Κλασική Τριγωνομετρία

#1

Για τους συναδέλφους που έχουν μπροστά τους το ΑΣΕΠ, προτείνω την εξής άσκηση που καλύπτει ένα βασικό κομάτι των μετασχηματισμών :

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι :

$\tan 84 \cdot \tan24 - \tan 48 \cdot \tan 12 = 4$

Μπάμπης

#2

Μία λύση, αλλά με πολλές κουραστικές πράξεις... Μάλλον θα υπάρχει κάτι πιο απλό.

$\displaystyle {\rm A} = \varepsilon \phi 84^\circ \cdot \varepsilon \phi 24^\circ - \varepsilon \phi 48^\circ \cdot \varepsilon \phi 12^\circ = \frac{{\eta \mu 84^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 84^\circ }} \cdot \frac{{\eta \mu 24^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 24^\circ }} - \frac{{\eta \mu 48^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 48^\circ }} \cdot \frac{{\eta \mu 12^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 12^\circ }} =$

$\displaystyle = \frac{{2\eta \mu 84^\circ \cdot \eta \mu 24^\circ }}{{2\sigma \upsilon \nu 84^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 24^\circ }} - \frac{{2\eta \mu 48^\circ \cdot \eta \mu 12^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 48^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 12^\circ }} = \frac{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ - \sigma \upsilon \nu 108^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ + \sigma \upsilon \nu 108^\circ }} - \frac{{\sigma \upsilon \nu 36^\circ - \sigma \upsilon \nu 60^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 36^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu + 60^\circ }}$

$\displaystyle = \frac{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ - \sigma \upsilon \nu 108^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ + \sigma \upsilon \nu 108^\circ }} - \frac{{\sigma \upsilon \nu 36^\circ - \sigma \upsilon \nu 60^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 36^\circ + \sigma \upsilon \nu 60^\circ }} = \frac{{1 - 2\sigma \upsilon \nu 108^\circ }}{{1 + 2\sigma \upsilon \nu 108^\circ }} - \frac{{2\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1}} =$

$\displaystyle = \frac{{1 + 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ }}{{1 - 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ }} - \frac{{2\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1}} = 2\frac{{1 + 4\sigma \upsilon \nu 36^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 72^\circ }}{{\left( {1 - 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ } \right)\left( {2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1} \right)}}.$

$\displaystyle = 2\frac{{1 + 2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 2\sigma \upsilon \nu 108^\circ }}{{\left( {1 - 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ } \right)\left( {2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1} \right)}} = 2\frac{{1 + 2\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ }}{{\left( {1 - 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ } \right)\left( {2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1} \right)}} =$

Είναι: $\displaystyle 1 + 2\left( {\sigma \upsilon \nu 36^\circ - \sigma \upsilon \nu 72^\circ } \right) = 1 + 4\eta \mu 18^\circ \cdot \eta \mu 54^\circ = 1 + 4\frac{{\sqrt 5 - 1}}{4} \cdot \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} = 2$

Είναι: $\displaystyle \left( {1 - 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ } \right)\left( {2\sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1} \right) = 2\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 4\sigma \upsilon \nu 72^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 36^\circ + 1 - \sigma \upsilon \nu 72^\circ =$

$\displaystyle 2\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 2\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 2\sigma \upsilon \nu 108^\circ + 1 - \sigma \upsilon \nu 72^\circ = 1$

Άρα Α = 4.

Γιώργος Ρίζος

Κλασική Τριγωνομετρία

Κλασική Τριγωνομετρία

Re: Κλασική Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση