Γεωμετρικός τόπος

#1

Αν $z\in\mathbb{C}$ με |z-1|=1

, ας βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $z^{2}$ .

#2

Έστω $\displaystyle{\mathbf{z=1+(cos(t)+i\cdot sin(t))}}$ με $\displaystyle{\mathbf{t\varepsilon [0,2\cdot \pi )}}$ . Τότε $\displaystyle{\mathbf{z=2\cdot cos(\frac{t}{2})\cdot (cos(\frac{t}{2})+i\cdot sin(\frac{t}{2}))}}$

Οπότε $\displaystyle{\mathbf{z^{2}=4\cdot cos^{2}(\frac{t}{2})\cdot (cos(t)+i\cdot sin(t))}}$ από όπου προκύπτει ότι ο γεωμετρικός τόπος να είναι η γραμμή με παραμετρικές συντεταγμένες
$\displaystyle{\mathbf{x=4\cdot cos^{2}(\frac{t}{2})\cdot cos(t))}}$ , $\displaystyle{\mathbf{y=4\cdot cos^{2}(\frac{t}{2})\cdot sin(t))}}$ με $\displaystyle{\mathbf{t\varepsilon [0,2\cdot \pi )}}$

Πρόκειται για μια καρδιοειδή καμπύλη ... (σχήμα θα δοθεί .. αργότερα)

ZITAVITA · #3

Από
${\bf{z}}^{\bf{2}} = {\bf{4}}\cdot{\bf{cos}}^{\bf{2}} (\frac{{\bf{t}}}{{\bf{2}}})\cdot({\bf{cos}}({\bf{t}}) + {\bf{i}}\cdot{\bf{sin}}({\bf{t}}))$
προκύπτει

$x^2 - y^2 = {\bf{4}}\cdot{\bf{cos}}^{\bf{2}} (\frac{{\bf{t}}}{{\bf{2}}})\cdot{\bf{cos}}({\bf{t}}))$
και
$xy = 2\cdot{\bf{cos}}^{\bf{2}} (\frac{{\bf{t}}}{{\bf{2}}})\cdot{\bf{sin}}({\bf{t}})$
Πώς πήγαμε εδώ
${\bf{x}} = {\bf{4}}\cdot{\bf{cos}}^{\bf{2}} (\frac{{\bf{t}}}{{\bf{2}}})\cdot{\bf{cos}}({\bf{t}})),{\bf{y}} = {\bf{4}}\cdot{\bf{cos}}^{\bf{2}} (\frac{{\bf{t}}}{{\bf{2}}})\cdot{\bf{sin}}({\bf{t}}))$ ;

#4

Γεια σας.
Καλή βδομάδα και καλό μήνα
Δίνω ένα σχήμα του τόπου όχι για εικονογράφηση αλλά για να πω πως έγινε:

: locusz.png (163.82 KiB) Προβλήθηκε 1510 φορές

Χρησιμοποιούμε την Geogebra.
1) Εισάγουμε τον τόπο του

δηλαδή τον κύκλο $\left( x-1\right) ^{2}+y^{2}=1$
2) Διαλέγουμε ένα σημείο στον κύκλο. Ας πούμε ότι η Geogebra το ονομάζει Α.
3) Στο παράθυρο Άλγεβρας κάνουμε δεξί κλικ στο A και μετά επιλέγουμε Ιδιότητες--->'Αλγεβρα--->Συντεταγμένες--->Μιγαδικός Αριθμός
4) Κατόπιν κάνουμε δεξί κλικ στο A και μετά επιλέγουμε
Μετονομασία--->

5) Στη συνέχεια στη γραμμή εντολών δίνουμε w=z^2. Θα εμφανισθεί ο μιγαδικός αριθμός w=z^2

στο παράθυρο της Γεωμετρίας.
6) Κατόπιν με το ποντίκι
Επιλέγουμε Γεωμετρικός Τόπος (στην 4η Εργαλειοθήκη)--->Δίνουμε αριστερό κλικ στο

--->Δίνουμε αριστερό κλικ στο

.
Θα εμφανισθεί ο τόπος.
Καλή Διασκέδαση
Μαυρογιάννης

#5

Αν (παραμετρικά) $\displaystyle{\mathbf{z=2\cdot cos(\frac{t}{2})\cdot (cos(\frac{t}{2})+i\cdot sin(\frac{t}{2}))}}$
τότε $\displaystyle{\mathbf{z^{2}=4\cdot cos^{2}(\frac{t}{2})\cdot (cos(t)+i\cdot sin(t))}}$

Οπότε αν θεωρήσουμε ως $\displaystyle{z^{2}=x+i\cdot y}$
τότε $\displaystyle{\mathbf{x=4\cdot cos^{2}(\frac{t}{2})\cdot cos(t))}}$ , $\displaystyle{\mathbf{y=4\cdot cos^{2}(\frac{t}{2})\cdot sin(t))}}$ με $\displaystyle{\mathbf{t\varepsilon [0,2\cdot \pi )}}$

Ενω έγραφα την απάντηση ο (πάντα εξαιρετικός φίλος) Νίκος έδωσε και το σχήμα ...

Edit : Επίσης με χρήση του προγράμματος Mathematica με την εντολή ParametricPlot μπορεί κανείς να πάρει το παραπάνω σχήμα εισάγοντας τις παραμετρικές συντεταγμένες .. και τους περιορισμούς ...

#6

nsmavrogiannis έγραψε:Γεια σας.
Καλή βδομάδα και καλό μήνα
Δίνω ένα σχήμα του τόπου όχι για εικονογράφηση αλλά για να πω πως έγινε:
locusz.png
Χρησιμοποιούμε την Geogebra.
1) Εισάγουμε τον τόπο του δηλαδή τον κύκλο $\left( x-1\right) ^{2}+y^{2}=1$
2) Διαλέγουμε ένα σημείο στον κύκλο. Ας πούμε ότι η Geogebra το ονομάζει Α.
3) Στο παράθυρο Άλγεβρας κάνουμε δεξί κλικ στο A και μετά επιλέγουμε Ιδιότητες--->'Αλγεβρα--->Συντεταγμένες--->Μιγαδικός Αριθμός
4) Κατόπιν κάνουμε δεξί κλικ στο A και μετά επιλέγουμε
Μετονομασία--->
5) Στη συνέχεια στη γραμμή εντολών δίνουμε w=z^2. Θα εμφανισθεί ο μιγαδικός αριθμός στο παράθυρο της Γεωμετρίας.
6) Κατόπιν κάνουμε δεξί κλικ στο σημείο που εκπροσωπεί τον και κατόπιν με το ποντίκι
Επιλέγουμε Γεωμετρικός Τόπος (στην 4η Εργαλειοθήκη)--->Δίνουμε αριστερό κλικ στο --->Δίνουμε αριστερό κλικ στο .
Θα εμφανισθεί ο τόπος.
Καλή Διασκέδαση
Μαυρογιάννης

Νίκο φοβερά γουστόζικο και εξίσου χρήσιμο! Ευχαριστώ πολύ!!!

#7

... πολύ ωραίο ,ευχαριστούμε Νίκο.

στέλνω το έργο μου...

#8

Χε χε, εγώ υποσχέθηκα για σχήμα .. τελικά τελευταίος και καταϊδρωμένος .. (Με πετύχατε στο γραφείο που δεν έχω κάποιο εξειδικευμένο σχεδιαστικό πρόγραμμα)

Πλάκα κάνω ... μπράβο φίλοι μου .. όμορφα γραφήματα !!!

ZITAVITA · #9

Ευχαριστώ
Ενδιαφέρον πάντως

#10

Για λόγους πληρότητας (και όχι μόνον) ... σχήμα και στο mathematica ...

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση