Εύρεση αριθμών !

#1

Να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma }$ , αν ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις :

$\displaystyle{ {\rm{\alpha }}\,{\rm{ - }}\,{\rm{\beta }}^{\rm{2}} \, \ge \,\frac{1}{4}\,\,\,,\,\,\,\beta \,\,{\rm{ - }}\,{\rm{\gamma }}^{\rm{2}} \, \ge \,\frac{1}{4}\,\,\,\,,\gamma \,\,{\rm{ - }}\,\,{\rm{\alpha }}^{\rm{2}} \,\, \ge \,\frac{1}{4} }$

Μπάμπης

#2

Πρόσθεση κατά μέλη και έτσι παίρνουμε:

$\displaystyle\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\beta-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\gamma-\frac{1}{2}\right)^2\leq 0$ άρα ισχύει η ισότητα διότι το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό.

Συνεπώς κάθε όρος είναι ίσος με 0 οπότε $\alpha=\beta=\gamma=\displaystyle\frac{1}{2}$

Αλέξανδρος

#3

Αλέξανδρε , μέσα σε τρία λεπτά από την ώρα δημοσίευσης ,σκέφτηκες ,έγραψες ,έστειλες...ταχύτατος...

#4

Βλέπουμε αμέσως ότι οι αριθμοί είναι θετικοί. Επίσης,

$\displaystyle{\alpha\geq \frac{1}{4}+\beta^2\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}\beta^2}=\beta}$ .

Ομοίως, $\displaystyle{\beta\geq \gamma \geq \alpha}$ .

Επομένως, $\displaystyle{\alpha=\beta=\gamma}$ .

Από $\displaystyle{\alpha -\alpha^2 \geq \frac{1}{4}}$ , παίρνουμε

$\displaystyle{(\alpha-\frac{1}{2})^2 \leq 0}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{2}}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Εύρεση αριθμών !

Εύρεση αριθμών !

Re: Εύρεση αριθμών !

Re: Εύρεση αριθμών !

Re: Εύρεση αριθμών !

Μέλη σε σύνδεση