Άρτιο πολυώνυμο!

#1

Ας είναι $\displaystyle{P(x)}$ ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το $\displaystyle{\mathbb{C}.}$
Να αποδείξετε ότι, αν το $\displaystyle{P(x)}$ είναι άρτια συνάρτηση, τότε υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)}$ , ώστε να ισχύει

$\displaystyle{P(x)=Q(x)Q(-x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{C}.}$

#2

Αν το $\displaystyle{P\left( x \right)}$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε το συμπέρασμα ισχύει προφανώς, παίρνοντας $\displaystyle{Q\left( x \right) \equiv 0}$ .

'Εστω τώρα ότι το μη μηδενικό πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( x \right)}$ είναι άρτια συνάρτηση. Θα αποδείξουμε με επαγωγή στον αριθμό $\displaystyle{m}$ των μη μηδενικών ριζών του πολυωνύμου $\displaystyle{P\left( x \right)}$ ότι υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{Q\left( x \right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{P\left( x \right) = Q\left( x \right) \cdot Q\left( { - x} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{C}}.$

Έστω ότι $\displaystyle{m = 0.}$ Τότε, υπάρχει $\displaystyle{a \in \mathbb{C}}$ με $\displaystyle{a \ne 0}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{P\left( x \right) = a{x^n}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{C}}.$
Εφόσον το $\displaystyle{P\left( x \right)}$ είναι άρτια συνάρτηση, θα είναι $\displaystyle{n = 2k}$ για κάποιο θετικό ακέραιο $\displaystyle{k.}$ Θέτουμε $\displaystyle{Q\left( x \right) = b{x^k}}$ , όπου ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{b}$ ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{{b^2} = {\left( { - 1} \right)^k}a}$ . Τότε θα είναι
$\displaystyle{Q\left( x \right) \cdot Q\left( { - x} \right) = b{x^k} \cdot b{\left( { - x} \right)^k} = a{x^n} = P\left( x \right)}$ και το συμπέρασμα ισχύει.

Υποθέτουμε τώρα ότι το συμπέρασμα ισχύει για όλα τα μη μηδενικά άρτια πολυώνυμα που έχουν αριθμό μη μηδενικών ριζών μικρότερο του $\displaystyle{m}$ . Θεωρούμε ένα άρτιο πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( x \right)}$ με ακριβώς $\displaystyle{m}$ μη μηδενικές ρίζες και έστω $\displaystyle{{x_0}}$ μια από αυτές. Τότε, θα είναι $\displaystyle{P\left( {{x_0}} \right) = 0 = P\left( { - {x_0}} \right)}$ , οπότε θα υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{R\left( x \right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{P\left( x \right) = \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)R\left( x \right)}$ .

Το πολυώνυμο $\displaystyle{R\left( x \right)}$ είναι επίσης άρτια συνάρτηση, γιατί $\displaystyle{R\left( x \right)\left( {{x^2} - x_0^2} \right) = P\left( x \right) = P\left( { - x} \right) = R\left( { - x} \right)\left( {{{\left( { - x} \right)}^2} - x_0^2} \right) = R\left( { - x} \right)\left( {{x^2} - x_0^2} \right)}.$

Από την επαγωγική υπόθεση, θα υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{U\left( x \right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{R\left( x \right) = U\left( x \right) \cdot U\left( { - x} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{C}}.$

Θέτουμε τώρα $\displaystyle{Q\left( x \right) = i\left( {x - {x_0}} \right)U\left( x \right)}$ , οπότε

$\displaystyle{P\left( x \right) = i\left( {x - {x_0}} \right)U\left( x \right) \cdot i\left( { - x - {x_0}} \right)U\left( { - x} \right) = Q\left( x \right) \cdot Q\left( { - x} \right)}$

και το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Με την ιδέα του Βαγγέλη μπορούμε να δώσουμε κατασκευαστική απόδειξη.

Εχουμε $P(x)=a(x^{2}-r_{1}^{2})(x^{2}-r_{2}^{2}).....(x^{2}-r_{n}^{2})$

αν $b\in \mathbb{C},b^{2}=a$

τότε $Q(x)=ib(x-r_{1})(x-r_{2}).....(x-r_{n})$

Άρτιο πολυώνυμο!

Άρτιο πολυώνυμο!

Re: Άρτιο πολυώνυμο!

Re: Άρτιο πολυώνυμο!

Μέλη σε σύνδεση