Τριγωνομετρία
Συντονιστής: nsmavrogiannis
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Τριγωνομετρία
Καλημέρα. Το ξέρω ότι πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις, απλά μου φάνηκε επίπονο. Για να δούμε.
Αν , τότε και
Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι
Όμως και και συνεπώς :
και τελικά:
Συνεπώς: και άρα που είναι άτοπο , εφόσον
Ομοίως εργαζόμαστε και στην περίπτωση όπου και καταλήγουμε ότι είναι εφικτό.
Επομένως:
Αν , τότε και
Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι
Όμως και και συνεπώς :
και τελικά:
Συνεπώς: και άρα που είναι άτοπο , εφόσον
Ομοίως εργαζόμαστε και στην περίπτωση όπου και καταλήγουμε ότι είναι εφικτό.
Επομένως:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τριγωνομετρία
Αγαπητέ Λάμπρο ποιες είναι αυτές οι δυο γωνίες..?
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρία
Kαλησπέρα σε όλους. Προσεγγιστικά, με την επιφύλαξη τυχόν λάθους.mick7 έγραψε: ↑Δευ Οκτ 23, 2023 4:17 pmΑγαπητέ Λάμπρο ποιες είναι αυτές οι δυο γωνίες..?
Για
με , από όπου έχουμε ότι
Οπότε
Είναι , άρα
Re: Τριγωνομετρία
Για να βρούμε τη γωνία A, θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις που μας δίνονται και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Αρχικά, ας εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση: 3sin B + 4cos C = 6. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 9sin B + 12cos C = 18.
Έπειτα, ας εξετάσουμε τη δεύτερη εξίσωση: 4sin C + 3cos B = 1. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 12sin C + 9cos B = 3.
Προσθέτουμε τις δύο νέες εξισώσεις: (9sin B + 12cos C) + (12sin C + 9cos B) = 18 + 3. Απλοποιούμε την εξίσωση: 9sin B + 12sin C + 12cos C + 9cos B = 21.
Αναδιατάσσουμε τα μέλη της εξίσωσης ως εξής: (9sin B + 9cos B) + (12sin C + 12cos C) = 21.
Γνωρίζουμε ότι sin θ + cos θ = √2sin(π/4 + θ). Εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα, παίρνουμε: 9√2sin(π/4 + B) + 12√2sin(π/4 + C) = 21.
Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση ακόμα περισσότερο: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7.
Αντικαθιστούμε τώρα τους αρχικούς όρους: sin A = sin(π - (B + C)) = sin(B + C).
Οπότε, έχουμε την εξίσωση: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7 = 7sin A.
Τέλος, διαιρούμε και τα δύο μέλη με 7: sin A = (3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C)) / 7.
Από εδώ, μπορούμε να βρούμε τη γωνία A χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο της συνάρτησης ημιτόνου. Προκύπτει ότι η Α ισούται με περίπου 27 μοίρες.
Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω κάνει κάποιο λάθος! Ευχαριστώ
Αρχικά, ας εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση: 3sin B + 4cos C = 6. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 9sin B + 12cos C = 18.
Έπειτα, ας εξετάσουμε τη δεύτερη εξίσωση: 4sin C + 3cos B = 1. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 12sin C + 9cos B = 3.
Προσθέτουμε τις δύο νέες εξισώσεις: (9sin B + 12cos C) + (12sin C + 9cos B) = 18 + 3. Απλοποιούμε την εξίσωση: 9sin B + 12sin C + 12cos C + 9cos B = 21.
Αναδιατάσσουμε τα μέλη της εξίσωσης ως εξής: (9sin B + 9cos B) + (12sin C + 12cos C) = 21.
Γνωρίζουμε ότι sin θ + cos θ = √2sin(π/4 + θ). Εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα, παίρνουμε: 9√2sin(π/4 + B) + 12√2sin(π/4 + C) = 21.
Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση ακόμα περισσότερο: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7.
Αντικαθιστούμε τώρα τους αρχικούς όρους: sin A = sin(π - (B + C)) = sin(B + C).
Οπότε, έχουμε την εξίσωση: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7 = 7sin A.
Τέλος, διαιρούμε και τα δύο μέλη με 7: sin A = (3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C)) / 7.
Από εδώ, μπορούμε να βρούμε τη γωνία A χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο της συνάρτησης ημιτόνου. Προκύπτει ότι η Α ισούται με περίπου 27 μοίρες.
Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω κάνει κάποιο λάθος! Ευχαριστώ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15779
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριγωνομετρία
Καλό είναι να γράφεις σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Άλλωστε, αν κρίνω από το ποστ σου εδώ, είσαι γνώστης του latex.
Συνήθως δεν απαντώ στα ποστ που δεν ακολουθούν τους κανονισμούς μας, αλλά θα το κάνω κατά παρέκκλιση, λόγω του ότι είσαι μαθητής και θέλω να σε ενθαρρύνω να ασχολείσαι με τα Μαθηματικά. Στην συγκεκριμμένη περίπτωση, δες σε παρακαλώ τα σημεία που απομονώνω στα παρακάτω.
.
Πώς δικαιολογείς ότι το έγινε ; Είναι σαν να παίρνεις , αλλά παρακάτω έβγαλες το συμπέρασμα ότι . Συμβιβάζονται αυτά;
.
Για κάνε το λιανά αυτό. Το δεξί μέλος έχει μεταβλητές, οπότε πώς κατέληξες στην τιμή ;
Συνήθως δεν απαντώ στα ποστ που δεν ακολουθούν τους κανονισμούς μας, αλλά θα το κάνω κατά παρέκκλιση, λόγω του ότι είσαι μαθητής και θέλω να σε ενθαρρύνω να ασχολείσαι με τα Μαθηματικά. Στην συγκεκριμμένη περίπτωση, δες σε παρακαλώ τα σημεία που απομονώνω στα παρακάτω.
.
.
Πώς δικαιολογείς ότι το έγινε ; Είναι σαν να παίρνεις , αλλά παρακάτω έβγαλες το συμπέρασμα ότι . Συμβιβάζονται αυτά;
.
.
Για κάνε το λιανά αυτό. Το δεξί μέλος έχει μεταβλητές, οπότε πώς κατέληξες στην τιμή ;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15779
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριγωνομετρία
Προς Venizelos:
Καμιά πρόοδο εδώ; Στο προηγούμενο ποστ επισήμανα κάποια σημεία προς εξέταση. Έχεις ξακαθαρίσει τα θέματα αυτά; Εδώ είμαστε να βοηθήσουμε, όπως άλλωστε ζήτησες, αλλά πρέπει και εσύ να ανταποκριθείς.
Re: Τριγωνομετρία
Γεια σας κύριε Λάμπρου! Ευχαριστώ πολύ που μου επισημάνατε τα λάθη μου. Ξεκίνησα σήμερα την προσπάθειά μου να ξεκαθαρίσω την απάντηση (με μαθήματα και λοιπά δεν μου έχει απομείνει πολύς χρόνος). Σας ευχαριστώ για τον χρόνο σας και θα προσπαθήσω εντός του Σαββατοκυριάκου να ξεκαθαρίσω την απάντησή μου. Έχετε απόλυτο δίκιο και πλέον θα γράφω αποκλειστικά σε LaTeX. Ελπίζω να τα ξαναπούμε πάνω σε κάποιο άλλο θέμα!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 24, 2023 11:03 pmΠρος Venizelos:
Καμιά πρόοδο εδώ; Στο προηγούμενο ποστ επισήμανα κάποια σημεία προς εξέταση. Έχεις ξακαθαρίσει τα θέματα αυτά; Εδώ είμαστε να βοηθήσουμε, όπως άλλωστε ζήτησες, αλλά πρέπει και εσύ να ανταποκριθείς.
Re: Τριγωνομετρία
Έχουμε
Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:
Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:
Οπότε η γωνία Α είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες, καθώς δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την περίπτωση πως
Ευχαριστώ εγκάρδια τον κύριο Λάμπρου και την κοινότητα του Mathematica για την υποστήριξή του στο πρόβλημα.
Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:
Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:
Οπότε η γωνία Α είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες, καθώς δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την περίπτωση πως
Ευχαριστώ εγκάρδια τον κύριο Λάμπρου και την κοινότητα του Mathematica για την υποστήριξή του στο πρόβλημα.
τελευταία επεξεργασία από Venizelos σε Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Τριγωνομετρία
Venizelos έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 amΈχουμε
Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:
Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:
Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.
Σημείωση: στη σχέση απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]
Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.
Re: Τριγωνομετρία
Henri van Aubel έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pmVenizelos έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 amΈχουμε
Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:
Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:
Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.
Σημείωση: στη σχέση απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]
Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.
Βέβαια, εκ παραδρομής λάθος, παρασύρθηκα από τον ενθουσιασμό μου στην προσπάθεια να κατασκευάσω μια κομψή λύση. Αφού δεν μπορούμε πλέον να απορρίψουμε καμία περίπτωση, η γωνία θα είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες.
Re: Τριγωνομετρία
Από που προκύπτει αυτό;
Γνωρίζεις ότι υπάρχουν και αμβλυγώνια τρίγωνα;
Θα σου πρότεινα να ελέγχεις ως προς την ορθότητα ό,τι "κυκλοφορεί" στο web.
Αποστόλης
Re: Τριγωνομετρία
Συγγνώμη για την αναστάτωση, έχετε απόλυτο δίκιο. Θα είμαι πιο προσεκτικός στις πληροφορίες που "αναβλύζουν" από διαδικτυακές "πηγές".
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Τριγωνομετρία
Venizelos έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:07 pmHenri van Aubel έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pmVenizelos έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 amΈχουμε
Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:
Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:
Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.
Σημείωση: στη σχέση απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]
Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.
Βέβαια, εκ παραδρομής λάθος, παρασύρθηκα από τον ενθουσιασμό μου στην προσπάθεια να κατασκευάσω μια κομψή λύση. Αφού δεν μπορούμε πλέον να απορρίψουμε καμία περίπτωση, η γωνία θα είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες.
Η γωνιά είναι 30 μοίρες. Την περίπτωση των 150 μοιρών την έχω αποκλείσει παραπάνω.
Re: Τριγωνομετρία
Henri van Aubel έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:24 pmVenizelos έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:07 pmHenri van Aubel έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pmVenizelos έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 amΈχουμε
Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:
Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:
Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.
Σημείωση: στη σχέση απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]
Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.
Βέβαια, εκ παραδρομής λάθος, παρασύρθηκα από τον ενθουσιασμό μου στην προσπάθεια να κατασκευάσω μια κομψή λύση. Αφού δεν μπορούμε πλέον να απορρίψουμε καμία περίπτωση, η γωνία θα είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες.
Η γωνιά είναι 30 μοίρες. Την περίπτωση των 150 μοιρών την έχω αποκλείσει παραπάνω.
Ευχαριστώ, προσπάθησα να μη διαβάσω τις λύσεις πρωτού λύσω και εγώ την άσκηση. Τώρα κατάλαβα... Συγγνώμη για τη σύγχηση.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης