Τιμές παραμέτρου ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς δύο ρίζες
Συντονιστής: nsmavrogiannis
Τιμές παραμέτρου ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς δύο ρίζες
Να βρείτε τις τιμές του ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς δύο λύσεις .
Υ.Γ. Μετά τη δημοσίευση έλαβα και λύση με ανάλυση! Οπότε προκειμένου να μην μπερδέψω τους συναδέλφους, καλύτερα η άσκηση να μπει στο φάκελο του καθηγητή της Ανάλυσης! Ευχαριστώ!
Υ.Γ. Μετά τη δημοσίευση έλαβα και λύση με ανάλυση! Οπότε προκειμένου να μην μπερδέψω τους συναδέλφους, καλύτερα η άσκηση να μπει στο φάκελο του καθηγητή της Ανάλυσης! Ευχαριστώ!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τιμές παραμέτρου ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς δύο ρίζες
Η εξίσωση γράφεται ως , όπου και . Από τη διακρίνουσα, .
Ισχύει . Επίσης για , για και .
Άρα με μονοσύνολο αν και δισύνολο αλλιώς.
Αν το έχει διπλή ρίζα, τότε και η εξίσωση θα έχει μόνο μία λύση. Άρα το πρέπει να έχει δύο διακριτές ρίζες με γινόμενο . Έτσι, για να έχουμε ακριβώς δύο λύσεις, οι περιπτώσεις που μας κάνουν είναι:
1. Δύο διακριτές ρίζες του στο . Αν μία από τις ρίζες είναι το η άλλη είναι το και . Αλλιώς το παίρνει τις ακρότατες τιμές του για ζεύγη ριζών ( αρνητικό) και ( θετικό). Το σύνολο των τιμών του είναι .
2. Μία ρίζα του στο και η άλλη στο . Αδύνατον γιατί το γινόμενο των ριζών είναι .
Έτσι, οι επιτρεπτές τιμές του είναι στο σύνολο .
Χάριν πληρότητας αναφέρω ότι η εξίσωση δεν έχει λύση για ενώ έχει τρεις λύσεις για και μία λύση στις υπόλοιπες περιπτώσεις.
Ισχύει . Επίσης για , για και .
Άρα με μονοσύνολο αν και δισύνολο αλλιώς.
Αν το έχει διπλή ρίζα, τότε και η εξίσωση θα έχει μόνο μία λύση. Άρα το πρέπει να έχει δύο διακριτές ρίζες με γινόμενο . Έτσι, για να έχουμε ακριβώς δύο λύσεις, οι περιπτώσεις που μας κάνουν είναι:
1. Δύο διακριτές ρίζες του στο . Αν μία από τις ρίζες είναι το η άλλη είναι το και . Αλλιώς το παίρνει τις ακρότατες τιμές του για ζεύγη ριζών ( αρνητικό) και ( θετικό). Το σύνολο των τιμών του είναι .
2. Μία ρίζα του στο και η άλλη στο . Αδύνατον γιατί το γινόμενο των ριζών είναι .
Έτσι, οι επιτρεπτές τιμές του είναι στο σύνολο .
Χάριν πληρότητας αναφέρω ότι η εξίσωση δεν έχει λύση για ενώ έχει τρεις λύσεις για και μία λύση στις υπόλοιπες περιπτώσεις.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες