ρίζες

Ιστοσελίδα · #1

Mια και ξεκινήσαμε τις ρίζες ας δούμε μια άλλη άσκηση για την Α τάξη

Αν $\displaystyle{ x_1 ,x_2 ,...,x_k }$ και $\displaystyle{ y_1 ,y_2 ,...,y_k }$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, με $\displaystyle{ \frac{{x_1 }}{{y_1 }} = \frac{{x_2 }}{{y_2 }} = ... = \frac{{x_k }}{{y_k }} }$ ,
τότε να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{ \sqrt {x_1 y_1 } + \sqrt {x_2 y_2 } + ... + \sqrt {x_k y_k } = \sqrt {(x_1 + x_2 + ... + x_k ) \cdot (y_1 + y_2 + ... + y_k )} }$

A.Spyridakis · #2

Αρκεί να θέσουμε $\displaystyle{ \frac{{x_1 }}{{y_1 }} = \frac{{x_2 }}{{y_2 }} = ... = \frac{{x_k }}{{y_k }} } = \lambda >0$ , οπότε ${x_i } = \lambda {y_i}$ , και να αντικαταστήσουμε στη ζητούμενη ισότητα.

#3

Καλημέρα!
Και μια άλλη λύση,

$\sqrt {x_1 y_1 } + \sqrt {x_2 y_2 } + ... + \sqrt {x_k y_k }=y_{1} \sqrt {\frac{x_1}{y_1} } + y_{2}\sqrt {\frac{x_2}{y_2} } + ... + y_{k}\sqrt {\frac{x_k}{y_k}}= =\sqrt{\frac{x_1}{y_1}}(y_{1}+\ldots+y_{k})$ (1),
και

(Θα χρησιμοποιήσω το εξής:

$\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=\ldots=\frac{x_{k}}{y_{k}}=\frac{x_{1}+\ldots+x_{k}}{y_{1}+\ldots+y_{k}}$ )).

$\sqrt {(x_1 + x_2 + ... + x_k ) \cdot (y_1 + y_2 + ... + y_k )}=\sqrt {\frac{(x_1 + x_2 + ... + x_k )}{(y_1 + y_2 + ... + y_k )} \cdot (y_1 + y_2 + ... + y_k )^2}=(y_1 + y_2 + ... + y_k )\sqrt {\frac{(x_1 + x_2 + ... + x_k )}{(y_1 + y_2 + ... + y_k )}}=(y_1 + y_2 + ... + y_k )\sqrt {\frac{x_1} {y_1}}$ (2).

Από (1) και (2) έπεται το ζητούμενο.

Νίκος Κατσίπης

Ιστοσελίδα · #4

Αντώνη και Νίκο σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε με την άσκηση. Η δική μου λύση (ίδια με του Αντώνη) καθώς και η λύση του Νίκου είναι στο συνημμένο σε μορφή word για όποιον την θέλει.

ρίζες

ρίζες

Re: ρίζες

Re: ρίζες

Re: ρίζες

Μέλη σε σύνδεση