Ρητός αριθμός

Γιώργος Απόκης · #1

Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του φυσικού n>1

ώστε ο αριθμός $a=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ να είναι ρητός.

#2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του φυσικού ώστε ο αριθμός $a=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ να είναι ρητός.

Υποθέτουμε ότι ο αριθμός $a=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ είναι ρητός για κάποιον φυσικό n>1.

Τότε και ο $a^2=2n+2\sqrt{n^2-1}$ θα είναι ρητός.
Από το παραπάνω συμπεραίνουμε επίσης ότι ο $\sqrt{n^2-1}$ είναι ρητός (και αφού

φυσικός θα είναι φυσικός), το οποίο όμως είναι άτοπο αφού για κάθε n>1

.

Άρα, για κάθε n>1

ο αριθμός $a=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ είναι άρρητος.

Νίκος Κατσίπης

#3

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του φυσικού ώστε ο αριθμός $a=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ να είναι ρητός.

Αλλιώς (για να υπάρχει): Αν ήταν ρητός ο $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ (*), θα ήταν ρητός και ο $\displaystyle \frac {2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}= \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}$ (**). Προσθέτοντας και αφαιρόντας τους (*) και (**), συμπεραίνουμε ότι θα ήσαν ρητοί οι $\displaystyle \sqrt{n+1}$ και $\displaystyle \sqrt{n-1}$ . Έπεται ότι οι $n-1, \, n+1$ θα ήσαν τέλεια τετράγωνα. Όμως αυτό είναι άτοπο γιατί οι αριθμοί αυτοί διαφέρουν κατά

ενώ οποιαδήποτε δύο (διαφορετικά και $\ge 1$ ) τέλεια τετράγωνα διαφέρουν τουλάχιστον κατά $(m+1)^2-m^2= 2m+1 \ge 3$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Ρητός αριθμός

Ρητός αριθμός

Re: Ρητός αριθμός

Re: Ρητός αριθμός

Μέλη σε σύνδεση