αναδρομικές ακολουθίες 1

#1

Να βρεθεί , αν υπάρχουν , τα όρια των ακολουθιών $\displaystyle{(a_n) , (b_n)}$ που ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις
$\displaystyle{2a_{n+1}=a_n+b_n , b^{2}_{n+1}=a_{n+1}b_n , a_1=1/2 , b_1=1}$

dement · #2

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι $\displaystyle a_n = \frac{\sqrt{3}}{2^n} \right)} \cot \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^n} \right)$ και $\displaystyle b_n = \frac{\sqrt{3}}{2^n} \csc \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^n} \right)$ . Προφανώς ισχύει για n = 1

.

Έχουμε $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2^n} \cdot \frac{\cot \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^n} \right) + \csc \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^n} \right)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2^{n+1}} \cot \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^{n+1}} \right)$ .

Επίσης $\displaystyle b_{n+1} = \sqrt{b_n \cdot a_{n+1}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2^n} \csc \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^n} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2^{n+1}} \cot \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^{n+1}} \right)} =\frac{\sqrt{3}}{2^{n+1}} \csc \left( \frac{2 \pi}{3 \cdot 2^{n+1}} \right)$

Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $\displaystyle \lim_{n \to \infty} 2^n \sin \left( \frac{\theta}{2^n} \right) = \theta$ βλέπουμε πως $\displaystyle \lim a_n = \lim b_n = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}$ .

αναδρομικές ακολουθίες 1

αναδρομικές ακολουθίες 1

Re: αναδρομικές ακολουθίες 1

Μέλη σε σύνδεση