Ισότητα αθροίσματος και γινομένου

#1

Αν

με $0<x\leq y\leq z$ τότε $x\leq \dfrac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\leq y.$

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 23, 2023 1:26 am
Αν με $0<x\leq y\leq z$ τότε $x\leq \dfrac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\leq y.$

Καλημέρα Γιώργο!

$\displaystyle x + z = y(xz - 1)$ και αφού οι αριθμοί είναι θετικοί θα είναι xz-1>0,

άρα $\displaystyle y = \frac{{x + z}}{{xz - 1}}$

$\displaystyle x \leqslant y \Leftrightarrow x \leqslant \frac{{x + z}}{{xz - 1}} \Leftrightarrow z{x^2} - 2x - z \leqslant 0 \Leftrightarrow 0 < x \leqslant \frac{{1 + \sqrt {{z^2} + 1} }}{z}$

Ομοίως, $\displaystyle x \leqslant y \Leftrightarrow \frac{{y + z}}{{yz - 1}} \leqslant y,$ κλπ.

Ισότητα αθροίσματος και γινομένου

Ισότητα αθροίσματος και γινομένου

Re: Ισότητα αθροίσματος και γινομένου

Μέλη σε σύνδεση