Πολυώνυμα.

#1

Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα πολυώνυμα P(x)

για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{P(x+2)=P(x)+x^2}$ για κάθε πραγματικό

.

#2

Αν $\deg P(x)=n$ τότε $\deg [P(x+2)-P(x)]=n-1$ . Άρα θα πρέπει n-1=2

δηλαδή

.

Θεωρώντας P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

βρίσκουμε (με εκ ταυτότητος ίσα πολυώνυμα) $a=\displaystyle\frac{1}{6}, \ b=-\frac{1}{2}, \ c=\frac{1}{3}.$

Άρα τελικά λύσεις είναι η οικογένεια των πολυωνύμων $P_d(x)=\displaystyle\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+d, \ \ d\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

#3

Μια άλλη λύση

$\displaystyle{P'''(x+2)=P''''(x)}$

H $\displaystyle{P'''}$ είναι περιοδικό πολυώνυμο άρα σταθερό...

Πολυώνυμα.

Πολυώνυμα.

Re: Πολυώνυμα.

Re: Πολυώνυμα.

Μέλη σε σύνδεση