Άσκηση στις ρίζες

#1

Μια και αυτό τον καιρό αναγκαστικά ασχολούμαι με την άλγεβρα της Α΄Λυκείου, δίνω για τους μαθητές μας μια άσκηση με κάποιες απαιτήσεις, αλλά που σίγουρα θα τους διδάξει χρήσιμα πράγματα :

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός :

$\displaystyle{ A= \sqrt[4]{{(1 + 2009^2 )(1 + 2011^2 ) - 4}} }$

είναι ρητός.

Μπάμπης

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Eukleidis · #3

Θέτω α=2010

$\displaystyle{\root 4 \of {\left( {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 1} \right) - 4} = \root 4 \of {{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3} }$
$\displaystyle{ = \root 4 \of {{a^4} - 2{a^2} + 1 + {a^2} - 2a + 1 + {a^2} + 2a + 1 - 3} = \root 4 \of {{a^4}} = 2010}$

#4

Eukleidis έγραψε:Θέτω α=2010

$\displaystyle{\root 4 \of {\left( {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 1} \right) - 4} = \root 4 \of {{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3} }$
$\displaystyle{ = \root 4 \of {{a^4} - 2{a^2} + 1 + {a^2} - 2a + 1 + {a^2} + 2a + 1 - 3} = \root 4 \of {{a^4}} = 2010}$

...

Πολύ ωραία !

Μπάμπης

Math Rider · #5

Μπορούμε να θέσουμε και α = 2009 (για μαθητές με υπομονή!):

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + (a + 2)^2 } \right) - 4}} = \sqrt[4]{{1 + (a + 2)^2 + a^2 + a^2 (a + 2)^2 - 4}} = }$

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{1 + (a + 2)^2 + a^2 (a + 2)^2 + a^2 - 4}} = }$

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{1 + (a + 2)^2 + a^2 (a + 2)^2 + (a - 2)(a + 2)}} = }$

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{a^2 (a + 2)^2 + (a + 2)(a + 2 + a - 2) + 1}} = }$

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{(a(a + 2))^2 + 2a(a + 2) + 1}} = }$

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{[a(a + 2) + 1]^2 }} = \sqrt[4]{{(a^2 + 2a + 1)^2 }} = \sqrt[4]{{\left( {(a + 1)^2 } \right)^2 }} = }$

$\displaystyle{ \sqrt[4]{{(a + 1)^4 }} = a + 1 }$

#6

Eukleidis έγραψε:Θέτω α=2010

$\displaystyle{\root 4 \of {\left( {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 1} \right) - 4} = \root 4 \of {{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3} }$
$\displaystyle{ = \root 4 \of {{a^4} - 2{a^2} + 1 + {a^2} - 2a + 1 + {a^2} + 2a + 1 - 3} = \root 4 \of {{a^4}} = 2010}$

Οι πράξεις μπορούν να περιοριστούν αρκετά, αν γίνει πρώτα το ανάπτυγμα μέσα στην κάθε παρένθεση και μετά πάμε σε διαφορά τετραγώνων :

[(a^2+2)-2a][(a^2+2) + 2a]-4 = (a^2+2)^2-4a^2 -4 = a^4

Αλλά αυτό λίγη σχετικά σημασία έχει. Σημασία έχει να μετατραπεί η αριθμητική παράσταση σε αλγεβρική παράσταση και να καταδειχθεί η δύναμη της άλγεβρας.

Μπάμπης

p_gianno · #7

Το υπόριζο είναι

(1 + 2009^2)(1 + 2011^2}) - 4 = (1 + 2009^2)(1 + 2011^2) - (2011 - 2009)^2 =

$1 + 2011^2 + 2009^2 + 2009^2 \cdot \, 2011^2 - 2011^2 + 2\, \cdot \,2011 \cdot \,\,2009 - 2009^2 =$

$2009^2\,2011^2 + 2\, \cdot \,2011 \cdot \,\,2009 + 1 = (2011 \cdot \,\,2009 + 1)^2 = [(2009 + 2)2009 + 1]^2 =$

$[({2009^2} + 2\cdot 2009 + 1)^2 = {[{(2009 + 1)^2}]^2} = {2010^4}$

άρα ο τελικό αποτέλεσμα είναι 2010

Φωτεινή σε ευχαριστώ

kostas136 · #8

Γειά σας. Δεν είναι ιδιαίτερα διαφορετικός τρόπος αλλά να γράψω πώς την αντιμετώπισα για την πληρότητα του θέματος.
Ισχύει: $1+2009^{2}=1+2009^{2}+2\times 2009-2\times 2009=2010^{2}-2\times 2009$

Ομοίως: $1+2011^{2}=1+2011^{2}-2\times 2011+2\times 2011=2010^{2}+2\times 2011$

Άρα: $(2010^{2}-2\times 2009)(2010^{2}+2\times 2011)-4=2010^{4}+2\times 2010^{2}\times 2011-2\times 2010^{2}\times 2009-4\times 2009\times 2011-4=2010^{4}+4\times 2010^{2}-4(2010^{2}-1)-4=2010^{4}$

Άσκηση στις ρίζες

Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Re: Άσκηση στις ρίζες

Μέλη σε σύνδεση