Άρτιο πολυώνυμο!
Συντονιστής: nsmavrogiannis
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Άρτιο πολυώνυμο!
Ας είναι ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το
Να αποδείξετε ότι, αν το είναι άρτια συνάρτηση, τότε υπάρχει πολυώνυμο , ώστε να ισχύει
, για κάθε
Να αποδείξετε ότι, αν το είναι άρτια συνάρτηση, τότε υπάρχει πολυώνυμο , ώστε να ισχύει
, για κάθε
Μάγκος Θάνος
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Άρτιο πολυώνυμο!
Αν το είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε το συμπέρασμα ισχύει προφανώς, παίρνοντας .
'Εστω τώρα ότι το μη μηδενικό πολυώνυμο είναι άρτια συνάρτηση. Θα αποδείξουμε με επαγωγή στον αριθμό των μη μηδενικών ριζών του πολυωνύμου ότι υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε για κάθε
Έστω ότι Τότε, υπάρχει με τέτοιο, ώστε για κάθε
Εφόσον το είναι άρτια συνάρτηση, θα είναι για κάποιο θετικό ακέραιο Θέτουμε , όπου ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση . Τότε θα είναι
και το συμπέρασμα ισχύει.
Υποθέτουμε τώρα ότι το συμπέρασμα ισχύει για όλα τα μη μηδενικά άρτια πολυώνυμα που έχουν αριθμό μη μηδενικών ριζών μικρότερο του . Θεωρούμε ένα άρτιο πολυώνυμο με ακριβώς μη μηδενικές ρίζες και έστω μια από αυτές. Τότε, θα είναι , οπότε θα υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε .
Το πολυώνυμο είναι επίσης άρτια συνάρτηση, γιατί
Από την επαγωγική υπόθεση, θα υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε για κάθε
Θέτουμε τώρα , οπότε
και το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά.
'Εστω τώρα ότι το μη μηδενικό πολυώνυμο είναι άρτια συνάρτηση. Θα αποδείξουμε με επαγωγή στον αριθμό των μη μηδενικών ριζών του πολυωνύμου ότι υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε για κάθε
Έστω ότι Τότε, υπάρχει με τέτοιο, ώστε για κάθε
Εφόσον το είναι άρτια συνάρτηση, θα είναι για κάποιο θετικό ακέραιο Θέτουμε , όπου ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση . Τότε θα είναι
και το συμπέρασμα ισχύει.
Υποθέτουμε τώρα ότι το συμπέρασμα ισχύει για όλα τα μη μηδενικά άρτια πολυώνυμα που έχουν αριθμό μη μηδενικών ριζών μικρότερο του . Θεωρούμε ένα άρτιο πολυώνυμο με ακριβώς μη μηδενικές ρίζες και έστω μια από αυτές. Τότε, θα είναι , οπότε θα υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε .
Το πολυώνυμο είναι επίσης άρτια συνάρτηση, γιατί
Από την επαγωγική υπόθεση, θα υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε για κάθε
Θέτουμε τώρα , οπότε
και το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Άρτιο πολυώνυμο!
Με την ιδέα του Βαγγέλη μπορούμε να δώσουμε κατασκευαστική απόδειξη.
Εχουμε
αν
τότε
Εχουμε
αν
τότε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες