Εξίσωση με δύο αγνώστους

Dreamkiller · #1

Καλησπέρα σε όλους. Αν και παρακολουθώ το forum εδώ και καιρό, μόλις τώρα κάνω την πρώτη δημοσίευση. Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και έχω μάθει αρκετά πράγματα διαβάζοντας τις συνήθως πολύ ωραίες λύσεις σας στις διάφορες ασκήσεις. Αλλά ας βάλω κι εγώ μία ασυνήθιστη άσκηση (την οποία βρήκα στο βιβλίο του Titu Andreescu "360 Problems for Mathematical Contests"):

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:
(x+y)^2 = (x+1)(y-1)

#2

Γειά χαρά dreamkiller. Το βιβλίο ομολογουμένως δεν το έχω, αλλά θα προσπαθήσω στα γρήγορα να τη λύσω...
Κατ'αρχήν πρέπει, για να έχει νόημα η εξίσωση :
( $x+1\ge 0$ και $y-1\ge 0$ ) ή ( $x+1\le0$ και $y-1\le 0$ ) δηλαδή ( $x\ge-1$ και $y\ge 1$ ) ή ( $x\le -1$ και $y\le 1$ ). Θέτω x+1=a

και

Παρατηρώ οτι :
x+y=a+b

Αρα η εξίσωση γίνεται :
$\displaystyle{ \left( {a + \beta } \right)^2 = a\beta }$ , απ'όπου προκύπτει :
$\displaystyle{ a^2 + a\beta + \beta ^2 = 0 }$ .
Όμως για το πρώτο μέλος ισχύει $\displaystyle{ a^2 + a\beta + \beta ^2 \geqslant 0 }$ με την ισότητα όταν a=b=0

. Τελικά

.

EDIT: Διόρθωση κώδικα Latex!!Μα καλά, πως στην ευχή έγραφα παλιά!

#3

Dreamkiller έγραψε:Καλησπέρα σε όλους. Αν και παρακολουθώ το forum εδώ και καιρό, μόλις τώρα κάνω την πρώτη δημοσίευση. Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και έχω μάθει αρκετά πράγματα διαβάζοντας τις συνήθως πολύ ωραίες λύσεις σας στις διάφορες ασκήσεις. Αλλά ας βάλω κι εγώ μία ασυνήθιστη άσκηση (την οποία βρήκα στο βιβλίο του Titu Andreescu "360 Problems for Mathematical Contests"):

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.
Αφού διαβάζεις Andreescu, είσαι σε καλό δρόμο. Συγχαρητήρια.

Μία λύση στο πρόβλημα: Η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα

$\frac{3}{4}(x+y)^2 + \frac{1}{4} (x - y + 2)^2 = 0$

οπότε x + y = x - y + 2 = 0 και άρα x = -1, y = 1 .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Προσθήκη: τώρα είδα ότι ο Χρήστος έστειλε λύση λίγο πριν, όσο έγραφα την δική μου.

p_gianno · #4

Καλησπέρα σε όλους

Επισυνάπτω δύο ακόμα λύσεις

Πάνος

mathxl · #5

Καλησπέρα
math_finder νομίζω έχουμε πρόβλημα στην 2η λύση μιας και δεν ισχύει 4αβ>=αβ για κάθε α,β πραγματικούς.Στους ετερόσημους έχουμε πρόβλημα.
Στην πρώτη λύση έχεις ένα λαθάκι από βιασύνη (λες ότι Δ θετική - αντί του μη αρνητική)

Φιλικά Βασίλης

p_gianno · #6

mathxl έγραψε:Καλησπέρα
math_finder νομίζω έχουμε πρόβλημα στην 2η λύση μιας και δεν ισχύει 4αβ>=αβ για κάθε α,β πραγματικούς.Στους ετερόσημους έχουμε πρόβλημα.
Στην πρώτη λύση έχεις ένα λαθάκι από βιασύνη (λες ότι Δ θετική - αντί του μη αρνητική)

Φιλικά Βασίλης

Βασίλη σε ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου.
Έχω ήδη κάνει τις απαραίτητες διορθώσεις. Στην πραγματικότητα δεν χρειαζότανε το 4αβ που σαν ενδιάμεσο χαλούσε την ανίσωση που ισχύει στα άκρα της και έτσι σώζεται η λύση.
Πάνος

Djimmakos · #7

Dreamkiller έγραψε:Καλησπέρα σε όλους. Αν και παρακολουθώ το forum εδώ και καιρό, μόλις τώρα κάνω την πρώτη δημοσίευση. Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και έχω μάθει αρκετά πράγματα διαβάζοντας τις συνήθως πολύ ωραίες λύσεις σας στις διάφορες ασκήσεις. Αλλά ας βάλω κι εγώ μία ασυνήθιστη άσκηση (την οποία βρήκα στο βιβλίο του Titu Andreescu "360 Problems for Mathematical Contests"):

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

Καταρχάς, Στέλιο καλωσόρισες..
(Τον γνωρίζω από ένα άλλο site που επισκεπτόμαστε)

Αφού έβαλε ο Στέλιος μια άσκηση, αποφάσισα να βάλω και εγώ μια ανίσωση που έφτιαξα μόνος μου διαβάζοντας για τις ανισότητες από το βιβλίο του κύριο Στεργίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών Α' λυκείου"..Ξέρω ότι ποτέ δεν πρόκειται να περάσω σε ολυμπιάδα, αλλά το μόνο που με νοιάζει είναι να μάθω δύο τρία πραγματάκια και αυτό επιδιώκω...

Ξέρω ότι η άσκηση μπορεί να σας φανεί γελοία αλλά πιστεύω ότι ξέρετε πως είναι η χαρά του να δημιουργείς δικιά σου άσκηση

Λοιπόν:

Αν a,b,c>0

και n φυσικός να αποδειχθεί ότι:

$\frac{a^{2n}}{c^{3n}}+\frac{b^{4n}}{a^n}+\frac{c^{6n}}{b^{2n}}\geq a^n + b^{2n}+c^{3n}$

Γιατί βγήκαν τόσο μικρά τα γράμματα στο latex?

#8

Αγαπητέ Djimmakos συγχαρητήρια για την προσπάθεια που κάνεις να μαθαίνεις Ολυμπιακή ύλη! Δεν είναι το παν να συμμετάσχει κάποιος σε Ολυμπιάδα! Οι γνώσεις είναι αυτές που μένουν... Συνέχισε λοιπόν την ωραία προσπάθειά σου!

Θα κάνουμε χρηση της ανισότητας Αναδιάταξης (Rearrangement Inequality).

Επειδή οι τριάδες $\left(a^{2n},b^{4n},c^{6n}\right)$ και $\left(\displaystyle\frac{1}{a^n},\frac{1}{b^{2n}},\frac{1}{c^{3n}}\right)$ έχουν αντίθετη διάταξη, άρα

$a^{2n}\displaystyle\frac{1}{c^{3n}}+b^{4n}\frac{1}{a^n}+c^{6n}\frac{1}{b^{2n}}\geq a^{2n}\frac{1}{a^n}+b^{4n}\frac{1}{b^{2n}}+c^{6n}\frac{1}{c^{3n}} = a^n+b^{2n}+c^{3n}$ .

Αλέξανδρος

Υ.Γ. Τα γράμματα βγήκαν μικρά διότι μπροστά από την εντολή \frac πρέπει να βάλεις την εντολή \displaystyle (μία φορά αρκεί. δεν χρειάζεται να το βάζεις κάθε φορά που χρησιμοποιείς στην ίδια εντολή το \frac).

Djimmakos · #9

Ωραία λύση!!! Δεν την είχα συναντήσει ποτέ αυτήν την ανισότητα, οπότε έμαθα ακόμα μια σήμερα

Εγώ είχα σκεφτεί άλλη ανισότητα...

Aυτήν:

Αν a,b,c>0

και x,y,z πραγματικοί αριθμοί τότε:

$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c} \geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$

με τη βοήθεια της οποίας βγαίνει η άσκηση πολύ εύκολα!!

#10

Djimmakos έγραψε: Αν και x,y,z πραγματικοί αριθμοί τότε:

$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c} \geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$

με τη βοήθεια της οποίας βγαίνει η άσκηση πολύ εύκολα!!

Αυτή είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Andreescu η οποία με τη σειρά της είναι ειδική περίπτωση της ανισότητας Cauchy-Schwarz. Δύο αποδείξεις [μία με ανισότητα Schwarz και μία με επαγωγή (αποδεικνύεις πρώτα για δύο προσθετέους και μετά είναι άμεση η απόδειξη για τρεις, τέσσερις κτλ κτλ)] θα βρεις εδώ.

Αλέξανδρος

Djimmakos · #11

Αχα, ευχαριστώ!!

Πρέπει όμως να την αποδείξουμε πριν τη χρησιμοποιήσουμε κάπου;

#12

cretanman έγραψε: <...> της ανισότητας Andreescu η οποία με τη σειρά της είναι ειδική περίπτωση της ανισότητας Cauchy-Schwarz <...>

Αλέξανδρε,

και αντίστροφα, από την ανισότητα Andreescu (για γενικό n) πάμε πίσω στην Cauchy-Schwarz:
$a_1^{2}+ a_2^{2}+ ... + a_n^{2} = \displaystyle \frac{a_1^{2}b_1^{2}}{b_1^{2}}+ \frac{a_2^{2}b_2^{2}}{b_2^{2}}+...+ \frac{a_n^{2}b_n^{2}}{b_n^{2}} \ge \frac{(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2}{b_1^{2}+ b_2^{2}+ ... + b_n^{2}}}$

και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

dr.tasos · #13

Dreamkiller έγραψε:Καλησπέρα σε όλους. Αν και παρακολουθώ το forum εδώ και καιρό, μόλις τώρα κάνω την πρώτη δημοσίευση. Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και έχω μάθει αρκετά πράγματα διαβάζοντας τις συνήθως πολύ ωραίες λύσεις σας στις διάφορες ασκήσεις. Αλλά ας βάλω κι εγώ μία ασυνήθιστη άσκηση (την οποία βρήκα στο βιβλίο του Titu Andreescu "360 Problems for Mathematical Contests"):

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

Ας δώσω και εγώ την προσεγγιση μου σε αυτο το θεμα :

Η εξισωση γραφεται ισοδυναμα $\displaystyle{ x^2+x(y+1)+y^2-y+1= 0 }$ Το θεωρω τριωνυμο ως προς $\displaystyle{ x }$ και βγαζω διακρινουσα

$\displaystyle{ \Delta=-3y^2+6y-3 \Leftrightarrow \Delta =-3(y^2-2y+1) \Leftrightarrow \Delta=-3(y-1)^2 \leq 0 }$ Για να εχει πραγματικες ριζες επομενως πρεπει να ειναι η διακρινουσα μηδεν οποτε $\displaystyle{ y=1 }$ Αντικαθιστωντας το $\displaystyle{ y=1 }$ στην αρχικη παιρνω $\displaystyle{ (x+1)^2=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 }$

Εξίσωση με δύο αγνώστους

Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Re: Εξίσωση με δύο αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση