5 έτη mathematica

Ιστοσελίδα · #1

Μία από τις αγαπημένες μου όταν ήμουν φοιτητής (σίγουρα έχουμε ξαναδεί μέρος της):

Έστω το σύνολο των μετασχηματισμών $f(x) = \frac{ax + b}{cx+d},\ a,b,c,d\ \in \mathbb{Q},\ \ ad-bc\neq 0$
Ορίζουμε την πράξη δύο μετασχηματισμών του παραπάνω συνόλου ως εξής :
αν $g(x) = \frac{a'x + b'}{c'x+d'},\ a',b',c',d'\ \in \mathbb{Q},\ \ a'd'-b'c'\neq 0$
τότε: $f(x) \star g(x) = \frac{(aa' + bc')x + (ab' + bd')}{(ca' + c'd)x + (cb' + dd')}$

α) Να αποδειχθεί ότι η $(G, \star)$ αποτελεί ομάδα.
β)Αν επιπλέον για κάθε μετασχηματισμό ισχύει: $ad-cb = 1,\ x \in \mathbb{Z}$ , τότε η ομάδα του προηγούμενου ερωτήματος είναι ελεύθερο γινόμενο μίας κυκλικής ομάδας τάξης

και μίας κυκλικής ομάδας τάξης

.

Christos.N · #2

Ξεκινάω το α) ερώτημα γιατί στο β) θέλω λάδωμα.

polysot έγραψε:Μία από τις αγαπημένες μου όταν ήμουν φοιτητής (σίγουρα έχουμε ξαναδεί μέρος της):

Έστω το σύνολο των μετασχηματισμών $f(x) = \frac{ax + b}{cx+d},\ a,b,c,d\ \in \mathbb{Q},\ \ ad-bc\neq 0$
Ορίζουμε την πράξη δύο μετασχηματισμών του παραπάνω συνόλου ως εξής :
αν $g(x) = \frac{a'x + b'}{c'x+d'},\ a',b',c',d'\ \in \mathbb{Q},\ \ a'd'-b'c'\neq 0$
τότε: $f(x) \star g(x) = \frac{(aa' + bc')x + (ab' + bd')}{(ca' + c'd)x + (cb' + dd')}$

α) Να αποδειχθεί ότι η $(G, \star)$ αποτελεί ομάδα.
.

Παρατήρηση,

έστω $\displaystyle{ A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right],\,B = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {a'} & {b'} \\ {c'} & {d'} \\ \end{array}} \right] }$

τότε $\displaystyle{ A \cdot B = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {aa' + bc'} & {ab' + bd'} \\ {ca' + dc'} & {cb' + dd'} \\ \end{array}} \right] }$

Άρα για την πράξη $f(x) \star g(x) = \frac{(aa' + bc')x + (ab' + bd')}{(ca' + c'd)x + (cb' + dd')}$ παρατηρούμε ότι οι συντελεστές προκύπτουν από τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα.

Θα δείξουμε ότι η $(G, \star)$ αποτελεί ομάδα.

Η πράξη είναι κλειστή στο σύνολο, καθώς $\displaystyle{ aa' + bc',ab' + bd',ca' + dc',cb' + dd' \in Q }$

Η πράξη είναι προσεταιριστική, πράγματι $(f(x) \star g(x) ) \star h(x)=f(x) \star (g(x) \star h(x))$

γιατί η πράξη $\displaystyle{\left( {A \cdot B} \right) \cdot C = A \cdot \left( {B \cdot C} \right)}$ είναι προσεταιριστική στους $\displaystyle{M_2 }$

και τα στοιχεία των συντελεστών όπως είδαμε προκύπτουν από τα στοιχεία της $\displaystyle{a_{ij} }$ των πινάκων.

Η πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο , θεωρούμε τον πίνακα $\displaystyle{ I = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right] }$
και τον αντίστοιχο μετασχηματισμό, $\displaystyle{e(x) = x}$

Η πράξη έχει αντίστροφο για κάθε $\displaystyle{ f }$

αρκεί να θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό με συντελεστές τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα.

$\displaystyle{ \det A = ad - bc \ne 0 \Rightarrow A^{ - 1} = \frac{1}{{D_A }}AdjA = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{d}{{ad - bc}}} & { - \frac{b}{{ad - bc}}} \\ { - \frac{c}{{ad - bc}}} & {\frac{a}{{ad - bc}}} \\ \end{array}} \right] }$

και ο αντίστοιχος μετασχηματισμός είναι:

$\displaystyle{ f^{ - 1} (x) = \frac{{\frac{d}{{ad - bc}}x - \frac{b}{{ad - bc}}}}{{ - \frac{c}{{ad - bc}}x + \frac{a}{{ad - bc}}}} }$

5 έτη mathematica

5 έτη mathematica

Re: 5 έτη mathematica

Μέλη σε σύνδεση