Άσκηση με απόλυτες τιμές

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Καλημέρα.
Συννεφιασμένη Κυριακή σήμερα αλλά όπως και να έχει, είναι Κυριακή!
ΑΣΚΗΣΗ
Έστω α, β, γ πραγματικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι |α+β|+|β+γ|+|γ+α|<2 αν και μόνο αν |α|<1, |β|<1, |γ|<1 και |α+β+γ|<1.

[p@g]

καλημερα και πο μενα !απο οτι φενεται καπου κανω λαθος.στηριζομενος στην ανισοισοτητα |α|+|β|>=|α+β| και προσθετοντας κατα μελη τις |α|<1 και |β|<1 προκυπτει οτι |α+β|<2 αρα δουλευοντας ετσι αλλες δυο φορες και προσθετοντας κατα μελη θα προκυψει |α+β|+|β+γ|+|γ+α|<6.βεβαια δεν αξιοποιησα μια πληροφορια που δινεις οποτε καπου χανω... :|

[Djimmakos]

Το ότι κάτι είναι μικρότερο από το 6 δε συνεπάγεται ότι είναι μικρότερο και από το 2!

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Με βάση την ανισοισότητα | x + y | ≤ |x| + |y| έχουμε:
2|α + β + γ| = |(α + β) + (β + γ) + (γ + α) | ≤ |α + β| + |β + γ| + |γ + α| < 2
Επομένως |α + β + γ| < 1

Με βάση την ανισοισότητα | x + y | ≤ |x| + |y| έχουμε:
2|α|= | 2α| = |(α + β) - (β + γ) + (γ + α) | ≤ |α + β| + |β + γ| + |γ + α| < 2
Επομένως |α | < 1 και αντίστοιχα προκύπτει ότι |β| < 1, |γ| < 1


Y.Σ. Ψάχνω για το αντίστροφο

[rek2]

Y.Σ. Ψάχνω για το αντίστροφο

Ένας τρόπος για το αντίστροφο είναι με διάκριση περιπτώσεων.

[mathfinder]

Στο συνημμένο θα δείτε μία λύση για το αντίστροφο της άσκησης με περιπτώσεις για τα α , β ,γ .

Υ.Γ. Διέγραψα το συνημμένο μετά την σωστή υπόδειξη του κου Λάμπρου.

Υ.Γ. Δίνω στο συνημμένο άλλη μία λύση για το αντίστροφο της ανισότητας , ελπίζω να μην έχει λάθη και κενά .

[kostas136]

Καταπληκτική λύση!

[Mihalis_Lambrou]

Στο συνημμένο θα δείτε μία λύση για το αντίστροφο

Θανάση, προσοχή. Οι τρεις τελευταίες γραμμές της περίπτωσης α + β + γ 0
είναι λάθος: Από το γεγονός ότι το αριστερό μέλος είναι μικρότερο του
δεν έπεται ότι θα είναι μικρότερο του 2.
Το 2 είναι μεταξύ του αριστερού μέλους και του

Θα δώσω μία υπόδειξη για την πολύ ωραία αυτή άσκηση:
Δείτε τις παραστάσεις με α μεταβλητό (πείτε το χ) και β, γ σταθερά.
Έτσι, π.χ. το |χ+β| + |χ+γ| + |β+γ| είναι μία τεθλασμένη γραμμή
(ζωγραφίστε την!) που τα ακρότατά της είναι στα άκρα ή στο -β ή στο -γ.

Φιλικά,

Μιχάλης

[mathfinder]

Κύριε Λάμπρου ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη του λάθους στην απόδειξη , που ουσιαστικά δεν αποδείκνυε το ζητούμενο .
Έχω διορθώσει το συνημμένο στέλνοντας μία διαφορετική λύση , ελπίζω χωρίς κενά και ασάφειες.

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Καλησπέρα από τον ανοιξιάτικο Πειραιά.
Οι νεραντζιές στο Δημοτικό Θέατρο επιμένουν να ανθίζουν και να παρηγορούν όσους δεν μπορούν να δραπετεύσουν από αυτήν την πόλη.

Ας παραθέσω τώρα μια απόδειξη της ισοδυναμίας με τα απόλυτα.
Θέτουμε κ=α+β, λ=β+γ, μ=γ+α. Τότε 2α=κ+μ-λ, 2β=κ+λ-μ, 2γ=λ+μ-κ. Η ισοδυναμία γίνεται:
|κ|+|λ|+|μ|<2 αν και μόνο αν |κ+μ-λ|<2, |κ+λ-μ|<2, |-κ+λ+μ|<2 και |κ+λ+μ|<2. Η ισοδυναμία αυτή είναι αληθής διότι:
(α) οι τέσσερις αριθμοί |κ+μ-λ|, |κ+λ-μ|, |-κ+λ+μ| και |κ+λ+μ| είναι μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού |κ|+|λ|+|μ|
(β) ένας από τους αριθμούς |κ+μ-λ|, |κ+λ-μ|, |-κ+λ+μ| και |κ+λ+μ| είναι ίσος του αριθμού |κ|+|λ|+|μ| διότι οι κ,μ,-λ ή οι κ,λ,-μ ή οι -κ,λ,μ
ή οι κ,λ,μ ανήκουν στο ή στο