Μελέτη τριωνύμου

#1

Για την περίοδο που θα διδάσκουμε τη μελέτη τριωνύμου, έχω συναντήσει σε ένα διαγωνισμό το εξής ωραίο θέμα που σίγουρα θα εγείρει το ενδιαφέρον των μαθητών.

ΑΣΚΗΣΗ

Ένα τμήμα έχει 20 μαθητές, αγόρια και κορίτσια. Για τη μέρα του Αγίου Βαλεντίνου αποφασίστηκε το εξής :
Κάθε αγόρι θα δώσει σε κάθε κορίτσι 3 λουλούδια αλλά και σε κάθε αγόρι 1 λουλούδι. Επίσης, κάθε κορίτσι θα δώσει σε κάθε αγόρι 3 λουλούδια αλλά και σε κάθε κορίτσι 1 λουλούδι.
α) Να αποδείξετε ότι για αυτή την εκδήλωση θα χρειαστούν το πολύ 780 λουλούδια.
β) Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια θα πρέπει να έχει το τμήμα αυτό, ώστε να χρειαστούν ακριβώς 780 λουλούδια ;
γ) Πόσα λουλούδια θα πρέπει να έχει μαζί του το κάθε παιδί , αν χρειαστούν συνολικά 780 λουλούδια ;

Μπάμπης

Σημείωση :

Επειδή εμείς αυτόν το καιρό στο παράρτημα είμαστε στην αναζήτηση χορηγών για το συνέδριο της ΕΜΕ αλλά κανένας δεν είναι πρόθυμος να βοηθήσει(!!!), λέω να γίνει το mathematica χορηγός των λουλουδιών για το πάρτυ των παιδιών, αυτού του εικοσαμελούς τμήματος !

Eukleidis · #2

Με κάθε επιφύλαξη.

Αν χ είναι τα αγόρια τότε 20-χ είναι τα κορίτσια.

Για τα αγόρια:

Θα δώσει κάθε αγόρι 3(20-χ) λουλούδια στα κορίτσια αρα όλα τα αγόρια θα δώσουν 3x(20-χ) λουλούδια όλοι
Επίσης θα δώσει κάθε αγόρια χ-1 λουλουδια στα υπολοιπα αγόρια αρα x(χ-1) λουλουδια όλοι.

Για τα κορίτσια

Θα δώσουν 3χ(20-χ) λουλουδια στα αγόρια και (20-χ)(19-χ) στα κορίτσια.

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{3\left( {20 - x} \right) + x\left( {x - 1} \right) + 3x\left( {20 - x} \right) + \left( {20 - x} \right)\left( {19 - x} \right) \leqslant 780 \Leftarrow ... \Leftarrow {x^2} - 20x + 100 \geqslant 0}$ που είναι τέλειο τετράγωνο. αρα ισχυει

780 λουλούδια έχουμε αν είναι 10 τα αγορια και 10 τα κορίτσια με 39 λουλουδια ο καθένας

Stavroulitsa · #3

Καλησπέρα! Θα βάλω και τη δικιά μου λύση, αν και είμαι πάλι... αργοπορημένη...

Έστω κ είναι τα κορίτσια, α είναι τα αγόρια και F είναι τα λουλούδια, τότε έχουμε:
α+κ=20
F_a=3ak+a(a-1)

προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε:
$F_a+F_k=6ak+a(a-1)+k(k-1)\Leftrightarrow F=6ak+a^2+k^2-(a+k)\Leftrightarrow F=6ak+(a+k)^2-2ak-(a+k)\Leftrightarrow F=4ak+380$
(έχοντας υπ' όψιν πως α+κ=20)

Μετα έχω 2 λύσεις
α τρόπος
α+κ=20 και ισχύει $\frac{a+k}{2}\geq \sqrt{ak}$ άρα το ακ παίρνει την μέγιστη τιμή όταν $\frac{a+k}{2}= \sqrt{ak}\Leftrightarrow 10=\sqrt{ak}\Leftrightarrow ak=100$
άρα $F_{max}=4\cdot 100+380=780$

β τρόπος
έχουμε κ=20-α, άρα $F=4a(20-a)+380\Leftrightarrow F=-4a^2+80a+380$ , το τριώνυμο έχει διακρίνουσα μεγαλύτερη του 0 και ο συντελεστής του α είναι -4<0, άρα το τριώνυμο εμφανίζει μέγιστο στο $\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-(80^2+4\cdot 4\cdot 380)}{-4\cdot 4}=\frac{12480}{16}=780$ .

Stavroulitsa · #4

Για το β ερώτημα της άσκησης από το προηγούμενο η απάντηση είναι 10 αγόρια και 10 κορίτσια, δηλαδή βρίσκοντας τις ρίζες της εξίσωσης $F_{max}=-4a^2+80a+380\Leftrightarrow -4a^2+80a-400=0$ και Δ=0, άρα έχει μια διπλή ρίζα α=10.
Στο γ ερώτημα, αφού τα παιδιά είναι 20 και τα λουλούδια 780, θα έχει το καθένα θα έχει 39 λουλούδια.

Μελέτη τριωνύμου

Μελέτη τριωνύμου

Re: Μελέτη τριωνύμου

Re: Μελέτη τριωνύμου

Re: Μελέτη τριωνύμου

Μέλη σε σύνδεση