Είναι ... τετράγωνο αθροίσματος !

#1

Αν οι αριθμοί x,y, z

είναι θετικοί ρητοί, να αποδειχθεί ότι και οι αριθμοί :

α) $\displaystyle A= \sqrt {x^2+\frac {1}{y^2} + (\frac {x}{xy+1} )^2$

β) $\displaystyle A= \sqrt {\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2}+ \frac {1}{z^2}+ (\frac {x+y+z}{xy+yz+zx} )^2$

είναι ρητοί.

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αν οι αριθμοί είναι θετικοί ρητοί, να αποδειχθεί ότι και οι αριθμοί :

α) $\displaystyle A= \sqrt {x^2+\frac {1}{y^2} + (\frac {x}{xy+1} )^2$ ... είναι ρητοί.

Μπάμπης

ας κάνουμε το πρώτο βήμα

$\displaystyle B= {x^2+\frac {1}{y^2} + (\frac {x}{xy+1} )^2=(x+\frac{1}{y})^2-2\frac{x}{y} + (\frac {x}{xy+1} )^2$

$\displaystyle{B=(\frac{xy+1}{y})^2+(\frac{x}{xy+1})^2-2(\frac{x}{xy+1})(\frac{xy+1}{y})=(\frac{xy+1}{y}-\frac{x}{xy+1})^2}$

#3

...ας κάνουμε δεύτερο βήμα...

β) $\displaystyle A= \sqrt {\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2}+ \frac {1}{z^2}+ (\frac {x+y+z}{xy+yz+zx} )^2$
======================================================================

$\displaystyle B= \frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2}+ \frac {1}{z^2}+ (\frac {x+y+z}{xy+yz+zx} )^2=>$ $B=\displaystyle{(\frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{z})^2-2(\frac{x+y+z}{xyz})+(\frac {x+y+z}{xy+yz+zx})^2}$

$\displaystyle{B=(\frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{z})^2-2(\frac{x+y+z}{xy+yz+zx}\cdot \frac{xy+yz+zx}{xyz})+(\frac {x+y+z}{xy+yz+zx})^2)}$

$\displaystyle{B=(\frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{z}-\frac{x+y+z}{xy+yz+zx})^2}$

Είναι ... τετράγωνο αθροίσματος !

Είναι ... τετράγωνο αθροίσματος !

Re: Είναι ... τετράγωνο αθροίσματος !

Re: Είναι ... τετράγωνο αθροίσματος !

Μέλη σε σύνδεση