Διπλασιασμός του κύβου με κανόνα και διαβήτη (πριν από 90 χρόνια)

[Mihalis_Lambrou]

Κάθε Κυριακή η εφημερίδα Καθημερινή έχει μία μικρή στήλη που την ονομάζει ΦΙΛΙΣΤΩΡ στην οποία αναπαράγει δύο-τρία γεγονότα τα οποία συνέβησαν πριν από 90 χρόνια, όπως τα κατέγραψε ο τότε δημοσιογραφικός τύπος. Πάντα η αναπαραγωγή αυτή είναι επιλεγμένη με οξυδέρκεια από τους συντάκτες του ΦΙΛΙΣΤΟΡΑ, και συχνά βλέπει κανείς πόσο έχει αλλάξει η οπτική από τότε μέχρι σήμερα. Το σημερινό φύλο της Καθημερινής (λόγω της αργίας των Θεοφανίων κυκλοφόρησε μία μέρα νωρίτερα) έχει μία είδηση του 1934 για κάποιον ο οποίος, κατά την τότε ειδησεογραφία, είχε λύσει ένα από τα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας.

Το αντιγράφω κατά λέξη από το σημερινό φύλλο της Καθημερινής, για να το απολαύσετε και εσείς, όπως το χάρηκα ο ίδιος.

ΛΥΣΗ. Πάτρα. Οι καθηγητές και οι επιστήμονες της πόλεώς μας είναι ζωηρώς συγκινημένοι διά το κατόρθωμα του 18ετούς μαθητού του Γυμνασίου Τάκη Δασκαλόπουλου ή Φλούδα από το χωρίον Νάσια Καλαβρύτων, ευρόντος την λύσιν διά του διαβήτου του περιφήμου Δηλίου προβλήματος (διπλασιασμός του κύκλου), θεωρουμένου κατά την εγκυκλοπαιδείαν αλύτου. Με την λύσιν του ησχολούντο οι σοφοί από του πέμπτου προ Χριστού αιώνος.

Τα fake news δεν είναι, λοιπόν, πρακτική μόνο των ημερών μας. Άσε που ο τότε τύπος μετέτρεψε τον διπλασιασμό του κύβου σε διπλασιασμό του κύκλου. Αυτό είναι το λιγότερο. Φυσικά δεν έχουν εκλείψει ούτε σήμερα οι επίδοξοι διπλασιαστές, τριχοτόμοι και τετραγωνιστές. Δυόμιση χιλιάδες χρόνια ψευδοεπιστήμης, δεν σταματάει έτσι απότομα, τι και αν έδειξαν οι Μαθηματικοί το αδύνατο των κατασκευών. Σιγά, τώρα.

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Για άλλη μια φορά ο Μιχάλης μας εντυπωσίασε με την ικανότητά του να εντοπίζει ιστοριογραφικά «διαμάντια», φέρνοντας αυτή τη φορά στο προσκήνιο ένα ξεχασμένο επεισόδιο από την ιστορία της νεοελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης.
Η είδηση που «αλίευσε» από το αρχείο της ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗΣ, ότι ένας 18χρονος μαθητής από την Πάτρα έλυσε το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου, είχε λάβει στις αρχές του 1934 μεγάλη δημοσιότητα η οποία, όπως συμβαίνει συχνά σε αυτές τις περιπτώσεις, διαστρέβλωνε την πραγματικότητα. Είναι μάλιστα εντυπωσιακό ότι η είδηση πέρασε αμέσως τα Ελληνικά σύνορα και αναδημοσιεύτηκε στις εφημερίδες Le Soire της Γενεύης και Berliner Tageblatt του Βερολίνου!
Ο μαθητής (και μετέπειτα στρατιωτικός) Παναγιώτης Δασκαλόπουλος είχε κερδίσει το 1933 το Β΄ Βραβείο στον πρώτο Διαγωνισμό Μαθηματικών που διοργάνωσε η Ε.Λ.Μ.Ε. Αχαΐας με τη βοήθεια της Ε.Μ.Ε. (το Α΄ Βραβείο είχε κερδίσει ο Γεώργιος Τσάμης, ο μετέπειτα πολύ γνωστός μαθηματικός-φροντιστής).
Το αξιοσημείωτο στην υπόθεση αυτή είναι ότι μόλις η είδηση «Ελύθη το Δήλιον πρόβλημα» κυκλοφόρησε στον ημερήσιο τύπο, ο τότε πρόεδρος της Ε.Μ.Ε. Νείλος Σακελλαρίου δημοσίευσε την επόμενη μέρα στην εφημερίδα Ημερήσιος Κήρυξ ένα διαφωτιστικό άρθρο στο οποίο επιχειρούσε να αποκαταστήσει την αλήθεια και να εξηγήσει τις παρανοήσεις.
Η σχετική μελέτη του Παναγιώτη Δασκαλόπουλου δημοσιεύτηκε το Φεβρουάριο του 1934 στο Παράρτημα του Δελτίου της Ε.Μ.Ε., τον πρόδρομο του σημερινού Ευκλείδη, (τεύχος 23, σσ.353-354) με τίτλο «Μία αναγωγή του Δηλίου προβλήματος εις την μέθοδον παρεμβολής». Η μελέτη στηρίζεται στη γνωστή από την αρχαιότητα μέθοδο διπλασιασμού του κύβου που αποδίδεται στον Πλάτωνα, στην οποία χρησιμοποιείται η μέθοδος της «νεύσεως» (δηλαδή της παρεμβολής μεταξύ δύο δεδομένων γραμμών ενός τμήματος συγκεκριμένου μήκους). Στη μέθοδο του Πλάτωνα η «νεύσις» εκτελείται με τη βοήθεια ενός μηχανισμού που αποτελείται από δύο ολισθαίνοντες κανόνες. Ο Δασκαλόπουλος επιχειρεί να αναγάγει τη συγκεκριμένη «νεύση» στην κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου (η οποία απαιτεί μια διαφορετική «νεύση»), χωρίς να ισχυρίζεται πουθενά ότι επιλύει το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου.
Η εργασία του Δασκαλόπουλου και το άρθρο του Σακελλαρίου αναδημοσιεύτηκαν το 1988 στον Ευκλείδη Β΄ (τεύχος 1, Σεπτέμβριος – Οκτώβριος 1988, σσ.13-17) με ενδιαφέροντα σχόλια του Γεωργίου Τσάμη.
Αν μεγεθύνουμε λίγο την εικόνα που αναδύεται από την προηγούμενη περιγραφή, κάνοντας και ορισμένες προβολές στο παρόν, αξίζει να επισημάνουμε τα εξής:

• Το 1933, μια τοπική Ε.Λ.Μ.Ε. διοργανώνει διαγωνισμό Μαθηματικών στα Γυμνάσια της περιοχής της.
  Ένας προικισμένος μαθητής που διακρίθηκε σε αυτό το διαγωνισμό, παρακινείται (από κάποιον καθηγητή του;) να ασχοληθεί με ένα διάσημο πρόβλημα, η έρευνα εξελίσσεται σε μια ενδιαφέρουσα εργασία στην Ευκλείδεια Γεωμετρία αλλά αποκτά μεγάλη δημοσιότητα για λάθος λόγους.
  Έλληνες και ξένοι δημοσιογράφοι παρακινούνται (από ποιους;) και προβάλλουν με πανηγυρικό τρόπο ένα μαθηματικό ζήτημα για το οποίο διαθέτουν απόλυτη άγνοια.
  Ο τότε πρόεδρος της Ε.Μ.Ε. διαθέτει τα αντανακλαστικά και την ικανότητα να δημοσιεύσει άμεσα σε εφημερίδα της εποχής ένα άρθρο, με το οποίο επιχειρεί να αποκαταστήσει το ζήτημα στις πραγματικές του διαστάσεις.

Με την ευκαιρία του νέου έτους, ας αφιερώσουμε το θέμα που έφερε στην επιφάνεια ο Μιχάλης σε όλους τους εγχώριους τετραγωνιστές κύκλων, τριχοτομιστές γωνιών και διπλασιαστές κύβων που έχουν κατακλύσει εσχάτως το διαδίκτυο!

Γιάννης Θωμαΐδης

[Mihalis_Lambrou]

.
Γιάννη, όπως πάντα είσαι θησαυρός.

Παραπέμπω στα άρθρα του Ευκλείδη Β΄, 1988, που αναφέρεις. Είναι από το αποθετήριο της Ε.Μ.Ε. αλλά ως δυσεύρετο, τα βάζω σε λινκ.

Πρόκειται για τρία συνεχόμενα μικρά αρθράκια, μιας ή δύο σελίδων, στο εν λόγω τεύχος.

α) Αναπαραγωγή του αρχικού άρθρου του Παναγιώτη Δασκαλόπουλου, το 1934 εδώ.

β) Άρθρο του αείμνηστου Νείλου Σακελλαρίου για το Δήλιο πρόβλημα, όπου τακτοποιεί το θέμα εδώ.

γ) Τα σχόλια του αείμνηστου Γιώργου Τσάμη. Πολλοί εδώ στο φόρουμ τον γνώρισαν. Έλαμπε για το ήθος και τις γνώσεις του των Μαθηματικών. Βλέπε εδώ.

[Mihalis_Lambrou]

Για την ιστορία, η πρώτη διαμάχη Μαθηματικού με επίδοξο "διπλασιαστή κύβου" περιγράφεται τον Δ' μ.Χ. αιώνα στην Συναγωγή του Πάππου, Βιβλίο ΙΙΙ. Παραπέμπω σε αγγλική μετάφραση της Συναγωγής, εδώ, γιατί δεν βρίσκω διαδικτυακή παραπομπή στο Ελληνικό πρωτότυπο. Όταν και άμα βρω, θα προσθέσω τον σύνδεσμο.

Edit αργότερα: Εδώ θα βρείτε στο αρχαίο κείμενο που υποσχέθηκα. Βλέπε σελίδα και πέρα. Ευχαριστώ τον Γιάννη Θωμαΐδη που μου έστειλε τον σύνδεσμο.

Ο Πάππος είναι αρκετά δεικτικός προς τον επίδοξο λύτη τον οποίο αποκαλεί ειρωνικά "μέγας τις γεωμέτρης", όμως δεν τον κατονομάζει. Εννοείται, ότι την εποχή του Πάππου δεν υπήρχε ακόμη η απόδειξη του αδυνάτου των λεγομένων άλυτων προβλημάτων της Γεωμετρίας (διπλασιασμός κύβου, τριχοτόμηση γωνίας, τετραγωνισμός κύκλου), πλην όμως οι Γεωμέτρες ανέκαθεν αντιμετώπιζαν οικτρά εσφαλμένες λύσεις από επίδοξους λύτες, για τις οποίες έμπαιναν στον άχαρο κόπο να αποκρούσουν.

Ούτε σήμερα δεν έχουν λείψει οι αντίστοιχες διαμάχες, αν και έχουμε την απόδειξη του Wantzel για το αδύνατο των λύσεων.

Αντιγράφω την τελευταία παράγραφο από το παραπάνω άρθρο του Νείλου Σακελλαρίου (1934) όπου περιγράφει συνοπτικά αλλά με ακρίβεια την εμπειρία που έχουν βιώσει όλες οι Ακαδημίες και όλα τα Μαθηματικά Τμήματα ανά την υφήλιο, διαχρονικά, σχετικά με προτεινόμενες λύσεις των περίφημων άλυτων προβλημάτων της αρχαιότητας.

Πόσαι απόπειραι δεν έγιναν και πόσοι κόποι δεν κατεβλήθησαν δια τα προβλήματα αυτά, καθώς, και δια την έρευναν του περιφήμου αιτήματος των παραλλήλων του Έλληνος μαθηματικού Ευκλείδου. Και πόσες φορές δεν
επλανήθησαν αρκετοί μαθηματικοί µε το να νομίσουν ότι απέδειξαν το αίτημα του Ευκλείδου ἡ το αντικατέστησαν µε άλλο απλούστερον ή ευρήκαν την λύσιν του τετραγωνισμού του κύκλου ἡ την τριχοτόμησιν της γωνίας ἡ και τον διπλασιασμόν του κύβου. Το ατύχημα είναι όμως ότι οι περισσότεροι από τους ερευνητάς αυτούς, όχι μόνον Έλληνες αλλά και ξένοι ενίοτε, δεν γνωρίζουν που έγκειται ακριβώς η δυσκολία του προβλήματος, ποια επιστημονικά στοιχεία πρέπει να έχουν δια να εργασθούν µε τα προβλήματα αυτά, και ένεκα των αιτίων αυτών, δεν έχουν την καλήν διάθεσιν και ενίοτε ερευνητικόν πνεύμα, ἡ δεν κατορθώνουν τίποτα ἡ ευρίσκουν λύσεις που δεν ικανοποιούν την µαθηµατικήν επιστήμην, ευρίσκουν λύσεις ενίοτε με προσέγγισιν και µε την χρησιµοποίησιν άλλων μέσων, τα οποία δεν αναγνωρίζονται ότι δίδουν την καλουμένην λύσιν των προβλημάτων αυτών.

[Mihalis_Lambrou]

Στο λινκ εδώ θα βρείτε μια εργασία που είχα κάνει πριν από 30 χρόνια με τίτλο

"Mία προσπάθεια διπλασιασμού του κύβου την εποχή της Tουρκοκρατίας και το κείμενο της Aντιπελάργησης” (Ευκλείδης Γ΄, 11 (1994) 41-67).

Πρόκειται για μία διαμάχη το 1756 μεταξύ του Μπαλάνου Βασιλόπουλου ( ; - 1760) από την μια και από τον Ευγένιο Βούλγαρη (1716 – 1806) και τον Νικηφόρο Θεοτόκης (1731 – 1800) από την άλλη, όταν ο πρώτος είχε νομίσει ότι έκανε διπλασιασμό του κύβου με κανόνα και διαβήτη. Ο Ευγένιος Βούλγαρης ήταν αναμφισβήτητα ο κορυφαίος Διδάσκαλος του Γένους την εποχή της Τουρκοκρατίας και ο Νικηφόρος Θεοτόκης αναμφισβήτητα ο ισχυρότερος Έλληνας Μαθηματικός την ίδια εποχή, Αρχιεπίσκοποι και οι δύο.

Η διαμάχη είχε εκτραχυνθεί αλλά έχει πολύ ενδιαφέρον αφού είχε ερωτηθεί και η γνώμη του Euler, μεταξύ άλλων. Υπόψη ότι η κατασκευή του Μπαλάνου ήταν πριν αποδειχθεί το αδύνατο από τον Wantzel. To σφάλμα της κατασκευής είναι κάπως κρυμμένο και χρειάζεται έμπειρο μάτι να το εντοπίσει κανείς.

Όπως θα δείτε, είχα ψάξει το θέμα σε βάθος. Ελπίζω να απολαύσετε την ιστορία.

Υ.Γ. Πρόσθεσα μία παραπομπή στο προηγούμενο ποστ. Είναι στο αρχαίο Ελληνικό κείμενο του Πάππου. Την παραπομπή μου την έστειλε ο Γιάννης Θωμαΐδης.

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Μετά και τις τελευταίες αναρτήσεις του Μιχάλη διαθέτουμε πρόσβαση σε πολλές πηγές για ένα ζήτημα που παρουσιάζει μεγάλο ιστορικό, διδακτικό και μαθηματικό ενδιαφέρον. Η μελέτη αυτών των πηγών θα μπορούσε να εξελιχθεί σε ένα συναρπαστικό ταξίδι γνωριμίας με την εξέλιξη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και της διδασκαλίας της στην αρχαία και νεώτερη Ελλάδα.

Το ταξίδι αρχίζει με το διαχρονικής αξίας κείμενο του Πάππου στην εισαγωγή του τρίτου βιβλίου της Συναγωγής, όπου καυτηριάζει τη συμπεριφορά ενός επίδοξου διπλασιαστή του κύβου που θεωρούσε τον εαυτό του μεγάλο γεωμέτρη (… μέγας τις γεωμέτρης είναι δοκών…), αλλά και όσων τον υποστήριζαν (…Ιέριος ο φιλόσοφος και άλλοι πολλοί των αυτού μεν εταίρων εμοί δε γνωρίμων ηξίωσαν αποκρίνασθαί με τέως περί της προκειμένης κατασκευής…). Το κείμενο του Πάππου, με νεοελληνική μετάφραση και μαθηματικό σχολιασμό, υπάρχει επίσης στον πρώτο τόμο της έκδοσης της Συναγωγής που επιμελήθηκε ο αείμνηστος Βαγγέλης Σπανδάγο (Εκδόσεις Αίθρα 2001). Πολλά ακόμη στοιχεία μπορούν να βρεθούν σε βιβλία που έχουν μεταφραστεί στα Ελληνικά, όπως το Πάππος ο Αλεξανδρεύς και τα Μαθηματικά της Ύστερης Αρχαιότητας της Serafina Cuomo (Εκδόσεις Ενάλιος, 2004) και Η αρχαία παράδοση των γεωμετρικών προβλημάτων του Wilbur Knorr (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2022 σε υποδειγματική μετάφραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη). Και βέβαια στο εξαιρετικό (αν και δυσεύρετο σήμερα) βιβλίο του Μαυρίκιου Μπρίκα Τα περίφημα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητος (Αθήνα, 1970).

Το ταξίδι συνεχίζεται με την απόπειρα διπλασιασμού του κύβου από τον Μπαλάνο Βασιλόπουλο, που δίδασκε Μαθηματικά στα Ιωάννινα στη διάρκεια του 18ου αιώνα. Αυτή η απόπειρα προκάλεσε οξεία διαμάχη στην οποία ενεπλάκησαν σημαντικοί Έλληνες και ξένοι μαθηματικοί της εποχής και ο Μιχάλης το αναλύει εξαιρετικά και εξονυχιστικά στην εργασία του «Μια προσπάθεια διπλασιασμού του κύβου την εποχή της Τουρκοκρατίας και το κείμενο της Αντιπελάργησης» (Ευκλείδης Γ΄ 40-41, σσ.41-67, 1994).

Ιστορία και διδασκαλία συνδυάζονται ακόμη περισσότερο στην περίπτωση του 18χρονου μαθητή Παναγιώτη Δασκαλόπουλου από την Πάτρα. Το 1933 η εργασία του όχι μόνο «συγκίνησε ζωηρώς τους καθηγητάς και επιστήμονες της πόλεως», αλλά γνώρισε εγχώρια και διεθνή προβολή από αδαείς δημοσιογράφους ως «Λύσις του Δηλίου προβλήματος». Όποιος βέβαια διαβάσει την εργασία διαπιστώνει ότι πρόκειται για μια αξιόλογη μελέτη στην Ευκλείδεια Γεωμετρία που αναγάγει το πρόβλημα σε ένα άλλο, το οποίο φυσικά δεν είναι επιλύσιμο με κανόνα και διαβήτη.
Για να μελετήσει κάποιος τα προηγούμενα ζητήματα δεν χρειάζεται κάτι περισσότερο από καλή γνώση της κλασικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας που διδάσκεται στο Λύκειο. Αυτή η «καλή γνώση» σπανίζει πλέον σήμερα, όχι μόνο μεταξύ των μαθητών αλλά και μεταξύ των νέων μαθηματικών. Δεν χρειάζεται να επιχειρηματολογήσουμε ότι η κατάσταση αυτή οφείλεται στον τρόπο με τον οποίο διδάσκεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία τις τελευταίες δεκαετίες.
Τα λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας θα αποκτούσαν ουσιαστική εφαρμογή αν κάποιος που συνδυάζει την αντίστοιχη τεχνογνωσία με «καλή γνώση» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας τα αξιοποιούσε στο ζήτημα που εξετάζουμε. Με τη χρήση τους μπορεί π.χ. να γίνει εντυπωσιακή αναπαράσταση των ευφυέστατων μηχανισμών με ολισθαίνοντες ή περιστρεφόμενους κανόνες (δηλαδή βασικούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς…), που είχαν επινοήσει οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί όταν διαπίστωσαν ότι ορισμένα γεωμετρικά προβλήματα δεν μπορούν να επιλυθούν με αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη.

Τελευταίες αλλά όχι λιγότερο ενδιαφέρουσες είναι οι περιπτώσεις όσων εμφανίζονται κατά καιρούς υποστηρίζοντας ότι έχουν λύσει κάποιο από τα τρία άλυτα γεωμετρικά προβλήματα. Στο παρελθόν οι επιστημονικές εταιρείες, στις οποίες κυρίως απευθύνονταν αναζητώντας επιβεβαίωση και αναγνώριση, επινοούσαν τρόπους για να τους αποθαρρύνουν. Σήμερα οι περισσότεροι αξιοποιούν τις δυνατότητες του διαδικτύου και κατακλύζουν διάφορους «χαλαρούς» μαθηματικούς ιστότοπους με υποτιθέμενες λύσεις. Το φαινόμενο αγγίζει τα όρια του ανεξήγητου, ιδιαίτερα για όσους εξ’ αυτών είναι μαθηματικοί. Όλοι έχουν προφανώς διδαχθεί στη διάρκεια των σπουδών τους κάποια στοιχεία αφηρημένης άλγεβρας, στην οποία αποδεικνύεται με σαφή τρόπο ότι τα τρία περίφημα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας είναι αδύνατο να λυθούν με κανόνα και διαβήτη. Άρα η επιμονή τους να προτείνουν λύσεις προβλημάτων που έχουν αποδειχθεί άλυτα υπερβαίνει τα όρια του μαθηματικού ορθολογισμού και η ερμηνεία της απαιτεί συνδρομή άλλων κλάδων της επιστήμης …

Γράφοντας τα παραπάνω είχα κυρίως υπόψη τους νέους μαθηματικούς που σταδιοδρομούν στην εκπαίδευση και επιδιώκουν την επαγγελματική αναβάθμισή τους. Οι ίδιοι και η μαθηματική εκπαίδευση θα είχαν πολλά να κερδίσουν αν στα ενδιαφέροντά τους συμπεριλαμβάνονταν η έρευνα και η εκπόνηση εργασιών (ακόμη και σε μεταπτυχιακό επίπεδο) για τα προηγούμενα θέματα.
Γιάννης Θωμαΐδης

[KDORTSI]

Μιχάλη και Γιάννη καλημέρα και Καλή Χρονιά....

Διάβασα από την πρώτη στιγμή τις αναρτήσεις σας, οι οποίες ασχολούνται
με ένα τόσο ενδιαφέρον θέμα που και σήμερα ακόμα προκαλεί το ενδιαφέρον.
Ένα ενδιαφέρον, όχι μόνον για τους απλούς αναγνώστες, αλλά και για τους
μαθηματικούς! Νομίζω ότι δώσατε ένα ξεκάθαρο στίγμα για το όλο θέμα των
άλυτων προβλημάτων με κανόνα και διαβήτη που ανάγονται στην ελληνική
αρχαιότητα.

Από τη μεριά μου θα ήθελα να διατυπώσω δυο θέματα. Μια έρώτηση - απορία
και στη συνέχεια μια αναφορά στη μέθοδο της νεύσης.

Ερώτηση - απορία.

Διαβάζοντας το κείμενο του Νείλου Σακελλαρίου, του γνωστού σε μας τους
παλαιότερους από τη σχολική Άλγεβρα, που το έγραψε με αφορμή τη "λύση"
του Τάκη Δασκαλόπουλου, μαθητή της έκτης τάξης του τότε Γυμνασίου
Πατρών (1934),πρόσεξα την ακόλουθη φράση:

"Αυτό λοιπόν συμβαίνει και με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου,
το οποίον δεν ελύθη, θεωρείται άλυτον και πιστεύω ότι δεν θα λυθεί"

Ο Νείλος Σακελλαρίου έζησε κατά την περίοδο 1882 έως το 1955 ενώ το θεώρημα
του Wantzel δημοσιεύθηκε το 1837. Πώς λοιπόν πιστεύει ότι το πρόβλημαΔ αυτό
δεν θα λυθεί;

Η μέθοδος της νεύσης στο Δήλιο πρόβλημα

Νεύσις του Πλάτωνα 1.png (27.43 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα βλέπουμε το πλαίσιο αυτό το οποίο χειροκίνητα
τοποθετείται και βρίσκει(νεύοντας) τα μεγέθη τα οποία είναι
οι δυο μέσες ανάλογες των τμημάτων . Δηλαδή:



Από την (1) προκύπτει:



και αν θέσουμε στη συνέχεια τότε θα είναι

δηλαδή βρέθηκεη ακμή του διπλασίου κύβου ακμής ίσης με !

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/xg7qwksq

Η μέθοδος της νεύσης στη "λύση" του Τάκη Δασκαλόπουλου (1934)

Διαβάζοντας τη "λύση" του Τάκη Δασκαλόπουλου θέλησα να την παρουσιάσω
με τη μεθοδο της νεύσης. Όπως πολύ σωστά παρατήρησε ο Γιάννης Θωμαΐδης
η "λύση" τελικά γίνεται με τη μέθοδο της νεύσης. Εξάλλου και ο μαθητης
αναφέρει στη "λύση" του, ότι για την κατασκευή του τριγώνου στο οποίο
οδήγησε το συλλογισμό του θα γίνει χρήση της μεθόδου της "παρεμβολής"

Νεύσιις Δασκαλόπουλου 1.png (24.43 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα κατασκευάστηκε η γωνία

Με την ανωτέρω νεύση προσδιορίζεται η ευθεία τέτοια ώστε να είναι:



Παραθέτω και τη διεύθυνση του δυναμικού αρχείου

https://www.geogebra.org/m/y48zjupz

Η συνέχεια της λύσης

Νεύσις Δασκαλόπουλου 2.png (30.18 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα βρέθηκε το ορθογώνιο τριγωνο στο οποίο η διάμεσος

σχηματίζει τις πλευρές γωνίες αντίστοιχα

Ύστερα από την κατασκευή αυτή του τριγώνου εύκολα κατασκευάζεται ένα όμοιό του με μήκος

αντίστοιχης διαμέσου ίσο με δοθέν.

Σημείωση:Για να γίνει αντιληπτή η ανωτέρω διαδικασία πρέπει να μελετήσει κανείς τη "λύση" του
Τάκη Δασκαλόπουλου στην ανάρτηση του Μιχάλη Λάμπρου.


Μερικά ακόμα σχόλια

1. Θεωρώ ότι ο μαθητής αυτός είχε υπόψη του τη "λύση" του Πλάτωνα γιατί θεωρώντας αρχικά το τρίγωνο

με πλευρές θεωρεί αντί της όπως είναι στη λύση του Πλάτωνα. Για το

λόγο αυτό καταλήγει κανείς στην αντί της

2. Ακόμα, αν αναλογιστεί κανείς την εποχή εκείνη, 1934, μεσοπόλεμος, μια εποχή ταραγμένη όχι μόνο στην
Ελλάδα αλλά και σε ολόκληρη την Ευρώπη, ένα σχολείο άκρως επιλεκτικό,γνωσιοκεντρικό, αυταρχικό τότε
εκτιμά ακόμα περισσότερο την προσπάθεια αυτή.

3. Οι έστω και αποτυχημένες προσπαθειες της λύσης τέτοιων προβλημάτων δεν μπορεί να είναι παρά οφέλιμες
σ' όλους, αρκεί να αξιολογείται το αληθές ή το ψευδές...

Τέλος θα μπορούσε κανείς να διαβάσει σε διάφορες πηγές σχετικά θέματα με τη νεύση.

Προσωπικά εγώ ασχοληθηκα στη Στήλη των Μαθηματικών, έτος 2007, τεύχος 55. Υπάρχει στο διαδίκτυο.


Κώστας Δόρτσιος

[Mihalis_Lambrou]

Προσωπικά εγώ ασχοληθηκα στη Στήλη των Μαθηματικών, έτος 2007, τεύχος 55. Υπάρχει στο διαδίκτυο.

Κώστα, ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΘΕΡΜΟΤΑΤΑ.

Για τους αναγνώστες, το τεύχος που αναφέρει ο Κώστας υπάρχει εδώ.

Ακόμα καλύτερα, επειδή η Στήλη των Μαθηματικών του Κώστα είναι Κέρας Αμαλθείας, παραπέμπω και στα υπόλοιπα άρθρα, τον αριθμό, εδώ

Τέλος θα μπορούσε κανείς να διαβάσει σε διάφορες πηγές σχετικά θέματα με τη νεύση.

Μια εξαιρετική αρχαία πηγή με πλούσιο υλικό στο θέμα της νεύσης είναι η Συναγωγή του Πάππου. Θα δώσω ακριβέστερα στοιχεία, όταν βρεθώ στο αρχείο μου. Το ίδιο βιβλίο έχει και διάφορα ενδιαφέροντα σχετικά με τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας (πέρα από το Δήλιο, που είδαμε παραπάνω).

Είχα συλλέξει για την νεύση πάρα πολλές άλλες πηγές από Ιστορία των Μαθηματικών, αρχαίες Ελληνικές, Αραβικές, Αναγεννησιακές και όχι μόνο, τις οποίες θα έδινα σε εξαιρετική μεταπτυχιακή φοιτήτρια για να γράψει την Μεταπτυχιακή της εργασία. Τελικά όμως η ίδια ασχολήθηκε με παιδαγωγικό θέμα, οπότε μου έμεινε το υλικό για μελλοντική χρήση. Ελπίζω να το αξιοποιήσω κάποτε, γιατί είναι αρκετά πλούσιο υλικό, και δυσεύρετο.

[Mihalis_Lambrou]

Ερώτηση - απορία.

Διαβάζοντας το κείμενο του Νείλου Σακελλαρίου...
... πρόσεξα την ακόλουθη φράση:

"Αυτό λοιπόν συμβαίνει και με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου,
το οποίον δεν ελύθη, θεωρείται άλυτον και πιστεύω ότι δεν θα λυθεί"

Ο Νείλος Σακελλαρίου έζησε κατά την περίοδο 1882 έως το 1955 ενώ το θεώρημα
του Wantzel δημοσιεύθηκε το 1837. Πώς λοιπόν πιστεύει ότι το πρόβλημαΔ αυτό
δεν θα λυθεί;

(Συνέχεια των δύο προηγούμενων ποστ).

Κώστα, εύλογη η απορία σου. ΄

Είναι γνωστό ότι ο Wantzel είχε αμεληθεί από την Μαθηματική κοινότητα, ενώ δόθηκε εκ νέου απόδειξη του θεωρήματός του έναν αιώνα αργότερα, χωρίς να προσεχθεί η δική του αρχική απόδειξη του 1837. Το ερώτημα "γιατί αμελήθηκε ο Wantzel" το απαντά μία εξαιρετική εργασία του Lutzen με τίτλο

Why was Wantzel overlooked for a century?

Θα την βρείτε εδώ.

[KDORTSI]

Κώστα, ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΘΕΡΜΟΤΑΤΑ.

Για τους αναγνώστες, το τεύχος που αναφέρει ο Κώστας υπάρχει εδώ.

Ακόμα καλύτερα, επειδή η Στήλη των Μαθηματικών του Κώστα είναι Κέρας Αμαλθείας, παραπέμπω και στα υπόλοιπα άρθρα, τον αριθμό, εδώ

Μιχάλη καλησπέρα...

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση καθώς και για τον χαρακτηρισμό της

Στήλης των Μαθηματικών που επιμελήθηκα παλαιότερα.

Το κέρας της Αμάλθειας είναι σπουδαίος χαρακτηρισμός για την δουλειά αυτή. Η Αμάλθεια και σήμερα

νοείται ως μια πηγή αφθονίας...

Μιχάλη ξέρω ότι παρακολουθείς τα μαθηματικά δρώμενα στη χώρα μας, και όχι μόνο. Αυτό το διαπίστωσα

και από παλαιότερες κουβέντες που κάναμε...

Και πάλι σ' ευχαριστώ από καρδιάς...

Σαν επίλογο στο μήνυμα αυτό θα αναρτήσω δυο εικόνες από μια δουλειά μου πέρυσι στη

Μαθηματική Εβδομάδα στη Θεσσαλονίκη μαζί με το φίλο μου το Χρόνη Μωυσιάδη, οι οποίες

σχετίζονται με το κέρας της Αμάλθειας....

Κέρας Αμάλθειας 1.png (37.63 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Είχε πολλή δουλειά, αλλά ενδιαφέροουσα...
Βέβαια θα μπορούσε να γίνει με το λογισμικό Maple χωρίς κόπο, αλλά θα έχανες
την ομορφιά του ταξιδιού ... όπως λέει ο Καβάφης.

Κέρας της Αμάλθειας 2.png (339.52 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Και η αφθονία στην πεζή της έκφραση...

Κώστας Δόρτσιος

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Είναι αδύνατο να μην επανέλθει κανείς σε αυτό το θέμα, ύστερα από τις αριστοτεχνικές, δυναμικές αναπαραστάσεις που δημιούργησε ο Κώστας Δόρτσιος.
Γράφοντας παραπάνω για «συνδυασμό της τεχνογνωσίας των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας με καλή γνώση της κλασικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας», είχα κατά νου δύο αντικειμενικά γεγονότα. Αφενός την έλλειψη αυτού του συνδυασμού (που διαπίστωσα πολλές φορές ως σχολικός σύμβουλος) όταν έγινε η μαζική «εισβολή» των λογισμικών στην εκπαίδευση με τη λεγόμενη «επιμόρφωση Β΄ επιπέδου». Και αφετέρου την εξαιρετική περίπτωση του Κώστα ο οποίος εδώ και χρόνια (και χωρίς επιμόρφωση Β΄ επιπέδου!) αναδεικνύει με πολύ διδακτικά παραδείγματα τη σημασία αυτού του συνδυασμού.
Άλλα δύο τέτοια παραδείγματα μας έδωσε σε αυτό το νήμα. Στο πρώτο αναπαριστά πολύ κατανοητά το μηχανισμό των κινούμενων κανόνων με τον οποίο επιτυγχάνεται η απαιτούμενη νεύση για την παρεμβολή δύο μέσων ανάλογων μεταξύ ενός δεδομένου τμήματος και του διπλασίου του. Το ένα από τα δύο παρεμβαλλόμενα τμήματα είναι τότε η ακμή του κύβου που έχει διπλάσιο όγκο από τον κύβο με ακμή το δεδομένο τμήμα. Είναι βέβαιο ότι ο Πλάτωνας, στον οποίο αποδίδεται η επινόηση του συγκεκριμένου μηχανισμού (όπως και η περίφημη επιγραφή «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω») θα ενέκρινε αμέσως την είσοδο του Κώστα ως εταίρου στην Ακαδημία του!
Σημαντική είναι επίσης η παρατήρησή του για το κείμενο του Νείλου Σακελλαρίου, καθηγητή Ανωτέρας Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Το 1934, δηλαδή σχεδόν ένα αιώνα μετά την απόδειξη του Wantzel, ο Σακελλαρίου φαίνεται να πιστεύει ότι το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου «δεν θα λυθεί»! Στο βιογραφικό του αναφέρονται σπουδές στη Γερμανία (1911-1914), αλλά ύστερα από όσα αποκαλύπτει ο Jasper Lützen στο άρθρο που παρέπεμψε ο Μιχάλης, η στάση αυτή του Σακελλαρίου δεν πρέπει να μας εκπλήσσει.
Όλα τα προηγούμενα καθιστούν την ιστορική, διδακτική και μαθηματική εξερεύνηση του ζητήματος που αναδείχθηκε σε αυτό το νήμα ακόμη πιο συναρπαστική. Ζητείται επειγόντως ένας ικανός μεταπτυχιακός φοιτητής για να την αναλάβει!
Γιάννης Θωμαΐδης

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Είναι αδύνατο να μην επανέλθει κανείς σε αυτό το θέμα, ύστερα από τις αριστοτεχνικές, δυναμικές αναπαραστάσεις που δημιούργησε ο Κώστας Δόρτσιος.
Γράφοντας παραπάνω για «συνδυασμό της τεχνογνωσίας των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας με καλή γνώση της κλασικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας», είχα κατά νου δύο αντικειμενικά γεγονότα. Αφενός την έλλειψη αυτού του συνδυασμού (που διαπίστωσα πολλές φορές ως σχολικός σύμβουλος) όταν έγινε η μαζική «εισβολή» των λογισμικών στην εκπαίδευση με τη λεγόμενη «επιμόρφωση Β΄ επιπέδου». Και αφετέρου την εξαιρετική περίπτωση του Κώστα ο οποίος εδώ και χρόνια (και χωρίς επιμόρφωση Β΄ επιπέδου!) αναδεικνύει με πολύ διδακτικά παραδείγματα τη σημασία αυτού του συνδυασμού.

Aν δεν ήταν ο Κώστας με τα όμορφα δυναμικά σχήματα , οι λύσεις των θεμάτων Στερεομετρίας που έχω δημοσιεύσει θα έχαναν κάτι σημαντικό...
Κώστα, σε ευχαριστώ που πάντα ανταποκρινόσουν...
Και βέβαια έχει διδαχθεί και έχει διδάξει τη βαριά ύλη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας , αυτό δεν είναι λίγο...

[KDORTSI]

Γιάννη και Τηλέμαχε σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια...

Είναι αλήθεια ότι είναι βαθειά η πεποίθησή μου ότι η οπτική παράσταση μιας οποιασδήποτε
έννοιας είναι "έκ τῶν ὧν οὔκ άνευ" για την κατανόησή της και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά.

Πιστεύω ότι η οπτική αντίληψη βοηθάει στη βαθύτερη ανάλυση και ερμηνείας της κάθε ιδέας που έχουμε στο νου μας.

Εϊναι αυτό που λένε ότι " Μια εικόνα είναι χίλιες λέξεις", αλλά και μια δυναμική εικόνα,άραγε πόσες
λέξεις θα είναι; Αυτό θυμάμαι έγραψε κάποτε σε μια ανάρτησή μου ο Μιχάλης Νάννος.

Συμφωνώ με το Γιάννη Θωμαϊδη για το τι συμβαίνει στα σχολεία μας. Δεν είναι ώρα για την όλη ερμηνεία.
Ίσως από τότε που στη χώρα μας για πρώτη φορά το Υπουργείο υλοποποίησε το πρώτο πιλοτικό πρόγραμμα
με τα τρία λογισμικά Cabri, Sketchpad και Function Probe το έτος 2002 και μέχρι τώρα η κατάσταση είναι χωρίς
κανένα προσανατολισμό. Ακόμα και στο Πανεπιστήμιο τα πράγματα είναι παρόμοια. Λέω, δεν είνα δυνατόν
να διδάσκεται η Διαφορική Γεωμετρία και να μη μαθαίνει ο φοιτητής να φτιάχνει επίπεδα, καμπύλες στο χώρο.
επιφάνειες και διάφορα άλλα στερεά την ώρα που έχουμε πλειάδα λογισμικών για τη δουλειά αυτή.
Ακόμα λείπουν τέτοια σχήματα και από τα αντίστοιχα διδακτικά βιβλία.

Και όχι μόνο στη Διαφορική Γεωμετρία,αλλά και σε άλλους τομείς των Μαθηματικών.Για παράδειγμα στην
Ανάλυση και στον Ολοκληρωτικό Λογισμό, στη Γραμμική Άλγεβρα, στη Στατιστική, στις Διαφορικές εξισώσεις και γενικά σε όλα
τα μαθήματα για να μη αναφερθώ και πέραν των Μαθηματικών( Φυσική, Χημεία, κλπ).

Δεν ξέρω, σήμερα μιλάμε για επέλαση της τεχνητής νοημοσύνης που φαίνεται θα αλλάξει πολλά πράγματα,
αντιλήψεις, μεθόδους, αρχές, και ίσως μας βρίσκει ανέτοιμους τουλάχιστον να θεμελιώσουμε μια πρόταση.

Εγώ, έξω από τα σχολεία πλέον, αρέσκομαι στις δυνατότητες των λογισμικών αυτών και θαυμάζω τα επιτεύγματα
των μαθηματικών των προηγούμενων αιώνων που με μοναδικό βοήθημα το χαρτί και το μολύβι μελέτησαν
γραμμές, επιφάνειες, επίπεδα που τόσο εύκολα μπορούμε και τα φτιάχνουμε σήμερα!

Κώστας Δόρτσιος

[gbaloglou]

Είναι αδύνατο να μην επανέλθει κανείς σε αυτό το θέμα, ύστερα από τις αριστοτεχνικές, δυναμικές αναπαραστάσεις που δημιούργησε ο Κώστας Δόρτσιος.
Γράφοντας παραπάνω για «συνδυασμό της τεχνογνωσίας των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας με καλή γνώση της κλασικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας», είχα κατά νου δύο αντικειμενικά γεγονότα. Αφενός την έλλειψη αυτού του συνδυασμού (που διαπίστωσα πολλές φορές ως σχολικός σύμβουλος) όταν έγινε η μαζική «εισβολή» των λογισμικών στην εκπαίδευση με τη λεγόμενη «επιμόρφωση Β΄ επιπέδου». Και αφετέρου την εξαιρετική περίπτωση του Κώστα ο οποίος εδώ και χρόνια (και χωρίς επιμόρφωση Β΄ επιπέδου!) αναδεικνύει με πολύ διδακτικά παραδείγματα τη σημασία αυτού του συνδυασμού.
Άλλα δύο τέτοια παραδείγματα μας έδωσε σε αυτό το νήμα. Στο πρώτο αναπαριστά πολύ κατανοητά το μηχανισμό των κινούμενων κανόνων με τον οποίο επιτυγχάνεται η απαιτούμενη νεύση για την παρεμβολή δύο μέσων ανάλογων μεταξύ ενός δεδομένου τμήματος και του διπλασίου του. Το ένα από τα δύο παρεμβαλλόμενα τμήματα είναι τότε η ακμή του κύβου που έχει διπλάσιο όγκο από τον κύβο με ακμή το δεδομένο τμήμα. Είναι βέβαιο ότι ο Πλάτωνας, στον οποίο αποδίδεται η επινόηση του συγκεκριμένου μηχανισμού (όπως και η περίφημη επιγραφή «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω») θα ενέκρινε αμέσως την είσοδο του Κώστα ως εταίρου στην Ακαδημία του!

Γιάννη δεν ξέρω για τον μηχανισμό, αλλά για την επιγραφή το έψαξα λίγο: ότι μάλλον δεν είναι του Πλάτωνα το ξέρεις, απλώς 'αποδίδεται' σ' αυτόν, και μάλιστα σε 'αμφισβητούμενη' πηγή (ψευδο-Γαληνός, σίγουρα μετά τον Πλωτίνο (που αναφέρεται εκεί), πιθανώς πολύ αργότερα), ενδιαφέρον είναι ότι αναφέρει την επιγραφή και ο Ιωάννης Φιλόπονος (490-570), σχολιαστής των Ύστερων Αναλυτικών του Αριστοτέλη όπου αναφέρεται για πρώτη φορά ο όρος "αγεωμέτρητον" ("μη γεωμετρικόν", non-geometrical, βλέπε πχ ενότητα 77b εδώ)

[Υπαινίσσομαι δηλαδή ότι ο Ιωάννης Φιλόπονος, έχοντας χρησιμοποιήσει το "αγεωμέτρητον" 22 φορές στα ως άνω σχόλια στον Αριστοτέλη, έκανε και το σχετικό άλμα στο "αγεωμέτρητος" και στον Πλάτωνα ... για τον οποίο γράφει "εἰδέναι δὲ χρὴ ὅτι οὐχ οὕτως ἀγεωμέτρητος ἦν ὁ Πλάτων" (In Aristotelis libros de generatione et corruptione commentaria, Volume 14,2 page 210 line 12) ... για να γράψει 'μετά' και "(Πυθαγόρειος δὲ ὁ Πλάτων, οὗ καὶ πρὸ τῆς διατριβῆς ἐπεγέγραπτο ‘ἀγεωμέτρητος μὴ εἰσίτω’)" (In Aristotelis libros de anima commentaria, Volume 15 page 117 line 27). Βεβαίως ο όρος "αγεωμέτρητος", "άσχετος από γεωμετρία", πέραν του νεφελώδους ψευδο-Γαληνού, εμφανίζεται ήδη στον Θεμίστιο (317-388), "ἀγεωμέτρητος γὰρ καὶ ὁ μηδὲν περὶ τῶν παραλλήλων εἰδὼς καὶ ὁ συμπίπτειν αὐτὰς οἰόμενος", στον Πάππο, κλπ]

Σημαντική είναι επίσης η παρατήρησή του για το κείμενο του Νείλου Σακελλαρίου, καθηγητή Ανωτέρας Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Το 1934, δηλαδή σχεδόν ένα αιώνα μετά την απόδειξη του Wantzel, ο Σακελλαρίου φαίνεται να πιστεύει ότι το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου «δεν θα λυθεί»! Στο βιογραφικό του αναφέρονται σπουδές στη Γερμανία (1911-1914), αλλά ύστερα από όσα αποκαλύπτει ο Jasper Lützen στο άρθρο που παρέπεμψε ο Μιχάλης, η στάση αυτή του Σακελλαρίου δεν πρέπει να μας εκπλήσσει.
Όλα τα προηγούμενα καθιστούν την ιστορική, διδακτική και μαθηματική εξερεύνηση του ζητήματος που αναδείχθηκε σε αυτό το νήμα ακόμη πιο συναρπαστική. Ζητείται επειγόντως ένας ικανός μεταπτυχιακός φοιτητής για να την αναλάβει!
Γιάννης Θωμαΐδης

[Mihalis_Lambrou]

... για την επιγραφή το έψαξα ...

Γιώργο, για την επιγραφή είχα γράψει ένα άρθρο σε κάποιο τεύχος του QUANTUM και αργότερα σε βελτιωμένη μορφή το επανέκδωσα στο βιβλίο μου του διαγωνισμού Καγκουρό το 2023. Το επισυνάπτω.

[gbaloglou]

... για την επιγραφή το έψαξα ...

Γιώργο, για την επιγραφή είχα γράψει ένα άρθρο σε κάποιο τεύχος του QUANTUM και αργότερα σε βελτιωμένη μορφή το επανέκδωσα στο βιβλίο μου του διαγωνισμού Καγκουρό το 2023. Το επισυνάπτω.

Μιχάλη πολύ ενδιαφέρον!

Σε πρώτη ανάγνωση το απόσπασμα από την ομιλία του Ιουλιανού το 361 λήγει το ζήτημα. Σε δεύτερη ανάγνωση δεν είναι σαφές ότι στην ομιλία του Ιουλιανού αναφέρεται ή υπονοείται κάπου ειδικά η Γεωμετρία, οπότε γεννιούνται αμφιβολίες -- μπορεί δηλαδή ο Ιουλιανός να αναφέρεται σε κάποιο άλλο κοινό προαπαιτούμενο της Περιπατητικής Αριστοτέλη και της Ακαδημίας Πλάτωνα (πχ "καὶ διὰ πάντων τῶν μαθημάτων ἦχθαι τοῖς εἴσω τοῦ περιπάτου βαδίζουσι προηγορεύετο"). Σε τρίτη ανάγνωση, ο Ιωάννης Φιλόπονος, ο μόνος από τους άλλους τέσσερις συγγραφείς (που αναφέρεις αμέσως μετά τον Ιουλιανό) με τον οποίο δεν ασχολήθηκες στο άρθρο σου, ενισχύει την άποψη σου μέσω του "(Πυθαγόρειος δὲ ὁ Πλάτων, οὗ καὶ πρὸ τῆς διατριβῆς ἐπεγέγραπτο ‘ἀγεωμέτρητος μὴ εἰσίτω’)" (#14) που είναι βέβαια πολύ κοντά -- ειδικά μέσω του "διατριβή" = "φοίτηση", "σχολή" -- στο "ὥσπερ τῆς Πλάτωνος, οὕτω δὴ καὶ τῆς ἐκείνου διατριβῆς προυγέγραπτο" του Ιουλιανού.

Ή δηλαδή η επιγραφή ήταν όντως πασίγνωστη στον καιρό του Ιουλιανού και θα πήγαινε εκεί το μυαλό του ακροατή (όπως γράφεις στο άρθρο σου) ή την 'εμπνεύστηκε' ο Ιωάννης Φιλόπονος διαβάζοντας (ενάμισυ αιώνα αργότερα) την ομιλία του Ιουλιανού! [Ή τέλος πάντων αναφέρονται και οι δύο σε κάποια πηγή που αγνοούμε...]

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Γιώργο, δεν χρειάζεται να εμπλακούμε σε ατέρμονες ιστορικές αναλύσεις για να κατανοήσουμε την ουσία του θέματος που ανέδειξε η συζήτηση σε αυτό το νήμα (εννοώ το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου και τις διαχρονικές απόπειρες επίλυσής του).
Έχουν διατυπωθεί πολλές αντιρρήσεις για την ορθότητα της μαρτυρίας ορισμένων αρχαίων συγγραφέων (αρκετά μεταγενέστερων του Πλάτωνα), ότι ο μηχανισμός για την παρεμβολή των δύο μέσων αναλόγων ήταν επινόηση του Αθηναίου φιλοσόφου. Με κριτήριο την εξισορρόπηση ανάμεσα στις ιστορικές και μαθηματικές όψεις του προβλήματος θεωρώ ως πλέον έγκυρη την άποψη του Wilbur Knorr στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω (#6). Την εκθέτει πολύ πειστικά τις σελίδες 99-104 της ελληνικής μετάφρασης του Τ. Μιχαηλίδη.
Για να αντιληφθούμε την πολυπλοκότητα των αναζητήσεων στις ιστορικές πηγές (ήδη ορατές στην εξονυχιστική μελέτη του Μιχάλη Λάμπρου για την επιγραφή «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» στο Καγκουρό 2023), θα παραπέμψω σε ένα απολαυστικό κείμενο του αείμνηστου Μιχάλη Μαριά. Περιέχεται στο βιβλιαράκι με τίτλο Ο Θεός Αεί Γεωμετρεί ή η ιστορία ενός εξωφύλλου (Εκδόσεις Ζήτη, 2004) και υπότιτλο Ένα εικονογραφημένο καλοκαιρινό αφήγημα στο οποίο εξιστορεί την εμπλοκή του στο σχεδιασμό του εξωφύλλου των Technical Reports του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ.
Γιάννης Θωμαΐδης

[KDORTSI]

Μιχάλη, Γιάννη και Γιώργο καλησπέρα σας...

Θα ήθελα να πω ότι η φράση

"μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω"

η οποία στην ιστορία έμεινε ως μια φράση του Πλάτωνα αξίζει,
όχι για την πατρότητά της τόσο, όσο για τη βαθύτερη εννοιολογική
της βαρύτητα. Αυτό νομίζω γίνεται αντιληπτό ιδιαίτερα σήμερα όπου
παρατηρείται γενικώς μια ένδεια της Γεωμετρικής αύρας!

Εξάλλου και ο Ευγένιος Βούλγαρης, ένας κορυφαίος Νεοέλληνας
Διαφωτιστής όταν ήταν διευθυντής στη Μεγάλη Σχολή του Γένους
στη Χάλκη εκτιμώντας τη σπουδαιότητα της Γεωμετρικής Γνώσης
έγραψε, μιμούμενος τον Πλάτωνα, στην είσοδο της Σχολής:

"Γεωμετρήσεων εἰσίτω, οὕ κωλύω, Τῷ μή θέλοντι συζυγήσω τάς θύρας"

Δηλαδή:

"Αυτόν που ασχολείται με τη Γεωμετρία θα τον επιτρέψω να εισέλθει, δεν θα τον εμποδίσω,
εκείνον όμως που δεν θέλει να ασχοληθεί θα του κλείσω τις πόρτες".

Κώστας Δόρτσιος

[Mihalis_Lambrou]

Εξάλλου και ο Ευγένιος Βούλγαρης, ένας κορυφαίος Νεοέλληνας
Διαφωτιστής όταν ήταν διευθυντής στη Μεγάλη Σχολή του Γένους
στη Χάλκη εκτιμώντας τη σπουδαιότητα της Γεωμετρικής Γνώσης
έγραψε, μιμούμενος τον Πλάτωνα, στην είσοδο της Σχολής:[/i]

"Γεωμετρήσεων εἰσίτω, οὕ κωλύω, Τῷ μή θέλοντι συζυγήσω τάς θύρας"

Κώστα, στο άρθρο μου που ανάρτησα στο ποστ #15 λίγο παραπάνω, στην τελευταία σελίδα, τα αναφέρω αυτά. Τα περί Τουρκοκρατίας αρχίζουν από την μέση περίπου της προτελευταίας σελίδας.

[KDORTSI]

Εξάλλου και ο Ευγένιος Βούλγαρης, ένας κορυφαίος Νεοέλληνας
Διαφωτιστής όταν ήταν διευθυντής στη Μεγάλη Σχολή του Γένους
στη Χάλκη εκτιμώντας τη σπουδαιότητα της Γεωμετρικής Γνώσης
έγραψε, μιμούμενος τον Πλάτωνα, στην είσοδο της Σχολής:[/i]

"Γεωμετρήσεων εἰσίτω, οὕ κωλύω, Τῷ μή θέλοντι συζυγήσω τάς θύρας"

Κώστα, στο άρθρο μου που ανάρτησα στο ποστ #15 λίγο παραπάνω, στην τελευταία σελίδα, τα αναφέρω αυτά. Τα περί Τουρκοκρατίας αρχίζουν από την μέση περίπου της προτελευταίας σελίδας.

Μιχάλη έχεις δίκιο, και στην εργασία σου αυτή παρουσιάζεις πολλά και ενδιαφέροντα θέματα
τα οποία αξίζει κανείς να τα μελετήσει.

Εγώ ήθελα απλά να δηλώσω τη διαχρονικότητα της φράσης αυτής και η οποία με τόσο

εμφαντικό τρόπο αναγράφηκε το 18ο αιώνα από τον Ευγένιο Βούλγαρη!

Κώστας Δόρτσιος