Θετικές πραγματικές λύσεις

#1

Με αφορμή την ανισότητα υπό συνθήκη που πρόσφατα συζητήθηκε εδώ, προτείνω:

Να βρεθούν οι θετικές πραγματικές λύσεις της εξίσωσης a+b+c=ab+bc+ca

.

#2

$a+b+c=ab+bc+ca \Leftrightarrow a(b+c-1)=b+c-bc \ \ (1)$

Η περίπτωση b+c-1=0

απορρίπτεται διότι διαφορετικά η παραπάνω καταλήγει στην εξίσωση c^2-c+1=0

που δεν έχει πραγματικές λύσεις.

Η περίπτωση b+c-1<0

απορρίπτεται πολύ εύκολα καθώς 0<b<1-c

άρα πρέπει c<1

και από την (1)

επειδή

, άρα πρέπει $b+c-bc<0 \Leftrightarrow b(c-1)>c$ , άτοπο διότι το 1ο μέλος είναι αρνητικό και το δεύτερο θετικό.

Συνεπώς $b+c>1 \ \ (2)$

Από την (1)

παίρνουμε $a=\dfrac{b+c-bc}{b+c-1}$ και αφού a>0

παίρνουμε

δηλαδή $b(c-1)<c \ \ (3)$ και διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις:

Α) Αν c>1

τότε αφενός η (2)

ισχύει για οποιοδήποτε θετικό αριθμό

και αφετέρου από την (3)

παίρνουμε $b<\dfrac{c}{c-1}$ . Οπότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη $(a,b,c)=\left(\dfrac{b+c-bc}{b+c-1},b,c\right)$ με c>1

και $0<b<\dfrac{c}{c-1}$

Β) Αν c=1

τότε παίρνουμε τις λύσεις $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{b},b,1\right)$ με

τυχαίο θετικό αριθμό.

C) Αν c<1

τότε αφενός η (2)

δίνει

και αφετέρου η (3)

δίνει $b>\dfrac{c}{c-1}$ που ισχύει πάντα. Άρα πρέπει b>1-c

κι έτσι οι λύσεις είναι οι $(a,b,c)=\left(\dfrac{b+c-bc}{b+c-1},b,c\right)$ με $c\in (0,1)$ και b>1-c

.

Αλέξανδρος

#3

Αλέξανδρε εγώ το είχα δει κάπως διαφορετικά το θέμα, και κατέληξα σε απάντηση φαινομενικά τουλάχιστον διαφορετική από την δική σου (και χωρίς να είμαι σε θέση να βρω κάποιο ψεγάδι είτε στην δική σου είτε στην δική μου προσέγγιση):

Αναζητώντας τις διατεταγμένες τριάδες (a, b, c)

, όπου $0<a\leq b\leq c$ , που ικανοποιούν την a+b+c=ab+bc+ca

, καταλήγω στην ισότητα $c=\displaystyle\frac{a+b-ab}{a+b-1}$ (αναμενόμενη και προφανής) και στην ανισότητα $b\leq 1-a+\sqrt{a^2-a+1}$ (προκύπτει τριωνυμικά από την $b\leq c$ ).

[Βεβαίως θα μπορούσε κάποιος να παρατηρήσει ότι οι τριάδες δεν οφείλουν να ικανοποιούν την $a\leq b\leq c$ : δεκτό αυτό, αλλά, βεβαίως, στην περίπτωση διαφορετικής διάταξης θα ισχύουν ανάλογες ανισότητες, κλπ κλπ]

Θετικές πραγματικές λύσεις

Θετικές πραγματικές λύσεις

Re: Θετικές πραγματικές λύσεις

Re: Θετικές πραγματικές λύσεις

Μέλη σε σύνδεση