Τριγωνομετρική-πολυωνυμική

Γιώργος Απόκης · #1

α) Να αποδείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{\epsilon \phi 3a=\frac{3\epsilon \phi a-\epsilon \phi ^3a}{1-3\epsilon \phi ^2a}}$ (για τις τιμές του α που ορίζονται οι παραστάσεις).

β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης $\sqrt{3}x^3-3x^2-3\sqrt{3}x+1=0$ είναι οι αριθμοί

$x_1=\epsilon \phi 10^o,x_2=\epsilon \phi 70^o,x_3=\epsilon \phi 130^o$ .

#2

Το πρώτο είναι τετριμμένο:

$\displaystyle{\tan 3a=\tan (2a+a)=\frac{\tan 2a+\tan a}{1-\tan 2a \tan a}=\frac{\frac{2\tan a}{1-\tan ^{2}a}+\tan a}{1-\frac{2\tan a}{1-\tan ^{2}a} \tan a} =\frac{3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}$

β) Η εξίσωση γράφεται ως

$\displaystyle{\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ , αφού προφανώς οι $\displaystyle{\pm \frac{1}{\sqrt{3}}}$ δεν είναι ρίζες τις εξίσωσης, οπότε, αν θέσουμε $\displaystyle{x=\tan y,}$ η εξίσωση γράφεται ως

$\displaystyle{\tan 3y=\tan 30.}$ Αυτή ικανοποιείται προφανώς όταν $\displaystyle{y=10^0,70^0,130^0}$ , άρα η αρχική έχει ρίζες τους (φανερά διαφορετικούς ανά δύο) αριθμούς $\displaystyle{\tan 10^0,\tan 70^0,\tan 130^0}$ και επειδή είναι πολυωνυμική 3ου βαθμού, αυτές είναι και οι μόνες ρίζες!

parmenides51 · #3

κι εδώ

Τριγωνομετρική-πολυωνυμική

Τριγωνομετρική-πολυωνυμική

Re: Τριγωνομετρική-πολυωνυμική

Re: Τριγωνομετρική-πολυωνυμική

Μέλη σε σύνδεση