματα και θεωρήματα και τέτοια είναι ποιήματα και κείμενα ποιητών, καθώς και σκέψεις και ιδέες μαθηματικών.
Ας αρχίσουμε με τον Οδυσσέα Ελύτη, ο οποίος έχει μετατρέψει σε ποίηση βασικές μαθηματικές έννοιες και ιδέες. Στο δοκίμιό του «H μέθοδος του άρα» σημειώνει: «Τον καιρό που δεν καταλάβαινα τα μαθηματικά, θυμάμαι, μου λέγανε ότι δεν είχα παρά να μετατοπισθώ κατά ένα βήμα, σαν συλλογιστικός μηχανισμός, για να διατρέξω την απέραντη και συνάμα μηδαμινή απόσταση που ένιωθα να με χωρίζει απ' αυτόν τον χώρο. Και αναρωτιέμαι: μήπως θα ήταν χρήσιμο να το αντιστρέψουμε αυτό σήμερα; Και από τη μεριά τη δική μας να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι μια διαφορετική από μέρους τους διαχείριση των στοιχείων της πραγματικότητας θα μπορούσε πάλι να τα βγάζει σε αλλιώς αυστηρά και αλλιώς αποδεικτέα μαθηματικά;» (Εν λευκώ, εκδ. Ίκαρος)………………………………….

Λυρικά μαθηματικά
«…………Τα νέα αυτά μαθηματικά θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «λυρικά μαθηματικά». Είναι ενσωματωμένα μέσα στο έργο του ποιητή είτε ως αυτοτελή ποιήματα είτε ως στίχοι άλλων ποιημάτων που έχουν τη δομή ενός μαθηματικού αξιώματος ή θεωρήματος»
Oδ. Eλύτη: «Μπαίνοντας ο εικοστός αιώνας, στο τελευταίο του τέταρτο, αισθάνομαι άστεγος και περιττός. Όλα είναι κατειλημμένα - ως και τ' άστρα. Οι άνθρωποι έχουν απαλλαγεί από κάθε παιδεία... Oι κολεγιόπαιδες λύνουν εκπληκτικές εξισώσεις με μιαν ευκολία που είναι ν' απορείς: συν, πλην, διά, επί - άρα».
………………………………………………………………………………………………………………..
«Άρα; Mήπως χρειάζεται ένα διαφορετικό «άρα» που να είναι αποτέλεσμα κάποιων «αλλιώς αυστηρών και αλλιώς αποδεικτέων μαθηματικών»; Iσως είναι ανάγκη στα παιδιά μας να διδάσκουμε μαζί με τα μαθηματικά που οδήγησαν στο «άρα» της τεχνολογίας, και κάποια «λυρικά μαθηματικά» που να οδηγούν και στο «άρα» της ευαισθησίας «που διπλασιάζει την ικανότητά σου να αντιλαμβάνεσαι τη ζωή και που αποτελεί μια πρόσβαση στο πραγματικό νόημα της ελευθερίας. Επειδή -να το πούμε κι αυτό- ελευθερία δεν είναι να κινείσαι ανεμπόδιστα στο πεδίο που σου έχει δοθεί. Να διευρύνεις αυτό το πεδίο και δη κατά τη διάσταση της αναλογίας των αισθήσεων, αυτό είναι»
………………………………………………………………………………………………………………….
«Το ποίημα αποτελεί έξοχο δείγμα «λυρικών μαθηματικών». Δεν είναι μόνον ο τίτλος του που παραπέμπει στη συγκεκριμένη επιστήμη, αλλά όλη η δομή του έχει τη μορφή μαθηματικού κειμένου»
………………………………………………………………………………………………………………….
«Ως γνωστόν, στα κλασικά μαθηματικά δομικά στοιχεία είναι οι αριθμοί, τα σχήματα, οι ιδέες. Χώρος διδασκαλίας τους είναι το σχολείο και ο μαυροπίνακας. Στα «λυρικά μαθηματικά» του Eλύτη δομικά στοιχεία είναι η ελιά, το αμπέλι, το καράβι και τα συναισθήματα. Χώρος διδασκαλίας η θάλασσα και ο φυσικός περίγυρος. H μέθοδος μελέτης και η ορολογία είναι μαθηματική. Έχουμε εδώ λοιπόν ένα πρόβλημα ανάλυσης και σύνθεσης, όπως -ίσως- θυμάστε από τα γυμνασιακά σας χρόνια. Ανάλυση: H Ελλάδα αναλύεται σε μια ελιά, ένα αμπέλι και ένα καράβι. Σύνθεση: Μια ελιά, ένα αμπέλι και ένα καράβι είναι ικανά να φτιάξουν την Ελλάδα»

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
Μετά το 14ο Σημείωμα, "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ (2)"
θα διακόψουμε λόγω καλοκαιρινών διακοπών και θα συνεχίσουμε από το Σεπτέμβρη
με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Δευτ. Ιούλ. 09, 2012 6:51 pm

14ο Σημείωμα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ (2)


Α) ΕΚΤΩΡ KΑΚΝΑΒΑΤΟΣ (1920-2010)

Ο χρόνος παρ’ ότι πυροβάτης
Κάθε που πέφτει σε ναρκοπέδιο
ανατινάζεται
Όπως ανατινάζεται η συνάρτηση όταν
γεννά το διαφορικό της
Κανένα πέρασμα λοιπόν επέκεινα
του ελαχίστου
Ω! Γεωμετρία στάζουν αίμα τα αρμόνια


Είναι στίχοι από ποίημα του Έκτωρα Κακναβάτου. Στον κόσμο της ποίησης ήταν γνωστός μ’ αυτό το όνομα. Το πραγματικό του όνομα ήταν Γιώργης Κοντογιώργης. Με τον Γιώργη, είχα την εύνοια της τύχης, να συγχρωτίζομαι για χρόνια, αρκετές ημέρες της εβδομάδας, στα πλαίσια των Φροντιστηρίων του Πύργου Αθηνών. Η συζήτηση μαζί του δεν είχε τελειωμό.
Ο Γιώργης πήρε μέρος στην Εθνική Αντίσταση, με τις τάξεις τού ΕΑΜ, ενώ, κατά τη διάρκεια τού Εμφύλιου, συνελήφθη και κλείστηκε σε στρατόπεδο συγκέντρωσης
Ως γνήσιος υπερρεαλιστής ποιητής, αλλά και μαθηματικός, ο E. Kακναβάτος χρησιμοποιεί μαθηματικούς όρους και έννοιες σε πολλά ποιήματά του με έναν τρόπο που ξαφνιάζει. O ποιητής και μάχιμος μαθηματικός Έκτωρ Kακναβάτος εύστοχα συνδέει τα μαθηματικά με την ποίηση όταν γράφει:

«Μιλάμε για ένα δίχαλο που πάει να πιάσει σε μια μέγγενη τον κόσμο. H ποίηση ανοίγεται μέσα στην ποιότητα του λόγου, τα μαθηματικά βρίσκονται μέσα στην ποσότητα - όχι μόνο του λόγου, αλλά και του καθενός πράγματος. Εάν ενοποιηθούν τα δύο αυτά πεδία, μπορεί ο κόσμος να ευτυχήσει»

Το παρακάτω ποίημα περιγράφει με ενάργεια τη στιγμή που το μυαλό του μαθηματικού συλλαμβάνει, σαν αστραπή, την ιδέα της λύσης ενός προβλήματος με την εισβολή μιας εξίσωσης στο ποίημα:

«Πέρα στη δημοσιά
φάνηκε πρώτα στήλη κουρνιαχτός
ως τα μεσούρανα.
Δεν άργησε πολύ.
O δρόμος έφερνε το ποδοβολητό
τον χουγιαχτό της
κλείνατε παράθυρα κατέβαιναν ρολά.
Σιδηροντυμένη έμπαινε πια στην πόλη η εξίσωση»


Παρακάτω, με τέσσερις στίχους ο E. Kακναβάτος, ατενίζοντας το στερέωμα, το προσαρμόζει στις τρεις γεωμετρίες του Ευκλείδη, του Λομπατσέφσκι και του Pίμαν, τις οποίες αποκαλεί «άγριες» με την έννοια ότι εισβάλλουν δυναμικά για να περιγράψουν τον κόσμο. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι η συλλογή του Χαοτικά I θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια ποιητική διατύπωση της θεωρίας του χάους, νέου κλάδου των σύγχρονων μαθηματικών:

"Άφεγγη πάλι απόψε η Σελήνη
κάθισε στο βυθό επωάζοντας τα έμμηνά της.
Πέραν του απείρου, ο ορίζοντας
τρικλίζει φορτωμένος τρεις άγριες γεωμετρίες"


Β) ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΑΦΟΠΟΥΛΟΣ
Να τι γράφει ο σημαντικός μαθηματικός και συγγραφέας Στέφανος Μπαλής για τον Γιώργο Βαφόπουλο:
«Θα σταθώ όμως για λίγο στην περίπτωση του Γιώργου Bαφόπουλου και στο ποίημά του «O μεγάλος Kώνος». Κυρίαρχο στοιχείο στο συγκεκριμένο ποίημα είναι το γεωμετρικό μοντέλο: ο κώνος, η σπειροειδής γραμμή, το τετράγωνο, ο κύβος και η τεθλασμένη γραμμή περιγράφουν την πορεία της ζωής ενός ανθρώπου από τη γέννηση ως τον θάνατο. Oι πρώτες σπείρες στη βάση του κώνου, τα παιδικά χρόνια, είναι μεγάλες, είναι η εποχή που αργά αργά διαμορφώνεται ο άνθρωπος, ο ορίζοντάς του είναι μικρός. Όσο ανεβαίνουμε πάνω στην επιφάνεια του κώνου οι σπείρες μικραίνουν, αλλά ο ορίζοντας του βλέμματός μας μεγαλώνει. Δεν νομίζω ότι μπορεί να δοθεί εναργέστερη εικόνα της πορείας της ζωής από την ανέλιξη στην επιφάνεια ενός κώνου. Πρόκειται αναμφισβήτητα για μια γοητευτική συνάντηση της ποίησης με τα μαθηματικά»
Και συνεχίζει παραθέτοντας ένα ενδεικτικό απόσπασμα από ποίημα του Γ. Βαφόπουλου:

«O άνθρωπος του οιδιπόδειου αινίγματος ξεκινά την αυγή,
πάνω στ' αχνάρια της γραμμής, με τα τέσσερα πόδια.
Στα μισά του δρόμου στυλώνεται στα δυο του,
για να ιδεί κατάματα τον ήλιο του λαμπρού μεσημεριού.
Και το βράδυ φθάνει στην κορφή του κώνου,
σέρνοντας τώρα το τρίτο του ποδάρι,
έτοιμος να αντικρίσει τη μεγάλη δύση.
αλλά έμεινε ατελής του αινίγματος η λύση»


Φίλοι του mathematica, όπως είχαμε προαναγγείλει, με το 14ο σημείωμα κλείνουμε το πρώτο μέρος των σημειωμάτων που απαντούν στο ερώτημα: για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά. Το δεύτερο μέρος των σημειωμάτων θα αρχίσει από τον Σεπτέμβρη. Καλές διακοπές

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί. Ιούλ. 10, 2012 7:18 am

Γιάννη, σε ευχαριστούμε .

ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3428
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό S.E.Louridas » Τρί. Ιούλ. 10, 2012 7:39 am

Φίλε Γιάννη Κερασαρίδη, αυτή εδώ η επιστημονική παρέμβαση σου είναι ανεπανάληπτη, είναι προσφορά.
Πιστοποιεί Επιστημονικά την αναγκαιότητα της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Προσωπικά σε ευχαριστώ.
Απλά θα ήθελα να αναφέρω ότι τους δυό περίπου μήνες του καλοκαιριού που πήγα στο φροντιστήριο του Ποθητού Σταυρόπουλου στην Γ. Γενναδίου πίσω από το ιερό της Ζωοδόχου Πηγής στην Αθήνα (για να προετοιμαστώ για τις εισαγωγικές εξετάσεις μου στο Πανεπιστήμιο που ήταν τότε τον Σεπτέμβρη), είχα τη τύχη να είχα Καθηγητή στην Άλγεβρα τον Γιώργο Κοντογιώργη. Πραγματικά ήταν σπάνια περίπτωση Επιστήμονα, προοδευτικού Ανθρώπου, μπροστάρη.
S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
S.E.Louridas
 
Δημοσιεύσεις: 4207
Εγγραφή: Σάβ. Μαρ. 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό STOPJOHN » Τρί. Ιούλ. 10, 2012 11:29 am

Φίλε Γιάννη Κερασαρίδη ευχαριστούμε για τα σημειώματα σου γιατί μας υπενθυμίζεις ότι τα Μαθηματικά ΔΕΝ είναι μόνο ασκήσεις ....αλλά και Ποίηση και Λογοτεχνία ...ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΚΌ το πάντρεμα των ποιημάτων του Γ.Κοντογιώργη με τα Μαθηματικά ,που υπήρξε ....σπουδαίος Μαθηματικός,δάσκαλος και ποιητής ......
Καλό καλοκαίρι
Γ.Σ.
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
 
Δημοσιεύσεις: 576
Εγγραφή: Τετ. Οκτ. 05, 2011 6:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Μπουμπουλής Κώστας » Τρί. Ιούλ. 10, 2012 2:39 pm

Δε ξέρω αν είναι ποίηση ή απλώς μια κατασκευή, δεν ξέρω αν είν της ώρας, εγώ πάντως τώρα το θυμήθηκα (από το 1999) και επιτρέψτε μου
(ή συγχωρείστε μου) την παρουσίαση:

Πώς να «ρίξετε» μια άσκηση…

Άσκηση είναι δύσκολη
μου λεν.
Να την αφήσω;
Μπα…
Έχω κάνει σχέδιο!
Και θα το αναλύσω:

Αν είναι μια παράγωγος, θα την ολοκληρώσω
κι αν είναι ρίζα νιοστή, στη «νι» θα την υψώσω.

Αν είναι ολοκλήρωμα θα το παραγωγίσω
κι αν είναι μια εκθετική, θα τη λογαριθμίσω!

Αν είναι διττετράγωνη, κατάλληλα θα θέσω
Κι αν έχει περιορισμούς, θα τους συναληθεύσω!

Αν είναι μια εξίσωση, γνωρίζω τι θα κάνω.
(κι αν δω ότι δε λύνεται, ας ειν’ καλά ο Bolzano!)

Αν είναι πιθανότητα … αδέσμευτη κι ωραία,
φωνάζω και τους φίλους μου και λύνουμε … παρέα!

Αν είναι μια «μονότονη» συνάρτηση και κρύα
…ξέρω, έχει κι αυτή ευαίσθητα και «κρίσιμα» σημεία!

Αν είναι μια παραβολή, στα πόδια θα το βάλει
κι αν είναι μια υπερβολή, το ξέρω …απλά υπερβάλει!

Αν είναι κύκλος (στρογγυλός), του βρίσκω την ακτίνα
κι αν είναι μία έλλειψη, είναι απλώς ρουτίνα!

Αν είναι απροσδιόριστη μορφή ή …τίποτ’ άλλο,
φωνάζω για βοήθεια τον L’ Hospital… τον Γάλλο!
Μπουμπουλής Κώστας
 
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τρί. Απρ. 26, 2011 12:58 am

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί. Ιούλ. 10, 2012 2:57 pm

:clap2: Ωραίο είναι Κώστα.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3428
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Τρί. Ιούλ. 10, 2012 4:47 pm

Δεν σκόπευα να συνεχίσω την παρέμβασή μου, αλλά οι στίχοι του Κώστα Μπουμπουλή αποτέλεσαν ένα ισχυρό ερέθισμα για να αλλάξω γνώμη.
Αυτή τη στιγμή δεν με βοηθά η μνήμη μου να θυμηθώ, πού διάβασα μια φράση του φυσικού Βέρνερ Χάϊζενμπεργκ (βραβείο Νόμπελ 1932, κβαντομηχανική). Την αφιερώνω στους έλληνες μαθηματικούς:

«Μόνο δύο γλώσσες έχει ο άνθρωπος
για να αντιμετωπίσει την πραγματικότητα,
τα μαθηματικά και την ποίηση»


Με την ευκαιρία ευχαριστώ τους συναδέλφους για τα καλά τους λόγια. Προς τον Κώστα Μπουμπουλή: Κώστα, συγχαρητήρια, σε ευχαριστούμε, περιμένουμε κι άλλα

Με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Μπουμπουλής Κώστας » Τρί. Ιούλ. 17, 2012 11:29 pm

Επανέρχομαι με ένα πρόβλημα - ποίημα (...ή ένα ποίημα πρόβλημα) που το έφτιαξα υπαγορεύοντάς το, το 2010-11(νομίζω) στη Γ΄Γυμνασίου, στα συστήματα.
Θυμάμαι ότι δημιούργησε μια ευχάριστη "κινητικότητα" στην τάξη και κάποια παιδιά λέγαν ότι θα το βάλουν στο facebook.Το υπαγορεύω με τα ίδια αποτελέσματα κάθε φορά που έχω Γυμνάσιο. Πιστεύω ότι δεν πρέπει να δίνεται σε φωτοτυπία αλλά να υπαγορεύεται σα να δημιουργείται επιτόπου. Δοκιμάστε το!

Η γιαγιά μας η καλή
ζώα έχει στην αυλή,
όλα τους αρτιμελή .

Κότες και αρνιά λευκά,
δεκαοκτώ συνολικά.
Πόδια έχουνε σαράντα
-μες στη λάσπη είναι πάντα.

Τα αρνάκια πόσα να ναι
στο μαντρί όταν γυρνάνε;
Πόσες να ναι κι κοτούλες;
-είν’ πεντέξι ούλες κι ούλες;

Ποιος το πρόβλημα θα λύσει,
Η γιαγιά να ξεκολλήσει;
Μπουμπουλής Κώστας
 
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τρί. Απρ. 26, 2011 12:58 am

Re: Γιά ποιό λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά στα παιδιά;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ykerasar » Τετ. Σεπ. 12, 2012 6:23 am

Προαγγελία
Αγαπητοί φίλοι καλή σχολική χρονιά [με τόσες ελλείψεις;], καλό Χειμώνα [με τόσες περικοπές;],
από τη θέση αυτή προαναγέλλουμε πως από τη Δευτέρα 17/9 θα αρχίσουμε να αναρτούμε τα σημειώματα με τα οποία θα γίνεται προσπάθεια να απαντήσουμε στο ερώτημα: "για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά".
Στο σημείο αυτό θα παρακαλούσα μερικούς συναδέλφους, τα κείμενά τους που μου στέλλουν, να είναι μικρά σημειώματα και όχι πολυσέλιδες μελέτες. Είναι σημαντικές εργασίες, όμως εγώ αδυνατώ να "κόψω και να ράψω" τις εργασίες αυτές στα μέτρα του διαθέσιμου χώρου
με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
ykerasar
 
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 9:37 pm

ΠροηγούμενηΕπόμενο

Επιστροφή στο Γενικά Μηνύματα

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης