ανισότητα με απόλυτες τιμές ΙΙ

Ιστοσελίδα · #1

Μια άσκηση από το κλασσικό βιβλίο του Η. Τζιώρα σίγουρα με διδακτικές προεκτάσεις όπου φαίνεται ότι τα πάντα δεν είναι ομώνυμα, κατάλληλη εφαρμογή για όσους αυτή την εποχή κάνουν απόλυτες τιμές στην Α τάξη.

Αν α, β πραγματικοί αριθμοί με $\alpha ^2 \ne \beta ^2$ , τότε να δείξετε ότι:

$\frac{{\left| \alpha \right| - \left| \beta \right|}}{{\left| {\left| \alpha \right| - \left| \beta \right|} \right|}} + \frac{{\left| {\left| \alpha \right| - \left| \beta \right|} \right|}}{{\left| {\alpha - \beta } \right|}} + \frac{{\left| {\alpha + \beta } \right|}}{{\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|}} \le 3$

και σε πιο λάιτ έκδοση

$\frac{{\left| {\alpha + \beta } \right|}}{{\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|}} + \frac{\alpha }{{\left| \alpha \right|}} + \frac{\beta }{{\left| \beta \right|}} \le 3$

#2

Είναι:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} ||a| - |\beta || \ge |a| - |\beta | \Rightarrow \frac{{|a| - |\beta |}}{{||a| - |\beta ||}} \le 1(1) \\ |a - \beta | \ge ||a| - |\beta || \Rightarrow \frac{{||a| - |\beta ||}}{{|a - \beta |}} \le 1(2) \\ |a + \beta | \le |a| + |\beta | \Rightarrow \frac{{|a + \beta |}}{{|a| + |\beta |}} \le 1(3) \\ \end{array} }$

Προσθέτοντας κατα μέλη τις (1),(2),(3) έχουμε το πρώτο ζητούμενο.

Υ.Γ Οι διαιρέσεις έγιναν άφοβα , αφού πρόκειται περί θετικών όρων.

giannisn1990 · #3

Για την lite έκδοση ισχύει

$\displaystyle \frac{{\left| {\alpha + \beta } \right|}}{{\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|}} + \frac{\alpha }{{\left| \alpha \right|}} + \frac{\beta }{{\left| \beta \right|}}\leq |\frac{{\left| {\alpha + \beta } \right|}}{{\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|}} + \frac{\alpha }{{\left| \alpha \right|}} + \frac{\beta }{{\left| \beta \right|}}|\leq$

$\displaystyle \leq |\frac{|\alpha + \beta|}{|\alpha|+|\beta|}|+|\frac{\alpha}{|\alpha|}|+|\frac{\beta}{|\beta|}|\leq \frac{|\alpha|+|\beta|}{|\alpha|+|\beta|}+\frac{| \alpha|}{| \alpha|}+\frac{| \beta|}{|\beta|}=1+1+1=3$

kostas232 · #4

chris_gatos έγραψε:Είναι:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} ||a| - |\beta || \ge |a| - |\beta | \Rightarrow \frac{{|a| - |\beta |}}{{||a| - |\beta ||}} \le 1(1) \\ |a - \beta | \ge ||a| - |\beta || \Rightarrow \frac{{||a| - |\beta ||}}{{|a - \beta |}} \le 1(2) \\ |a + \beta | \le |a| + |\beta | \Rightarrow \frac{{|a + \beta |}}{{|a| + |\beta |}} \le 1(3) \\ \end{array} }$

Προσθέτοντας κατα μέλη τις (1),(2),(3) έχουμε το πρώτο ζητούμενο.

Υ.Γ Οι διαιρέσεις έγιναν άφοβα , αφού πρόκειται περί θετικών όρων.

+κάτι ακόμα:
Η ισότητα στην (1) λαμβάνεται όταν $\displastyle{|a|-|\beta|\geq 0\Rightarrow |a|\geq |\beta|}$ .
στην (2) όταν $\displaystyle{a\beta=|a\beta|\Rightarrow a\beta\geq 0}$ .
στην (3) όταν $\displaystyle{a\beta=|a\beta|\Rightarrow a\beta\geq 0}$ .
Οπότε γενικά έχουμε ισότητα όταν $\displaystyle{|a|\geq |\beta|\wedge a\beta\geq 0}$ .
Κωνσταντίνος Τερζής

ανισότητα με απόλυτες τιμές ΙΙ

ανισότητα με απόλυτες τιμές ΙΙ

Re: ανισότητα με απόλυτες τιμές ΙΙ

Re: ανισότητα με απόλυτες τιμές ΙΙ

Re: ανισότητα με απόλυτες τιμές ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση