Για τον μετασχηματιμό του Möbius

#1

Θεωρούμε σταθερούς μιγαδικούς αριθμούς a,b,c,d

Αν $w=\frac{az+b}{cz+d}$ ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του

αν η εικόνα του

ανήκει
α) Σε σταθερό κύκλο;
β) Σε σταθερή ευθεία;

Αξίζει να διδάσκεται σε ικανούς μαθητές στην γενική περίπτωση. Ο λόγος; Οι ασκήσεις Α6, Α8, Β2, Β4, Β5 των σελίδων 101-102 του σχολικού είναι ειδικές περιπτώσεις
Σχόλιο 1:'Εχουμε αναφερθεί πολλές φορές στο θέμα αλλά νομιζω γύρω-γύρω. Η απάντηση είναι γνωστή σε πολλούς.
Θέτω το ερώτημα για δύο λόγους:
α) Για κατατόπιση όσων φίλων μας δεν έτυχε να γνωρίζουν το θέμα
β) Για να δούμε αν υπάρχουν εναλλακτικές προσεγγίσεις.
Σχόλιο 2: Για το πως μπορούμε να δείξουμε την δράση του μετασχηματισμού στα παιδιά χρησιμοποιώντας την Geogebra δείτε οτο θέμα: viewtopic.php?f=81&p=49635#p49635

Μαυρογιάννης

Ωmega Man · #2

Γράφω μερικές πρόχειρες σκέψεις για το πρώτο ερώτημα.
Ο διγραμμικός μετασχηματισμός ή γραμμικός κλασματικός μετασχηματισμός $\displaystyle{\bf w=\frac{az+b}{cz+d}}$ με $\displaystyle{\bf ad\neq bc}$ έχει αντίστροφο μετασχηματισμό τον $\displaystyle{\bf z=\frac{-dw+b}{cw-a}}$ . Με βάση το παραπάνω λοιπόν για $\displaystyle{\bf|z|=R>0}$ ,

$\displaystyle{\bf\left|\frac{-dw+b}{cw-a}\right| = |z| \Rightarrow \left|\frac{-dw+b}{cw-a}\right|^{2}=R^2\Rightarrow |-dw+b|^2=R^2 \cdot |cw-a|^{2}}$ για $\displaystyle{\bf w=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}$ με $\displaystyle{\bf u,v :\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}}$ , μας δίνει κάνοντας τις πράξεις,

$\displaystyle{\bf u^2 + v^2 + \left( \frac{-2bd+2R^{2} ac }{d^{2}-R^{2}\cdot c^{2}}\right)u +\frac{b^{2}-R^{2}a^{2}}{d^{2}-R^{2}c^{2}}=0}$ το οποίο παριστάνει κύκλο στο επίπεδο $\displaystyle{\bf (u,v)}$ . Στην ειδική περίπτωση $\displaystyle{\bf d^{2}-R^{2}c^{2}=0}$ τότε η εικόνα του $\displaystyle{\bf z}$ πηγαίνει μέσω του $\displaystyle{\bf w}$ σε ευθεία.

$\color{red}\rule{150pt}{1.5pt}$
Ένα κλασσικό παράδειγμα της ειδικής περίπτωσης που αναφέρεται στο τέλος είναι να δείξουμε ότι ο μετασχηματισμός $\displaystyle{\bf w=\frac{i(1-z)}{1+z}}$ στέλνει τον $\bf z$ σε ευθεία αν και μόνο αν $\bf |z|=1$ .

#3

$\displaystyle{w = \frac{{a \cdot z + b}}{{c \cdot z + d}} \Rightarrow z = \frac{{ - d \cdot w + b}}{{c \cdot w - a}}}$

A) Έστω η εικόνα Μ του z βρίσκεται σε κύκλο. Τότε $\displaystyle{\left| {z - {z_0}} \right| = R > 0 \Rightarrow }$ $\displaystyle{\left| {\frac{{ - d \cdot w + b}}{{c \cdot w - a}} - {z_0}} \right| = R \Rightarrow \left| {\left( {d + c \cdot {z_0}} \right) \cdot w - \left( {b + a} \right) \cdot {z_0}} \right| = R \cdot \left| {c \cdot w - a} \right|}$
$\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right| \cdot \left| {w - \frac{{b + a \cdot {z_0}}}{{d + c \cdot {z_0}}}} \right| = R \cdot \left| c \right| \cdot \left| {w - \frac{a}{c}} \right|}$

Αν $\displaystyle{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right| = R \cdot \left| c \right|}$ έχουμε ευθεία μεσοκάθετη του ΑΒ με $\displaystyle{A\left( {\frac{{b + a \cdot {z_0}}}{{d + c \cdot {z_0}}}} \right)}$ και $\displaystyle{B\left( {\frac{a}{c}} \right)}$

Αν $\displaystyle{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right| \ne R \cdot \left| c \right|}$ έχουμε κύκλο (Απολλώνιος κύκλος) $\displaystyle{MA = \lambda \cdot MB}$ όπου $\displaystyle{A\left( {\frac{{b + a \cdot {z_0}}}{{d + c \cdot {z_0}}}} \right)}$ , $\displaystyle{B\left( {\frac{a}{c}} \right)}$ και $\displaystyle{\lambda = \frac{{R \cdot \left| c \right|}}{{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right|}}}$ .

Β) αν η εικόνα του z κινείται σε ευθεία τότε αυτή θα είναι μεσοκάθετος κάποιου ευθυγράμμου τμήματος (υπάρχουν άπειρα βέβαια), οπότε βρίσκουμε z1 και z2 ώστε $\displaystyle{\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right|}$ .
Στην παραπάνω εξίσωση θέτουμε όπου $\displaystyle{z = \frac{{ - d \cdot w + b}}{{c \cdot w - a}}}$ και καταλήγουμε σε μορφές αντίστοιχες με τις παραπάνω.

1) Απαιτείται κάποια διερεύνηση βέβαια για αποφυγή σημείων μηδενισμού παρονομαστών
2) Η τελική μορφή είναι πάντα είτε ευθεία είτε κύκλος
3) Στην έκφραση $\displaystyle{w = \frac{{a \cdot z + b}}{{c \cdot z + d}}}$ αν το $\displaystyle{\infty }$ "παίζει" σαν τιμή για το w πάντα έχουμε ευθεία, αν δεν "παίζει" έχουμε κύκλο (για το w βέβαια).

Ωmega Man · #4

Στο παραπάνω πήρα μια ειδική περίπτωση, πήρα ότι ο $\bf z$ ανήκει σε κύκλο με κέντρο (0,0), φάνηκε άλλωστε και από την διαπραγμάτευση του Σεραφείμ. Και μιας και ο αναφερόμενος έχει όρεξη...........

$\displaystyle{\color{orange} \rule{600pt}{3pt}}$
Να βρεθεί ο διγραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος στέλνει το χωρίο $\displaystyle{\bf\mathcal{D}$ που περιέχεται μεταξύ των $\bf\{|z-1|=1 \wedge |z-2|<2\}}$ σε μια οριζόντια λωρίδα.

#5

Γιώργο, ο κύκλος $\displaystyle{\mathbf{|z-1|=1 }}$ βρίσκεται (πλήν του μηδενός), στον δίσκο $\displaystyle{\mathbf{|z-2|<2.}}$

Το χωρίο D που αναφέρεις είναι επομένως ο ανοιχτός κυκλικός δίσκος $\displaystyle{\mathbf{|z-2|<2}}$ μαζί με το 0. Αυτό εννοείς?

#6

Μήπως θς 'επρεπε να τονισθεί ο ρόλος των στοιχειωδών μετασχηματισμών και η σύνδεσή τους με την γεωμετρία;
$\displaystyle{\bullet z\to z+a}$ παράλληλη μεταφορά
$\displaystyle{\bullet z\to az}$ στροφή - ομοιοθεσία
$\displaystyle{\bullet z\to \frac{1}{z}}$ αντιστροφή

Α.Κυριακόπουλος · #7

nsmavrogiannis έγραψε:Θεωρούμε σταθερούς μιγαδικούς αριθμούς
Αν $w=\frac{az+b}{cz+d}$ ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του αν η εικόνα του ανήκει
α) Σε σταθερό κύκλο;
β) Σε σταθερή ευθεία;
Μαυρογιάννης

Ωmega Man έγραψε:Γράφω μερικές πρόχειρες σκέψεις για το πρώτο ερώτημα.
Ο διγραμμικός μετασχηματισμός ή γραμμικός κλασματικός μετασχηματισμός $\displaystyle{\bf w=\frac{az+b}{cz+d}}$ με $\displaystyle{\bf ad\neq bc}$ έχει αντίστροφο μετασχηματισμό τον $\displaystyle{\bf z=\frac{-dw+b}{cw-a}}$ . Με βάση το παραπάνω λοιπόν για $\displaystyle{\bf|z|=R>0}$ ,

$\displaystyle{\bf\left|\frac{-dw+b}{cw-a}\right| = |z| \Rightarrow \left|\frac{-dw+b}{cw-a}\right|^{2}=R^2\Rightarrow |-dw+b|^2=R^2 \cdot |cw-a|^{2}}$ για $\displaystyle{\bf w=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}$ με $\displaystyle{\bf u,v :\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}}$ , μας δίνει κάνοντας τις πράξεις,

$\displaystyle{\bf u^2 + v^2 + \left( \frac{-2bd+2R^{2} ac }{d^{2}-R^{2}\cdot c^{2}}\right)u +\frac{b^{2}-R^{2}a^{2}}{d^{2}-R^{2}c^{2}}=0}$ το οποίο παριστάνει κύκλο στο επίπεδο $\displaystyle{\bf (u,v)}$ . Στην ειδική περίπτωση $\displaystyle{\bf d^{2}-R^{2}c^{2}=0}$ τότε η εικόνα του $\displaystyle{\bf z}$ πηγαίνει μέσω του $\displaystyle{\bf w}$ σε ευθεία.

$\color{red}\rule{150pt}{1.5pt}$
Ένα κλασσικό παράδειγμα της ειδικής περίπτωσης που αναφέρεται στο τέλος είναι να δείξουμε ότι ο μετασχηματισμός $\displaystyle{\bf w=\frac{i(1-z)}{1+z}}$ στέλνει τον $\bf z$ σε ευθεία αν και μόνο αν $\bf |z|=1$ .

Σεραφείμ έγραψε: $\displaystyle{w = \frac{{a \cdot z + b}}{{c \cdot z + d}} \Rightarrow z = \frac{{ - d \cdot w + b}}{{c \cdot w - a}}}$

A) Έστω η εικόνα Μ του z βρίσκεται σε κύκλο. Τότε $\displaystyle{\left| {z - {z_0}} \right| = R > 0 \Rightarrow }$ $\displaystyle{\left| {\frac{{ - d \cdot w + b}}{{c \cdot w - a}} - {z_0}} \right| = R \Rightarrow \left| {\left( {d + c \cdot {z_0}} \right) \cdot w - \left( {b + a} \right) \cdot {z_0}} \right| = R \cdot \left| {c \cdot w - a} \right|}$
$\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right| \cdot \left| {w - \frac{{b + a \cdot {z_0}}}{{d + c \cdot {z_0}}}} \right| = R \cdot \left| c \right| \cdot \left| {w - \frac{a}{c}} \right|}$

Αν $\displaystyle{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right| = R \cdot \left| c \right|}$ έχουμε ευθεία μεσοκάθετη του ΑΒ με $\displaystyle{A\left( {\frac{{b + a \cdot {z_0}}}{{d + c \cdot {z_0}}}} \right)}$ και $\displaystyle{B\left( {\frac{a}{c}} \right)}$

Αν $\displaystyle{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right| \ne R \cdot \left| c \right|}$ έχουμε κύκλο (Απολλώνιος κύκλος) $\displaystyle{MA = \lambda \cdot MB}$ όπου $\displaystyle{A\left( {\frac{{b + a \cdot {z_0}}}{{d + c \cdot {z_0}}}} \right)}$ , $\displaystyle{B\left( {\frac{a}{c}} \right)}$ και $\displaystyle{\lambda = \frac{{R \cdot \left| c \right|}}{{\left| {d + c \cdot {z_0}} \right|}}}$ .

Β) αν η εικόνα του z κινείται σε ευθεία τότε αυτή θα είναι μεσοκάθετος κάποιου ευθυγράμμου τμήματος (υπάρχουν άπειρα βέβαια), οπότε βρίσκουμε z1 και z2 ώστε $\displaystyle{\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right|}$ .
Στην παραπάνω εξίσωση θέτουμε όπου $\displaystyle{z = \frac{{ - d \cdot w + b}}{{c \cdot w - a}}}$ και καταλήγουμε σε μορφές αντίστοιχες με τις παραπάνω.

1) Απαιτείται κάποια διερεύνηση βέβαια για αποφυγή σημείων μηδενισμού παρονομαστών
2) Η τελική μορφή είναι πάντα είτε ευθεία είτε κύκλος
3) Στην έκφραση $\displaystyle{w = \frac{{a \cdot z + b}}{{c \cdot z + d}}}$ αν το $\displaystyle{\infty }$ "παίζει" σαν τιμή για το w πάντα έχουμε ευθεία, αν δεν "παίζει" έχουμε κύκλο (για το w βέβαια).

Αγαπητοί Ωmega Man και Σεραφείμ.
Θα μου επιτρέψετε να σας πω ότι όταν εργαζόμαστε με συνεπαγωγές, το σχήμα που βρίσκουμε στο τέλος δεν είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Τότε, το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε είναι ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι μέρος του σχήματος αυτού. Αν είναι ολόκληρο το σχήμα, χρειάζεται περαιτέρω απόδειξη.
Φιλικά.

#8

Το ζήτημα μπορεί να αντιμετωπισθεί με συντεταγμένες όπως έκανε ο Γιώργος αλλά έχει πολλές περιπτώσεις.
H δική μου προσέγγιση, που αδρομερώς την παρουσιάζω και στην τάξη, έχει πάρα πολλές ομοιότητες με του Σεραφείμ. Την παραθέτω και θα φανούν.
Κατ αρχάς ας παραμερίσουμε τις τετριμμένες περιπτώσεις:
$\bullet$ Αν είναι c=d=0

o μετασχηματισμός δεν ορίζεται για κανένα

. Yποθέτουμε ότι ότι $\left\vert c\right\vert +\left\vert d\right\vert \neq 0$ .
$\bullet$ Αν είναι ad-bc=0

και $c\neq 0$ μπορούμε να γράψουμε
$\displaystyle{\frac{az+b}{cz+d}=\frac{az+b}{c\left( z+\frac{d}{c}\right) }=\frac{a\left( z+\frac{d}{c}\right) +b-\frac{ad}{c}}{c\left( z+\frac{d}{c}\right) }=$ $\frac{a}{c}+\frac{\frac{-\left( ad-bc\right) }{c^{2}}}{\left( z+\frac{d}{c}\right) }}$
και ο τόπος είναι ένα μεμονωμένο σημείο
Αν πάλι είναι ad-bc=0

και

τότε αναγκαστικά $d\neq 0$ και επομένως αφού είναι ad=0

θα είναι

οπότε
$\frac{az+b}{cz+d}=\frac{b}{d}$
και πάλι ο τόπος είναι ένα μεμονωμένο σημείo
Μπορούμε να εργασθούμε τώρα στην ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου $ad-bc\neq 0$
Βλέπουμε ότι
α) Αν $c\neq 0$ ο μετασχηματισμός ορίζεται για κάθε $z\neq -\frac{d}{c}$ . Στην περίπτωση αυτή κάθε $w\neq \frac{a}{c}$ είναι εικόνα του μετασχηματισμού.
β) Αν c=0

ο μετασχηματισμός ορίζεται για κάθε

και κάθε

είναι εικόνα του.
Επίσης ισχύει:
$\frac{az+b}{cz+d}=w\Leftrightarrow z=-\frac{dw-b}{cw-a}$
Ξέρουμε ότι κάθε ευθεία είναι μεσοκάθετος κάποιου ευθυγράμμου τμήματος και κάθε κύκλος είναι Απολλώνιος κύκλος κάποιου ευθυγράμμου τμήματος ως προς κάποιο λόγο. 'Ετσι:

Aν το

ανήκει σε ευθεία θα είναι $\left\vert z-z_{1}\right\vert = \left\vert z-z_{2}\right\vert$ για κάποια κατάλληλα $z_{1}\neq z_{2}$
Aν το

ανήκει σε κύκλο θα είναι $\left\vert z-z_{1}\right\vert =\lambda \left\vert z-z_{2}\right\vert$ για κάποια κατάλληλα $z_{1}\neq z_{2}$ .
Μπορούμε να ενοποιήσουμε τις δύο περιπτώσεις και να ξεκινήσουμε με το δεδομένο ότι το

ικανοποιεί μία σχέση της μορφής
$\left\vert z-z_{1}\right\vert =\lambda \left\vert z-z_{2}\right\vert \,,~\ \ z_{1}\neq z_{2},\ \ \lambda >0$
όπου όταν $\lambda =1$ έχουμε ευθεία ένώ όταν $\lambda \neq 1$ έχουμε κύκλο.
Τώρα
$\displaystyle{\left\vert z-z_{1}\right\vert =\lambda \left\vert z-z_{2}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert -\frac{dw-b}{cw-a}-z_{1}\right\vert =\lambda \left\vert -\frac{dw-b}{cw-a}-z_{2}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert \left( cz_{1}+d\right) w-\left( az_{1}+b\right) \right\vert =\lambda \left\vert \left( cz_{2}+d\right) w-\left( az_{2}+b\right) \right\vert}$

Παρατηρούμε ότι δε μπορεί αμφότερα τα $cz_{1}+d$ , $cz_{2}+d$ να είναι μηδέν οπότε η τελευταία σχέση ισοδυναμεί με κάποια από τις
$\displaystyle{\left\vert w-\left( \frac{az_{1}+b}{cz_{1}+d}\right) \right\vert =\lambda \left\vert \frac{cz_{2}+d}{cz_{1}+d}\right\vert \left\vert w-\left( \frac{az_{2}+b}{cz_{2}+d}\right) \right\vert}$
$\displaystyle{\left\vert w-\left( \frac{az_{2}+b}{cz_{2}+d}\right) \right\vert =\frac{\left\vert az_{1}+b\right\vert }{\lambda \left\vert cz_{2}+d\right\vert }}$
$\displaystyle{\left\vert w-\left( \frac{az_{1}+b}{cz_{1}+d}\right) \right\vert =\frac{\lambda \left\vert az_{2}+b\right\vert }{\left\vert cz_{1}+d\right\vert }}$
που μας πληροφορούν ότι ο τόπος θα είναι ευθεία ή κύκλος
Φυσικά τα παραπάνω εδράζονται στην γνώση του κύκλου του Απολλωνίου που στο σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας είναι σε εφαρμογή και απ΄ότι έχω διαπιστώσει σπανίως διδάσκεται. Αλλά και έτσι δεν θέλει πολλή ώρα να εξηγήσει κάποιος στα παιδιά της Γ΄ πως δουλεύει ο κύκλος αυτός. Αποτελεί μία ενοποιητική έννοια και είναι κρίμα να την χάνουμε: Αν ένα σημείο κινείται ώστε ο λόγος των αποστάσεων του από δύο σταθερά σημεία να είναι σταθερός τότε ο τόπος του είναι κύκλος ή ευθεία.
Η άλλη σπουδαία ενοποιητική έννοια σύμφωνα με την οποία αν ένα από τα δύο σημεία γίνει ευθεία οπότε ο τόπος είναι κωνική είναι επιμελώς κρυμμένη στην κατεύθυνση της Β'. Θέλει ασκήσεις για να αναδειχθεί αλλά αξίζει τον κόπο. Καταλαβαίνω σημαίνει ενοποιώ και η κατανόηση είναι δικαίωμα. Δεν είναι δημοκρατικό οι μαθητές να μην καταλαβαίνουν (επί του "δημοκρατικού" περαιτέρω και επ΄ευκαιρία στο πολύ καλό άρθρο του Nικου Γ. Ξυδακη εδώ: viewtopic.php?f=6&t=8959) αλλά η κατανόηση δεν γίνεται με το ψιλικοκό της θρυμματισμένης ύλης.

ΣΧΟΛΙΟ Από την σχέση
$\displaystyle{\frac{az+b}{cz+d}=$ $\frac{a}{c}+p.\frac{1}{z+\frac{d}{c}}}$ όπου $p=\frac{-\left( ad-bc\right) }{c^{2}}$
βλέπουμε τους μετασχηματισμούς που αναφέρει ο Ροδόλφος:
$\displaystyle{x\underset{1}{\rightarrow }z+\frac{d}{c}\underset{2}{\rightarrow }\frac{1}{z+\frac{d}{c}}\underset{3}{\rightarrow }p.\frac{1}{z+\frac{d}{c}}\underset{4}{\rightarrow }\frac{a}{c}+p.\frac{1}{z+\frac{d}{c}}}$
όπου οι μετασχηματισμοί 1 και 4 είναι μεταφορές, ο 2 αντιστροφή και ο 3 στροφή+ομοιοθεσία.
Δυστυχώς όμως στην τάξη δε μπορούμε να επωφεληθούμε από αυτή την ανάλυση μιας και τα παιδιά δεν γνωρίζουν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Η αντιστροφή δε τους είναι εντελώς ξένη. Φοβάμαι ότι ειδικά για την τελευταία κάτι ανάλογο ισχύει και με τους συναδέλφους: Οι πιο μεγάλοι σε ηλικία είναι περισσότερο πιθανό να την γνωρίζουν.

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι μέσα στην τόση πληκτρολόγηση
Μαυρογιάννης

#9

R BORIS έγραψε:Μήπως θς 'επρεπε να τονισθεί ο ρόλος των στοιχειωδών μετασχηματισμών και η σύνδεσή τους με την γεωμετρία;
$\displaystyle{\bullet z\to z+a}$ παράλληλη μεταφορά
$\displaystyle{\bullet z\to az}$ στροφή - ομοιοθεσία
$\displaystyle{\bullet z\to \frac{1}{z}}$ αντιστροφή

Είναι πραγματικά κρίμα που σε μια χώρα που ανέδειξε τη γεωμετρία σε κορυφαία επιστήμη, πρότυπο για όλη την εξέλιξη και θεμελίωση κάθε άλλου επιστημονικού τομέα , να αποφοιτούν οι μαθητές μας από τα γενικά Λύκεια χωρίς να έχουν ακούσει καν αυτή την τόσο σημαντική έννοια, δηλαδή του μετασχηματισμού.

Διαβάζοντας κάποτε τη μιγαδική ανάλυση του αείμνηστου καθηγητή Κάππου, υιοθέτησα και γω την ίδια μέθοδο( όπως την ανέλυσε ο Ροδόλφος) για τους μετασχηματισμούς Moebius.
Ενδιαφέρον έχει επίσης ο συμμετρικός μετασχηματικός(αυτός με συζυγή στον παρονομαστή) , που αναλύεται πολύ καλό στο βιβλίο Geometry of complex numbers του Schwertfeger(Dover).
Όπως εύστοχα επεσήμανε ο Νίκος , πολλές ασκήσεις είναι ειδικές περιπτώσεις τέτοιων μετασχηματισμών.
Τώρα, το κατά πόσο είναι εφικτή μια στοιχειώδης αναφορά και στη σχολική πράξη όλων αυτών των υπέροχων ζητημάτων, εξαρτάται κυρίως από το επίπεδο της τάξης και εναπόκειται στη διάθεση του διδάσκοντα. Σίγουρα όμως μια μικρή αναφορά - στο σχολείο - είναι πολύ καλύτερη από τη λύση μιας τυποποιημένης άσκησης που οι μαθητές μπορούν να μελετήσουν σε ένα τυχαίο βοήθημα.

Μπάμπης

S.E.Louridas · #10

Αν μου επιτρέπετε φίλοι και συνάδελφοι νομίζω ότι δεν μπορούμε να κρίνουμε ένα έργο του Αριστοτέλη ας πούμε ή να κρίνουμε ένα πρόγραμμα διαβάζοντας μία σελίδα του.
Εγώ θα θέσω με όλη μου την αγάπη και εκτίμηση ένα ερώτημα:
Πιστεύουμε ειλικρινά ότι υπάρχουν οι προϋποθέσεις – θεμέλια να μπουν στην μέση εκπαίδευση οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί για παράδειγμα της αντιστροφής ώστε να λειτουργήσουν στην πράξη ;
Νομίζω συνάδελφοι ότι το πρόβλημα της Μαθηματικής εκπαίδευσης στην Ελλάδα από άποψη χτισίματος σύμφωνα με τα προγράμματα σπουδών από τους σοφούς είναι τα ίδια αυτά τα προγράμματα. Δεν είναι δυνατόν να υλοποιηθούν σωστά έστω και από τον ίδιο τον Gauss .Ασύνδετα μεταξύ τους Κεφάλαια χωρίς σωστές τομές της ύλης από τάξη σε τάξη ,ταχύτητες παράξενες για την κατανόηση αντίστοιχων εννοιών μέσω της διδασκαλίας τους, μία Γεωμετρία που αναφέρεται σπασμωδικά και τελείως επιφανειακά σε έννοιες σημαντικές κ.τ.λ. και μία πρακτική αριθμητική βασισμένη στο γεγονός ότι στην τσέπη ο πιτσιρικάς έχει 10 + 4 ΠΕΡΙΠΟΥ 14 ευρώ.
Το θέμα είναι να κάνει η Μαθηματική κοινότητα μία ολοκληρωμένη έρευνα μέσα από την Μάχη της τάξης και του σχολείου και όχι του οβάλ γραφείου ή την άποψη του τάδε από την Γαλλία που πιθανόν να μην είναι Μαθηματικός. Στην συνέχεια να διαμορφωθούν προτάσεις ουσίας και να «απαιτηθεί» να εφαρμοστούν.
Ας μάθουμε πρώτα να περπατάμε σωστά και να είμαστε σίγουροι ότι θα τρέξουμε αν χρειαστεί.
Με μία Αλγεβρα του Σακελαρίου και μία Γεωμετρία του Νικολάου κάποτε και χωρίς τους χρυσούς κανόνες της διδακτικής και χωρίς τον φροντιστηριακό οργασμό από νωρίς - νωρίς, οι υποψήφιοι απαντούσαν σε θέματα επιπέδου Μαθηματικών Ολυμπιάδων σε μεγάλο μάλλιστα ποσοστό.

S.E.Louridas

#11

στο συνημμένο υπάρχει ένα φυλλάδιο με την περιληπτική θεωρία και λυμένες ασκήσεις για τους μετασχηματισμούς Μobius. Το διδαχθήκαμε στθ 3ο έτος τουυ ΕΜΠ από τον Νικο Χονδρό. Κάποια από τα θέματα ήταν απο τις προαγωγικές εξετάσεις του Γ έτους Να τονίσω υην ευρύτατη εφαρμογή της συμμετρίας στις ασκήσεις

parmenides51 · #12

μια σχετική παρουσίαση με θέμα
'' Προβλήματα απεικονίσεων ευθείας και κωνικών τομών μέσω μετασχηματισμών Möbius''
του Στέφανου Ασωνίτη σας περιμένει εδώ

Από το ενδιαφέρον αρχείο άρθρων του παραρτήματος ΕΜΕ Κέρκυρας

mathxl · #13

...και εδώ, από τον Κώστα Δόρτσιο και τον Γιώργο Τσίντσιφα http://gtsintsifas.com/wp-content/uploa ... incaré.pdf.

mariagsp · #14

Ποια είναι τα σταθερά σημεία του μετασχηματισμού Möbius

$\displaystyle{f(z)=\frac{z-3}{3z-2}}$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

mariagsp έγραψε: Τετ Ιαν 09, 2019 7:23 pm ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ MOBIUS f(x)=(z-3)/(3z-2) ? ? ?

το σωστό είναι f(z)=(z-3)/(3z-2)

τα σταθερά σημεία είναι οι λύσεις της z=(z-3)/(3z-2)

δηλαδή τα $\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

το πρόβλημα που είναι δεν καταλαβαίνω

mariagsp · #16

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τετ Ιαν 09, 2019 7:45 pm
mariagsp έγραψε: Τετ Ιαν 09, 2019 7:23 pm ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ MOBIUS f(x)=(z-3)/(3z-2) ? ? ?
το σωστό είναι

τα σταθερά σημεία είναι οι λύσεις της

δηλαδή τα $\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

το πρόβλημα που είναι δεν καταλαβαίνω

Τη βοήθειά σας ζήτησα. Όχι την κριτική σας. Ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

mariagsp έγραψε: Τετ Ιαν 09, 2019 7:51 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τετ Ιαν 09, 2019 7:45 pm
mariagsp έγραψε: Τετ Ιαν 09, 2019 7:23 pm ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ MOBIUS f(x)=(z-3)/(3z-2) ? ? ?
το σωστό είναι

τα σταθερά σημεία είναι οι λύσεις της

δηλαδή τα $\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

το πρόβλημα που είναι δεν καταλαβαίνω
ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΑΣ ΖΗΤΗΣΑ ΟΧΙ ΤΗΝ ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΑΣ....ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

Να με συγχωρέσεις άλλα όταν ζητάς βοήθεια πρέπει να δέχεσαι και την κριτική.

Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Re: Για τον μετασχηματιμό του Möbius

Μέλη σε σύνδεση