Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

#1

Μια σχετικά απλή άσκηση , από αυτές που αρέσουν σε όλους !

ΑΣΚΗΣΗ

Αν a+b=1

και

, να υπολογιστεί η τιμή του a^4+b^4

.

Μπάμπης

Eukleidis · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nickthegreek · #3

Θα δώσω δύο τρόπους σκέψης:

1) $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\Rightarrow 1-3ab=4\Rightarrow ab=-1$ .Tώρα έχουμε a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1+2=3

.

Έτσι έχουμε: a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=3^2-2=7

2)Ομοίως με την (1) έχουμε $a+b=1\wedge ab=-1$ .Κατά συνέπεια οι αριθμοί a,b

είναι οι ρίζες της εξίσωσης x^2-x-1=0

.Oπότε
έχουμε ότι $(a,b)=(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2})$ και άρα o αριθμός a^4+b^4

υπολογίζεται εύκολα με πράξεις...

Φιλικά,
Νίκος

#4

Aς δώσω κι εγώ άλλον έναν.

Έχω:

$\displaystyle{ (a + b)^2 = 1 \Rightarrow a^2 + b^2 + 2ab = 1(1) }$

αλλά και:

$\displaystyle{ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) = a^2 - ab + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - ab = 4(2) }$

Απο τις (1) και (2) ονομάζοντας

$\displaystyle{ \begin{array}{l} k = a^2 + b^2 \\ \lambda = ab \\ \end{array} }$

Προκύπτει το σύστημα εξισώσεων:

κ+2λ=1
κ-λ=4

Η λύση του οποίου δίνει:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} k = a^2 + b^2 = 3 \\ \lambda = ab = - 1 \\ \end{array} }$

Αρα:

$\displaystyle{ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 \Rightarrow a^4 + b^4 = (a + b)^4 - 4ab(a^2 + b^2 ) - 6a^2 b^2 = ... = 7 }$

gtk1994 · #5

Θα μπορούσαμε επίσης, αφού βρήκαμε το ab=-1

και το $a^{2}+b^{2}=3$ να πολλαπλασιάσουμε το a+b

με το $a^{3} + b^{3}$ και τότε παίρνουμε :
$(a + b)(a^{3}+b^{3})=1\times 4$ \displaystyle{\Leftrightarrow

a^{4}+b^{4}+ab^{3}+a^{3}b=4} $\Leftrightarrow$
$a^{4}+b^{4}+ab(a^{2}+b^{2})=4$ $\Leftrightarrow$
$a^{4}+b^{4}=7$

Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

Re: Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

Re: Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

Re: Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

Re: Κλασική σε ύφος - Ταυτότητα !

Μέλη σε σύνδεση