Κατανόηση της επαγωγής!

[matha]

Αν και η επαγωγή πλέον δε διδάσκεται στα σχολεία, ας δούμε ένα κλασικό παράδοξο. Νομίζω δεν έχει συζητηθεί ξανά στο .

Θεώρημα:

Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

Απόδειξη:

Η απόδειξη θα γίνει επαγωγικά.

Αποδεικνύουμε τον ισχυρισμό για Αν έχουμε μόνο ένα άλογο, προφανώς όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

Θεωρούμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει για άλογα και θα αποδείξουμε ότι ισχύει για άλογα.

Από τα άλογα που θεωρούμε, κρατάμε στην άκρη το (ας το πούμε) τελευταίο και κοιτάμε τα πρώτα άλογα. Λόγω της επαγωγικής υπόθεσης αυτά έχουν το ίδιο χρώμα.

Από τα άλογα που θεωρούμε, κρατάμε στην άκρη το (ας το πούμε) πρώτο και κοιτάμε τα τελευταία άλογα. Λόγω της επαγωγικής υπόθεσης και αυτά έχουν το ίδιο χρώμα.

Άρα και τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Το επαγωγικό βήμα αποδείχθηκε.

Επομένως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα!




Πού βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;

[Αντώνης Πάπαρης]

Το λάθος βρίσκεται στο πρώτο βήμα. Θα πρέπει να αποδειχθεί για και όχι για

[air]

Το επαγωγικό επιχείρημα στηρίζεται στο γεγονός ότι άμα έχουμε δύο σύνολα με αντικείμενα, ώστε , τότε . Αυτό το επιχείρημα όμως ισχύει για και όχι για . Κατ'επέκταση δεν ισχύει το επαγωγικό βήμα και άρα δε μπορούμε να συνεχίσουμε με την επαγωγή.

[Αρχιμήδης 6]

Το λάθος βρίσκεται στο πρώτο βήμα. Θα πρέπει να αποδειχθεί για n=2 και όχι για n=1

Δηλαδή αν είχες μόνο ένα άλογο δεν πρέπει να ερευνήσεις αν αυτό ισχύει?

[polysot]

Προφανώς στην "απόδειξη " της ιδιότητας που κάνεις δεν ισχύει το βασικό αξίωμα των φυσικών ότι κάθεφυσικός αριθμός έχει επόμενο. Δηλαδή η ιδιότητα που εξετάζεις και όπως κάνεις την απόδειξη ν->ν+1 έχει πρόβλημα.

[Μπάμπης Στεργίου]

Θάνο, έκανες πολύ καλά και το έθεσες .Είναι εξαιρετικό παράδειγμα. Ανάλογα ''αποδεικνύουμε '' ότι όλα τα κορίτσια έχουν πράσινα μάτια κλπ Δείτε και εδώ :

viewtopic.php?f=67&t=6943&p=39308&hilit ... %AE#p39308

Μερικές φορές νοιώθω τέλεια απογοήτευση, όταν σκέφτομαι ότι οι μαθητές μας τελειώνουν το Λύκειο, κάνουν χιλιάδες ασκήσεις στη συνάρτηση ολοκλήρωμα ή

στα υπαρξιακά θεωρήματα και δεν έχουν ακούσει ούτε μια λέξη για την επαγωγική μέθοδο !

Το πρόγραμμα σπουδών θέλει σημαντικές παρεμβάσεις και συμπηρώσεις.

Καλή συνέχεια στις διακοπές σας !