αλγεβρική ανισότητα

Ανδρέας Πούλος · #1

Να αποδειχθεί η ανισότητα:
x(a-z) + y(a-x) + z(a-y) < , αν a >0 και x, y, z αριθμοί του διαστήματος [0, a].
Η άσκηση τέθηκε στο τελευταίο τεύχος του Ευκλείδη Β, σελίδα 48 από τον Γιώργο Τσαπακίδη και εκεί αποδεικνύεται με γεωμετρικό (άκρως ενδιαφέροντα και ελκυστικό) τρόπο.
Εδώ επιπλέον θέτουμε το ερώτημα, αν και πότε ισχύει η ισότητα στη ζητούμενη σχέση.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#2

Πολύ ενδιαφέρον! Εύκολα η ανισότητα ανάγεται στην $a^{2}-(x+y+z)a+(xy+yz+zx)>0$ . Θέτουμε x=ra

,

, όπου

,

.

Η ανισότητα είναι τώρα ισοδύναμη προς την $1+rs+st+tr-(r+s+t)>0\Longleftrightarrow(1-r)(1-s)>t(1-r-s)$ .

Αν $1-r-s\leq0$ η ισχύς της ανισότητας είναι προφανής.

Αν 1-r-s>0

η ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την επίσης ισχύουσα $\frac{(1-r)(1-s)}{1-r-s}>1>t$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

ΥΓ Δεν έλεγξα πολύ τις λεπτομέρειες, και κάποιες αυστηρές ανισότητες θα έπρεπε να γίνουν μη αυστηρές, αλλά πιστεύω ότι ισότητα έχουμε αν και μόνον αν δύο από τις μεταβλητές ισούνται προς

και η τρίτη προς

.

#3

Μετά την αξέχαστη (ξενυχτο-)παρέα σήμερα το βράδυ γράφω τις σκέψεις μου για το πρόβλημα:

Πρώτη λύση (αλγεβρική): Καταρχήν αφού οι αριθμοί x,y,z

ανήκουν στο διάστημα [0,a]

άρα το ίδιο γίνεται και με τους αριθμούς a-x,a-y,a-z

. Υποθέτουμε ότι ο μεγαλύτερος αριθμός από τους x,y,z,a-x,a-y,a-z

είναι ο

(αν ήταν οποιοσδήποτε άλλος τότε η ίδια απόδειξη ισχύει). Tότε ισχύει:

x(a-z)+y(a-x)+z(a-y) < x(a-z)+a(a-x)+zx=x(a-z+z)+a(a-x)=xa+a(a-x)=a^2

Δεύτερη απόδειξη (μετά την παρακίνηση του Ανδρέα για γεωμετρική λύση):

Φτιάχνουμε ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευράς

και επί των πλευρών AB,BC,CA

παίρνουμε σημεία K,L,M

με αντίστοιχα μήκη όπως φαίνονται στο σχήμα, συμβολίζουμε με E_1,E_2,E_3

τα εμβαδά των τριγώνων AKM, MLC, KLB

αντίστοιχα και με

το εμβαδόν του ABC

. Τότε

$E_1=\displaystyle\frac{1}{2}x(a-z)\sin{60^{\circ}}$ άρα $x(a-z)=\frac{4E_1}{\sqrt{3}}$ .

Όμοια $y(a-x)=\displaystyle\frac{4E_2}{\sqrt{3}}$ και $z(a-y)=\displaystyle\frac{3E_3}{\sqrt{3}}$

Προσθέτωντας τις παραπάνω παίρνουμε: $x(a-z)+y(a-x)+z(a-y) = \displaystyle\frac{4(E_1+E_2+E_3)}{\sqrt{3}}<\frac{4E}{\sqrt{3}} = \frac{4\frac{\sqrt{3}a^2}{4}}{\sqrt{3}}=a^2$

Η ισότητα δε μπορεί να ισχύει (αφού έχουμε ήδη δείξει αυστηρή ανισότητα).

Αλέξανδρος

#4

gbaloglou έγραψε: ΥΓ Δεν έλεγξα πολύ τις λεπτομέρειες, και κάποιες αυστηρές ανισότητες θα έπρεπε να γίνουν μη αυστηρές, αλλά πιστεύω ότι ισότητα έχουμε αν και μόνον αν δύο από τις μεταβλητές ισούνται προς και η τρίτη προς .

Το ξαναβλέπω τώρα: μία μεταβλητή ίση προς

, μία ίση προς

, και η τρίτη μεταβλητή οτιδήποτε στο [0, a]

. [Αυτό προκύπτει άμεσα είτε από την (1-r)(1-s)=t(1-r-s)

(περίπτωση $1-r-s\leq0$ ) είτε από την $\frac{(1-r)(1-s)}{1-r-s}\geq1\geq t$ (περίπτωση 1-r-s>0

).]

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

Ίσως ο Ανδρέας να ζητούσε την πιο κάτω γεωμετρική λύση:

(Στην περίπτωση βέβαια όπου $x + z \leqslant a$ ώστε τα ορθογώνια να μην επικαλύπτονται. Μπορούμε να κάνουμε παρόμοιο σχήμα στην περίπτωση που $x+z \geqslant a$ .)

Ανδρέας Πούλος · #6

Είχα αντιληφθεί ότι ο Δημήτρης έχει πολύ ισχυρή γεωμετρική διαίσθηση και αυτό που κάνω είναι να το διαπιστώνω συνεχώς έμπρακτα. Τι ικανότητες του φίλου του Αλέξανδρου (Συγγελάκη) τις γνωρίζω από τα θερινά σχολεία τις Ε.Μ.Ε., όσον αφορά τον Γιώργο Μπαλόγλου θα κάνω προσπάθεια να τον γνωρίσω από κοντά, διότι υποψιάζομαι ότι γνωρίζει πολλά πράγματα πέρα από τα Μαθηματικά. Τα Μαθηματικά είναι ένα μέρος (και μάλιστα μικρό) της ανθρώπινης γνώσης, κάτι που συνήθως από επαγγελματική συνήθεια το ξεχνάμε ή θέλουμε να το ξεχνάμε. Για να μην φλυαρώ, σας ευχαριστώ όλους για τις ευφυείς ιδέες που καταθέσατε και για τον χρόνο που διαθέσατε.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#7

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Είχα αντιληφθεί ότι ο Δημήτρης έχει πολύ ισχυρή γεωμετρική διαίσθηση και αυτό που κάνω είναι να το διαπιστώνω συνεχώς έμπρακτα. Τι ικανότητες του φίλου του Αλέξανδρου (Συγγελάκη) τις γνωρίζω από τα θερινά σχολεία τις Ε.Μ.Ε., όσον αφορά τον Γιώργο Μπαλόγλου θα κάνω προσπάθεια να τον γνωρίσω από κοντά, διότι υποψιάζομαι ότι γνωρίζει πολλά πράγματα πέρα από τα Μαθηματικά. Τα Μαθηματικά είναι ένα μέρος (και μάλιστα μικρό) της ανθρώπινης γνώσης, κάτι που συνήθως από επαγγελματική συνήθεια το ξεχνάμε ή θέλουμε να το ξεχνάμε. Για να μην φλυαρώ, σας ευχαριστώ όλους για τις ευφυείς ιδέες που καταθέσατε και για τον χρόνο που διαθέσατε.

Αγαπητέ Ανδρέα και εσύ φαίνεται να γνωρίζεις πολλά Μαθηματικά πέραν της Κρυσταλλογραφίας

Γιώργος

Ανδρέας Πούλος · #8

Αγαπητέ Γιώργο,
αν κουβεντιάσουμε από κοντά για θέματα Κρυσταλλογραφίας θα δεις ότι είμαι πολύ "ερασιτέχνης".
Απλά, με ελκύουν υπερβολικά οι κρύσταλλοι και οι δομές τους, για το λόγο αυτό προσπαθώ να μάθω μερικά πράγματα, από όπου μπορώ και στον βαθμό φυσικά που μπορώ.
Να σου πω την αλήθεια, το ίδιο ακριβώς έχω να πω και για τα Μαθηματικά δηλαδή: "με ελκύουν υπερβολικά οι δομές τους, για το λόγο αυτό προσπαθώ να μάθω μερικά πράγματα, από όπου μπορώ και στον βαθμό φυσικά που μπορώ". Καλό είναι να έχουμε και μιά αίσθηση των δυνατοτήτων μας.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#9

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Να αποδειχθεί η ανισότητα:
x(a-z) + y(a-x) + z(a-y) < , αν a >0 και x, y, z αριθμοί του διαστήματος [0, a].
Η άσκηση τέθηκε στο τελευταίο τεύχος του Ευκλείδη Β, σελίδα 48 από τον Γιώργο Τσαπακίδη και εκεί αποδεικνύεται με γεωμετρικό (άκρως ενδιαφέροντα και ελκυστικό) τρόπο.

Άλλος τρόπος, όχι βέβαια με την κομψότητα της γεωμετρικής λύσης του Γιώργου Τσαπακίδη:

$a^2 -x(a-z) - y(a-x) - z(a-y) = \frac {(a-x)(a-y)(a-x) + xyz}{a}\ge 0$

καθώς όλοι οι όροι είναι $\ge 0. \,$ Έχουμε ισότητα αν και μόνον αν (a-x)(a-y)(a-x) = xyz = 0

.

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ανδρέας Πούλος έγραψε:Να αποδειχθεί η ανισότητα:
x(a-z) + y(a-x) + z(a-y) < , αν a >0 και x, y, z αριθμοί του διαστήματος [0, a].
Η άσκηση τέθηκε στο τελευταίο τεύχος του Ευκλείδη Β, σελίδα 48 από τον Γιώργο Τσαπακίδη και εκεί αποδεικνύεται με γεωμετρικό (άκρως ενδιαφέροντα και ελκυστικό) τρόπο.
Άλλος τρόπος, όχι βέβαια με την κομψότητα της γεωμετρικής λύσης του Γιώργου Τσαπακίδη:

$a^2 -x(a-z) - y(a-x) - z(a-y) = \frac {(a-x)(a-y)(a-x) + xyz}{a}\ge 0$

καθώς όλοι οι όροι είναι $\ge 0. \,$ Έχουμε ισότητα αν και μόνον αν .

Και όμως Μιχάλη η δική σου λύση είναι που έχει την κομψότητα των λύσεων 'του βιβλίου του Θεού' (Erdos), επιδεχόμενη μάλιστα μιας προφανούς, πλην όμως τρισδιάστατης, γεωμετρικής ερμηνείας: είναι απίστευτο, αλλά η αρχική ανισότητα απλώς λέει ότι το άθροισμα των όγκων δύο ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων (ακμών x, y, z και a-x, a-y, a-z) που 'αθροίζονται διαγώνια' -- βλέπε συνημμένο -- σε κύβο (ακμής a) είναι θετικό

[Αγαπητέ Ανδρέα, ούτε και εγώ είμαι ειδικός στην 'πραγματική' (τρισδιάστατη) Κρυσταλλογραφία, κάθε άλλο! Απλώς ονειρεύομαι, εδώ και χρόνια, να επεκτείνω την γεωμετρική μου μελέτη των 17 δισδιάστατων ομάδων συμμετρίας σ' αυτήν των 230 τρισδιάστατων ομάδων ... και εμφορούμαι γενικότερα από ένα ανεκπλήρωτο πάθος βαθύτερης κατανόησης του τρισδιάστατου ('πραγματικού') χώρου, τον οποίο το εκπαιδευτικό σύστημα αγνοεί προκλητικά σε όλα τα επίπεδα!]

Γιώργος Μπαλόγλου

αλγεβρική ανισότητα

αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Re: αλγεβρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση