Άρρητος

#1

Εαν α πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε $\displaystyle{ \cos (a\pi ) = \frac{1}{3} }$ τότε να αποδείξετε πως το α είναι άρρητος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο

ισχύει ότι $\displaystyle{ \cos(n a\pi ) = \frac{m_n}{3^n}}$ όπου m_n

ακέραιος που δεν διαιρείται με το 3.

#3

Θα αποδείξουμε το εξής γενικότερο αποτέλεσμα:

Για κάθε περιττό ακέραιο $\displaystyle{n \ge 3}$ , ο αριθμός $\displaystyle{{a_n} = \frac{1}{\pi }\arccos \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}$ είναι άρρητος.

(Το αρχικό πρόβλημα είναι η ειδική περίπτωση $\displaystyle{n = 9}$ ).

Θέτουμε $\displaystyle{{b_n} = \pi {a_n} = \arccos \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right) \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).}$

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι για κάθε μη αρνητικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ ισχύει

$\displaystyle{\cos \left( {k{b_n}} \right) = \frac{{{m_k}}}{{\sqrt {{n^k}} }},}$

όπου $\displaystyle{{m_k}}$ είναι ένας ακέραιος που δε διαιρείται με τον $\displaystyle{n}$ .

Πράγματι, για $\displaystyle{k \in \left\{ {0,1} \right\}}$ είναι $\displaystyle{{m_0} = {m_1} = 1.}$ Για $\displaystyle{k \ge 1}$ έχουμε:

$\displaystyle{\cos \left[ {\left( {k + 1} \right){b_n}} \right] = 2\cos {b_n} \cdot \cos \left( {k{b_n}} \right) - \cos \left[ {\left( {k - 1} \right){b_n}} \right] }$

$\displaystyle{ = \frac{2}{{\sqrt n }}\frac{{{m_k}}}{{\sqrt {{n^k}} }} - \frac{{{m_{k - 1}}}}{{\sqrt {{n^{k - 1}}} }} = \frac{{2{m_k} - n{m_{k - 1}}}}{{\sqrt {{n^{k + 1}}} }}.}$

Βρίσκουμε, λοιπόν, ότι $\displaystyle{{m_{k + 1}} = 2{m_k} - n{m_{k - 1}}.}$ Αφού ο $\displaystyle{n \ge 3}$ είναι περιττός και ο $\displaystyle{{m_k}}$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{n}$ , από την παραπάνω αναδρομική σχέση έπεται ότι και ο $\displaystyle{{m_{k + 1}}}$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{n}$ .

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο αριθμός $\displaystyle{{a_n} = \frac{{{b_n}}}{\pi }}$ είναι ρητός, με $\displaystyle{{a_n} = \frac{r}{s}}$ , όπου οι $\displaystyle{r,s}$ είναι θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{s \ge 2}$ .
Τότε, θα είναι $\displaystyle{s{b_n} = r\pi }$ , οπότε

$\displaystyle{\cos \left( {s{b_n}} \right) = \cos \left( {r\pi } \right) \in \left\{ { - 1,1} \right\}.}$

Είναι όμως

$\displaystyle{\cos \left( {s{b_n}} \right) = \frac{{{m_s}}}{{\sqrt {{n^s}} }},}$

οπότε ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt {{n^s}} = \pm {m_s}}$ είναι θετικός ακέραιος και μάλιστα πολλαπλάσιο του $\displaystyle{n}$ , αφού $\displaystyle{s \ge 2}$ . Έτσι, ο $\displaystyle{{m_s}}$ θα είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{n}$ , πράγμα άτοπο.

#4

chris_gatos έγραψε:Εαν α πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε $\displaystyle{\cos (a\pi ) = \frac{1}{3} }$ τότε να αποδείξετε πως το α είναι άρρητος.

Ας υποθέσουμε ότι ο

είναι ρητός. Τότε για κάποιο κατάλληλο

θα είναι $na\pi=2k\pi$ . Αυτό σημαίνει ότι ο $w=\cos a\pi+i\sin a\pi$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $z^{n}-1$ και επομένως κάποιου κυκλοτομικού πολυωνύμου άρα είναι αλγεβρικός ακέραιος. Από την άλλη μεριά το ελάχιστο πολυώνυμο του

είναι το $z^{2}-\frac{2}{3}z+1$ που δεν έχει ακέραιους συντελεστές και επομένως ο

δεν είναι αλγεβρικός ακέραιος.
Μαυρογιάννης

Άρρητος

Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Μέλη σε σύνδεση