Mεγιστη.....

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

: μεγιστη.PNG (25.72 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

#2

Ισχύει

$\displaystyle{-\frac{3}{2}=-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\leq ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2=3}$ ,

οπότε η μέγιστη τιμή είναι 3 που λαμβάνεται, π.χ., για a=b=c=1

και η ελάχιστη η $-\frac{3}{2}$ που λαμβάνεται, π.χ.

για $a=-\sqrt{2}$ , $b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ,

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Ολίγον πονηρούλα!

'Εχω:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} a\beta \le \frac{{a^2 + \beta ^2 }}{2} \\ \beta \gamma \le \frac{{\beta ^2 + \gamma ^2 }}{2} \\ \gamma a \le \frac{{\gamma ^2 + a^2 }}{2} \\ \end{array} }$

Με πρόσθεση κατά μέλη:

$\displaystyle{ a\beta + \beta \gamma + \gamma a \le 3 }$

με την ισότητα να ισχύει για α=β=γ=1.

Συνεπώς η μέγιστη τιμή είναι 3.

Επίσης:

$\displaystyle{ a\beta + \beta \gamma + \gamma a = \frac{{(a + \beta + \gamma )^2 - (a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 )}}{2} = \frac{{(a + \beta + \gamma )^2 - 3}}{2} }$

Όμως:

$\displaystyle{ (a + \beta + \gamma )^2 \ge 0,\forall a,\beta ,\gamma \in R }$

Αρα η ελάχιστη τιμή είναι: -3/2

και λαμβάνεται π.χ για $\displaystyle{ (a,\beta ,\gamma ) = (\frac{1}{{\sqrt 2 }}, - \sqrt 2 ,\frac{1}{{\sqrt 2 }}) }$

Mεγιστη.....

Mεγιστη.....

Re: Mεγιστη.....

Re: Mεγιστη.....

Μέλη σε σύνδεση