Quickies!
Συντονιστής: spyros
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Quickies!
Τα Quickies τα γνωρίζουμε από το Mathematics Magazine. Πρόκειται για προβλήματα τα οποία, αν και ίσως φαίνονται ορισμένες φορές δύσκολα ή φαίνεται ότι απαιτούν μακροσκελή απόδειξη, μπορούν να λυθούν μέσα σε δυο-τρεις γραμμές, αρκεί κανείς να βρει το κλειδί που τα "σπάει".
Φυσικά δε φιλοδοξώ να παραστήσω τον Murray Klamkin, αλλά κάνω την αρχή με ένα τέτοιο και αν υπάρχει ενδιαφέρον ας το συνεχίσουμε.
1o Quickie
Αν να αποδείξετε ότι
Φυσικά δε φιλοδοξώ να παραστήσω τον Murray Klamkin, αλλά κάνω την αρχή με ένα τέτοιο και αν υπάρχει ενδιαφέρον ας το συνεχίσουμε.
1o Quickie
Αν να αποδείξετε ότι
Μάγκος Θάνος
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Quickies!
Μία αντιμετώπιση προς επαναφορά της άσκησης κυρίως αφού σίγουρα δεν βρήκα το κλειδί που τα "σπάει" , όπως λέει ο θεματοδότης και ΝΑΙ υπάρχει ενδιαφέρον και να συνεχιστούν αυτές οι προκλητικές και όμορφες ασκήσεις. Σκέψεις..matha έγραψε:Τα Quickies τα γνωρίζουμε από το Mathematics Magazine. Πρόκειται για προβλήματα τα οποία, αν και ίσως φαίνονται ορισμένες φορές δύσκολα ή φαίνεται ότι απαιτούν μακροσκελή απόδειξη, μπορούν να λυθούν μέσα σε δυο-τρεις γραμμές, αρκεί κανείς να βρει το κλειδί που τα "σπάει".
Φυσικά δε φιλοδοξώ να παραστήσω τον Murray Klamkin, αλλά κάνω την αρχή με ένα τέτοιο και αν υπάρχει ενδιαφέρον ας το συνεχίσουμε.
1o Quickie
Αν να αποδείξετε ότι
Φαντάζομαι πως μια λύση των δύο-τριών γραμμών δεν περιλαμβάνει περιπτώσεις στα διαστήματα και .
Εξάλλου , αν η συνάρτηση που ζητώ να φράξω ονομαστεί , θα ισχύει :
. Ό,τι συμβαίνει λοιπόν στο , θα συμβαίνει και στο . Ας δουλέψω μόνο στο .
Ισοδύναμα, θέλω να αποδείξω ότι :
Θα γράψω το ως , ποσότητα που βρίσκεται στο διάστημα και ισοδύναμα πάλι θέλω να αποδείξω ότι :
Αποδεικνύεται η τελευταία ανισοτική σχέση, με χρήση μονοτονίας ας πούμε και όχι ιδιαιτέρως ζορικά. Φυσικά δεν την παραθέτω καθώς κάτι τέτοιο θα κατέστρεφε την ανάρτηση. Θα περιμένω να δω τη μικρής έκτασης λύση, οπότε και επαναφέρω την άσκηση.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Quickies!
Ασφαλώς και υπάρχει ενδιαφέρον!
Ίσως το κλειδί να είναι κάποια ανισοτική σχέση γνωστή στους μυημένους στην επίλυση διαγωνιστικών ανισοτήτων. Ίσως, πάλι, κάποιο ωαραίο τέχνασμα, το οποίο δεν το έχω δει.
Μια προσπάθεια που φτάνει ως ένα σημείο με σχολικά μαθηματικά.
Στο είναι
.
Για κάθε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Είναι
Στο η είναι συνεχής και στο παραγωγίσιμη, οπότε, από Θ.Μ.Τ., υπάρχει τέτοιο ώστε
.
Είναι
Είναι
Άρα .
Ως εδώ καλά. Κατόπιν, όμως, δεν εντοπίζω κάποια βολική ανισότητα με την άλλη φορά. Αντίστοιχα δουλεύουμε στο άλλο διάστημα, αλλά σίγουρα δεν είχε αυτό στο νου του ο θεματοδότης. Μόνο "κουίκι" δεν το λές...
Είναι
Ίσως το κλειδί να είναι κάποια ανισοτική σχέση γνωστή στους μυημένους στην επίλυση διαγωνιστικών ανισοτήτων. Ίσως, πάλι, κάποιο ωαραίο τέχνασμα, το οποίο δεν το έχω δει.
Μια προσπάθεια που φτάνει ως ένα σημείο με σχολικά μαθηματικά.
Στο είναι
.
Για κάθε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Είναι
Στο η είναι συνεχής και στο παραγωγίσιμη, οπότε, από Θ.Μ.Τ., υπάρχει τέτοιο ώστε
.
Είναι
Είναι
Άρα .
Ως εδώ καλά. Κατόπιν, όμως, δεν εντοπίζω κάποια βολική ανισότητα με την άλλη φορά. Αντίστοιχα δουλεύουμε στο άλλο διάστημα, αλλά σίγουρα δεν είχε αυτό στο νου του ο θεματοδότης. Μόνο "κουίκι" δεν το λές...
Είναι
Re: Quickies!
...Πρόκληση...
Αν γράψουμε με διαφορετικό τρόπο το κλάσμα
πχ
και αποδείξουμε
ή
---
edit: βλέπω κάνω ίδιες σκέψεις με τον makisman
edit2: χμ... και θέλουμε πριπτώσεις ...
Σκέψεις...matha έγραψε:... αρκεί κανείς να βρει το κλειδί που τα "σπάει".
1o Quickie
Αν να αποδείξετε ότι
Αν γράψουμε με διαφορετικό τρόπο το κλάσμα
πχ
και αποδείξουμε
ή
---
edit: βλέπω κάνω ίδιες σκέψεις με τον makisman
edit2: χμ... και θέλουμε πριπτώσεις ...
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Πέμ Ιουν 02, 2016 3:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Φωτεινή Καλδή
Re: Quickies!
Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).
Θεωρούμε, για δεδομένο , τη συνάρτηση . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
Θεωρούμε, για δεδομένο , τη συνάρτηση . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Quickies!
dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).
Θεωρούμε, για δεδομένο , τη συνάρτηση . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Quickies!
dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).
Θεωρούμε, για δεδομένο , τη συνάρτηση . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Quickies!
Αυτή ακριβώς ήταν και η ιδέα κατασκευής του προβλήματος! Τόσο απλό, και συνάμα δύσκολο να το φανταστεί κανείς. (εκτός του Δημήτρη που το μυρίστηηκε αμέσως).dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).
Θεωρούμε, για δεδομένο , τη συνάρτηση . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
Πάντως υπάρχει περιθώριο βελτίωσης. Ισχύει
όπως φαίνεται από την απόδειξη του Γιώργου Ρίζου.
Μάγκος Θάνος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Quickies!
Μπορώ να δείξω ότι ανήκει στο το οποίο είναι και βέλτιστο.matha έγραψε:Αυτή ακριβώς ήταν και η ιδέα κατασκευής του προβλήματος! Τόσο απλό, και συνάμα δύσκολο να το φανταστεί κανείς. (εκτός του Δημήτρη που το μυρίστηηκε αμέσως).dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).
Θεωρούμε, για δεδομένο , τη συνάρτηση . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
Πάντως υπάρχει περιθώριο βελτίωσης. Ισχύει
όπως φαίνεται από την απόδειξη του Γιώργου Ρίζου.
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Quickies!
Ηταν πολύ όμορφη άσκηση και πολύ απολαυστική ή όλη πορεία προς τη λύση. Μπράβο.
Θα περιμένω την επόμενη.
Θα περιμένω την επόμενη.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 20 επισκέπτες