Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές

[s.kap]

Αν είναι ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού , με ακέραιους συντελεστές και πραγματικές μη ακέραιες ρίζες, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες του ώστε

[Demetres]

Πιο ισχυρό: Αν ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές και πραγματικές ρίζες εκ των οποίων τουλάχιστον 1 δεν είναι ακέραια, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο ρίζες του με .

[s.kap]

Πιο ισχυρό: Αν ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές και πραγματικές ρίζες εκ των οποίων τουλάχιστον 1 δεν είναι ακέραια, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο ρίζες του με .

Φαίνεται πως ξεχάστηκε, ας επιχειρήσω μία λύση ξεκινώντας από το ασθενέστερο:

Με απάγωγή σε άτοπο:

Ας πούμε ότι οι ρίζες είναι .

Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα

1) Στο διάστημα υπάρχει μοναδικός ακέραιος ή

2) Για κάποιον ακέραιο ισχύει

Σε κάθε περίπτωση , άρα

και , άτοπο.

Ας δούμε τώρα το πρόβλημα με τις ασθενέστερες υποθέσεις

Αν το πολυώνυμο έχει μη άκεραια λύση, αυτή θα πρέπει να είναι άρρητος αριθμός, συνεπώς θα πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο

άρρητες ρίζες.

Έστω πως για δύο οποιεσδήποτε ρίζες του πολυωνύμου ισχύει , τότε υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα:

1) Για κάποιον ακέραιο ισχύει , τότε εργαζόμενοι όπως πιο πάνω καταλήγουμε σε άτοπο.

2) Για κάποιον ακέραιο ισχύει

Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως πιο πάνω για το πολυώνυμο και καταλήγουμε σε άτοπο.

3) Για κάποιον ακέραιο ισχύει .

Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως πιο πάνω για το πολυώνυμο και καταλήγουμε σε άτοπο.

Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη

Φιλικά

[Demetres]

Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε το δεύτερο ερώτημα χρησιμοποιώντας το πρώτο.

Έστω οι ακέραιες ρίζες του . Τότε το πολυώνυμο είναι μονικό, βαθμού με πραγματικές μη ακέραιες ρίζες. Άρα έχει τουλάχιστον δυο ρίζες με . Αλλά τα είναι και ρίζες του άρα τελειώσαμε.