Αλγεβρικά Τεχνάσματα

kostas136 · #1

Γράφω μια πολύ ωραία, πιστεύω, άσκηση που συνάντησα σε βιβλίο του κ. Στεργίου. Νομίζω ότι είναι θαυμάσια ευκαιρία για μαθητές Α Λυκείου να ακονίσουν τις ικανότητές τους σε αλγεβρικές πράξεις.

Αν a, b, c >0

και ισχύει ab+bc+ca=1

τότε να αποδείξετε:

$\displaystyle a\sqrt{\frac{(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{a^{2}+1}}+b\sqrt{\frac{(a^{2}+1)(c^{2}+1)}{b^{2}+1}}+c\sqrt{\frac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}{c^{2}+1}}=2$

#2

Καλημέρα,
Κώστα υποθέτω ότι έχει + ανάμεσα στις δύο τελευταίες ρίζες

kostas136 έγραψε:Αν και ισχύει τότε να αποδείξετε:

$\displaystyle a\sqrt{\frac{(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{a^{2}+1}}+b\sqrt{\frac{(a^{2}+1)(c^{2}+1)}{b^{2}+1}}{\color{red}+}c\sqrt{\frac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}{c^{2}+1}}=2$

έχουμε

$\displaystyle{1+a^2=ab+bc+ca+a^2=(b+a)(c+a)}$

$\displaystyle{1+b^2=(a+b)(c+b)}$

$\displaystyle{1+c^2=(a+c)(b+c)}$

επομένως

$A=\displaystyle a\sqrt{\frac{(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{a^{2}+1}}+b\sqrt{\frac{(a^{2}+1)(c^{2}+1)}{b^{2}+1}}{\color{red}+}c\sqrt{\frac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}{c^{2}+1}}\Longrightarrow$ $A=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)=\color{red} 2$

kostas136 · #3

Έχεις, φυσικά, απόλυτο δίκιο Φωτεινή, από βιασύνη ξέχασα το +. Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση, προσπαθώ να βρώ και θα με ενδιέφερε να δώ από κάποιον συνάδελφο και μια διαφορετική λύση, αν φυσικά υπάρχει. Ελπίζω το βράδυ που θα επιστρέψω να δώ κάποια. Ευχαριστώ πολύ.

chris · #4

Λοιπόν ας βάλω μία λύση χωρίς να είμαι σίγουρος αν είναι η προτεινόμενη:

$a\sqrt{\frac{(1+b^{2})(1+c^{2})}{1+a^{2}}}=a\sqrt{\frac{(ab +ac+bc+b^{2})(ab+ac+bc+c^{2})}{ab+ac+bc+a^{2}}}=a\sqrt{\frac{(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)}{(a+b)(a+c)}}=a(b+c)$
Δουλεύοντας κυκλικά και για τα υπόλοιπα λαμβάνουμε:
LHS=a(b+c)+b(a+c)+c(b+a)=2(ab+ac+bc)=2=RHS

Αλήθεια απο ποιο απο όλα(γιατί ειναι πολλά) τα βιβλία του κ. Στεργίου είναι?

EDIT: Φωτεινή για τρία λεπτά.Καλααααα θα το θυμάμαι

kostas136 · #5

Chris, είναι από το πρώτο κεφάλαιο του "Αλγεβρικές Ανισότητες". Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Αλγεβρικά Τεχνάσματα

Αλγεβρικά Τεχνάσματα

Re: Αλγεβρικά Τεχνάσματα

Re: Αλγεβρικά Τεχνάσματα

Re: Αλγεβρικά Τεχνάσματα

Re: Αλγεβρικά Τεχνάσματα

Μέλη σε σύνδεση