Απο διακοπές στην Σάμο

#1

Έστω $f:Z\rightarrow R, f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n) \forall m,n \in Z$
1.Αν f(0)=0

να δειχθεί οτι $f(m)=0 \forall m \in Z$
2.Αν $f(0)\ne 0, f(1)=x\in R$ τότε το f(n)=P_n(x)

όπου τα

είναι πολυώνυμα του x
3.Να βρείτε τον βαθμό, τον μεγιστοβάθμιο και σταθερό όρο των P_n(x)

4.Να υπολογίσετε τους αριθμούς P_n(0)

,

,συναρτήσει του

5.Αν $P_1(x)=x\in Z$ τότε $P_n(x)\in Z$ , ενώ αν $P_n(x),P_m(x)\jn Z$ είναι υποχρεωτικό να ισχύει $P_1(x)\in Z$ ?
Μετά από παρέμβαση του Αναστάση εννοούσα ότι το Σύνολο Αφιξης της f είναι το σύνολο συναρτήσεων από το R στο R

#2

1.Για $m=n=0\Rightarrow f^2(0)=2f(0)\Rightarrow$ αρα f(0)=0

ή

αν

τὀτε
για m=1,n=0

παίρνουμε

για

παίρνουμε

για

παίρνουμε

Συνεχίζοντας έτσι δείχνουμε ότι $f(m)=0 , \forall m\in N$ [1]
Για $m=0 \Rightarrow f(n)=-f(-n)$ άρα η [1] ισχύει σε όλο το Ζ
2. Αν $f(0)\ne 0\Rightarrow f(0)=2=P_0(x),f(1)=x=P_1(x)$ και έστω $f(m-1)=P_{m-1}(x),f(m)=P_m(x)$
τότε για n=1

στην αρχικά δοσμένη σχέση έχουμε $f(m)=xP_m(x)-P_{m-1}(x)$ [2]
Επαγωγικά τώρα με χρήση της [2] προκύπτει το ζητούμενο $\forall n\in N$
3.Επειδή τα πολυώνυμα προκύπτουν από την $P_{m+1}(x)=xP_m(x)-P_{m-1}(x),P_0(x)=2,P_1(x)=x$ [3] παρατηρούμε ότι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής δεν αλλάζει μετά το πρώτο άρα είναι ίσος με 1
Ακόμη έχουμε ότι μπορούμε πάντα να θέσουμε $\displaystyle x=z+\frac{1}{z}$ [4] αν $x\in R ,z\in C$ οπότε πάλι επαγωγικά βάσει της [3] μπορούμε να δείξουμε ότι
$\displaystyle P_n(x)=z^n+\frac{1}{z^n}$ [5] όταν ισχύει η [4]
Για τον σταθερό ὀρο θέτουμε x=0 στην [3] και παίρνουμε $P_{m+1}(0)=-P_{m-1}(0),P_0(0)=2,P_1(0)=0$ αρα εναλλάξ οι σταθεροί όροι είναι για άρτιους δείκτες 2,-2 και για περιττούς το 0
4.το P_n(0)

είναι ο σταθερός όρος
Για $x=1 \Rightarrow z+\frac{1}{z}=1 \Rightarrow z^3=-1$ οπότε απ΄την 5 είναι
$P_{3n}(1)=-2,P_{3n+1}(1)=1,P_{3n+2}(1)=-1,$
με αντίστοιχο τρόπο είναι
$P_{3n}(-1)=2,P_{3n+1}(-1)=-1,P_{3n+2}(-1)=1,$
Για $x=2 \Rightarrow z+\frac{1}{z}=2 \Rightarrow z=1\Rightarrow P_n(2)=2$
Για $x=-2 \Rightarrow z+\frac{1}{z}=-2 \Rightarrow z=-1\Rightarrow P_n(-2)=2(-1)^n$
5. Επαγωγικά από την [3] προκύπτει πολύ εύκολα το α ζητούμενο
Αν πχ m=5,n=10 και z^5=1

τότε $P_5(x)=2,P_{10}(x)=2,P_1(x)=2cos(2\pi )/5\ne Z$

Απο διακοπές στην Σάμο

Απο διακοπές στην Σάμο

Re: Απο διακοπές στην Σάμο

Μέλη σε σύνδεση