Βρείτε...

#1

Βρείτε το $f^{\prime }\left( x\right)$ για την
$\displaystyle f\left( x\right) =\sin \left( \frac{x}{x-\sin \left( \frac{x}{x-\sin x}\right) }\right)$
Προέλευση:
Michael Spivak Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
μετ. Απ.Γιαννόπουλος, Επιστ. Επιμέλεια Δ.Καραγιαννάκης. Μιχ. Λάμπρου,
Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 4η 'Εκδοση 1995
σελίδα 150-151 άσκηση 2,(xviii)

Το ερώτημα δεν είναι τεχνικό αλλά οντολογικό!
Η ερώτηση είναι θα την παραγωγίσουμε να τελειώνουμε και να κάνουμε κάτι πιό δημιουργικό ή θα κάτσουμε να ψάχνουμε το πεδίο ορισμού της και βλέπουμε;
'Η μήπως κάτι άλλο;
Παράλληλο διάβασμα: Το μήνυμα συναρτησιακή και αντίστροφη (viewtopic.php?f=52&t=3566&start=0)
Μαυρογιάννης

papel · #2

Edit Απεσυρα το αποτελεσμα διοτι συμφωνω με το κυριο Αντωνη στο τελος.Εκφωνησεις του τυπου υπολογιστε κατι και μετα τα βρισκουμε δημιουργουν συγχηση το ελαχιστον.

hsiodos · #3

Καλησπέρα

Νίκο στη σελίδα 150 στην εισαγωγή του προβλήματος 1 γράφει επί λέξη:

'' Μη σας νοιάζει το πεδίο ορισμού της f ή της f΄ , βρείτε μόνο ένα τύπο για το f΄(x) , που να δίνει την σωστή απάντηση όταν έχει νόημα."

Γιώργος

papel · #4

Δυστυχως Γιωργο αυτα τα βιβλια τα λεγομενα "Calculus'' αποφευγουν να μπουν στην ουσια των πραγματων διοτι τα περισσοτερα εχουν γραφτει για τις αναγκες πολυτεχνικων σχολων.Προκειται για μια αλγοριθμικη αντιμετωπιση των πραγματων.

#5

papel έγραψε:Δυστυχως Γιωργο αυτα τα βιβλια τα λεγομενα "Calculus'' αποφευγουν να μπουν στην ουσια των πραγμάτων διοτι τα περισσοτερα εχουν γραφτει για τις αναγκες πολυτεχνικων σχολων.Προκειται για μια αλγοριθμικη αντιμετωπιση των πραγματων.

Διαφωνώ. Πιστεύω πως το συγκεκριμένο εγχειρίδιο είναι περιεκτικότατο και εξετάζει τα πράγματα σε αρκετό βάθος για το σκοπό του, (ένα μάθημα απειροστικού λογισμού και όχι ανάλυσης).

Α.Κυριακόπουλος · #6

hsiodos έγραψε:Καλησπέρα
Νίκο στη σελίδα 150 στην εισαγωγή του προβλήματος 1 γράφει επί λέξη:
'' Μη σας νοιάζει το πεδίο ορισμού της f ή της f΄ , βρείτε μόνο ένα τύπο για το f΄(x) , που να δίνει την σωστή απάντηση όταν έχει νόημα."
Γιώργος

Γιώργο, μπροστά από αυτά γράφει: « Για προθέρμανση,…». Εγώ αυτό το ερμηνεύω ως εξής: « Μάθετε πρώτα να εφαρμόζεται τους κανόνες παραγώγισης και τα υπόλοιπα τα βρίσκουμε αργότερα». Αλλά και αυτό που γράφει είναι αντιφατικό. Eνώ στην αρχή λέει: « Μην σας νοιάζει το πεδίο ορισμού της f και f’» και στο τέλος λέει: «… που να δίνει την σωστή απάντηση όταν έχει νόημα!!!» ( τα θαυμαστή δικά μου). Πώς θα βρούμε όμως πότε. έχουν νόημα; Βεβαίως βρίσκοντας τα σύνολα ορισμού τους!!! Να η αντίφαση.

hsiodos · #7

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
hsiodos έγραψε:Καλησπέρα
Νίκο στη σελίδα 150 στην εισαγωγή του προβλήματος 1 γράφει επί λέξη:
'' Μη σας νοιάζει το πεδίο ορισμού της f ή της f΄ , βρείτε μόνο ένα τύπο για το f΄(x) , που να δίνει την σωστή απάντηση όταν έχει νόημα."
Γιώργος
Γιώργο, μπροστά από αυτά γράφει: « Για προθέρμανση,…». Εγώ αυτό το ερμηνεύω ως εξής: « Μάθετε πρώτα να εφαρμόζεται τους κανόνες παραγώγισης και τα υπόλοιπα τα βρίσκουμε αργότερα». Αλλά και αυτό που γράφει είναι αντιφατικό. Eνώ στην αρχή λέει: « Μην σας νοιάζει το πεδίο ορισμού της f και f’» και στο τέλος λέει: «… που να δίνει την σωστή απάντηση όταν έχει νόημα!!!» ( τα θαυμαστή δικά μου). Πώς θα βρούμε όμως πότε. έχουν νόημα; Βεβαίως βρίσκοντας τα σύνολα ορισμού τους!!! Να η αντίφαση.

Καλημέρα

Κύριε Αντώνη συμφωνώ με την ουσία όσων γράψατε.
Πιστεύω ότι πράγματι ο συγγραφέας στο σημείο αυτό επιδιώκει την σωστή (και γρήγορη όπως κατά κάποιο τρόπο "προκαλεί" τον αναγνώστη ) εφαρμογή των κανόνων παραγώγισης.
Όταν φτάνω στο σημείο αυτό κάνω κάτι αντίστοιχο , δίνω στα παιδιά να παραγωγίσουν πολύπλοκους τύπους και τους ζητώ να μην ασχοληθούν με τα σύνολα ορισμού.
Τους τονίζω βέβαια ότι αυτό γίνεται μόνο για τις συγκεκριμένες ασκήσεις αφού δίνονται για εξάσκηση στους κανόνες παραγώγισης.
Προσωπικά νομίζω ότι πρέπει να επιμένουμε στο θέμα που αφορά το πεδίο ορισμού της f΄.
Χαρακτηριστικά όταν κάθε χρόνο ρωτάω για το πεδίο ορισμού της παραγώγου της f(x) = lnx αρκετοί μαθητές δίνουν την (λανθασμένη) απάντηση ότι είναι το R-{0} ,αφού το προσδιορίζουν από τον τύπο της f΄.

Εδώ να τονίσω ότι πολλοί μαθητές επικαλούνται "το λυσάρι" που σε πολλές περιπτώσεις (στο συγκεκριμένο κεφάλαιο και αργότερα στα ολοκληρώματα) απλά γίνεται η παραγώγιση χωρίς αναφορά στα σύνολα ορισμού f και f΄.

Μπαίνει λοιπόν το ερώτημα: Αν σε θέμα ζητηθεί να βρεθεί η f΄ ο μαθητής είναι υποχρεωμένος να αναφερθεί στο πεδίο ορισμού της; Αν δεν το κάνει θα χάσει μόρια;
Για να ασχοληθεί ο μαθητής με το πεδίο ορισμού της f΄ πρέπει να προηγηθεί ειδικό ερώτημα και μετά να του ζητηθεί η εύρεση της f΄ (του τύπου της);
Η άποψη μου (δεν ξέρω αν κάνω λάθος) είναι ότι αν μας ζητηθεί η f΄ πρέπει να προσδιορίσουμε τα σύνολα ορισμού των f , f΄ και μετά να παραγωγίσουμε.

Περιμένω με ενδιαφέρον και την γνώμη του Νίκου Μαυρογιάννη που ξεκίνησε το θέμα.

Γιώργος

ΥΓ. Το βιβλίο Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός (Michael Spivak) το θεωρώ πολύ αξιόλογο.

#8

Κατ΄αρχάς ας δούμε ακριβώς τι γράφει στο εξαίρετο (και εδώ συμφωνώ με τον Αναστάση και τον Γιώργο) βιβλίο του (έστω και αν στα Αγγλικά φέρει το "ταπεινό" τίτλο "Calculus") ο Spivak:

: spivak.png (255.41 KiB) Προβλήθηκε 3405 φορές

nsmavrogiannis έγραψε: Το ερώτημα δεν είναι τεχνικό αλλά οντολογικό!

Θέτω μερικές ενδιάμεσες συναρτήσεις. Το ερώτημα το ίδιο: Βρείτε την $f^{\prime }\left( x\right)$ ). 'Ισως βοηθήσουν ώστε οι ένθεν και ένθεν γνώμες (ή πρόκειται για πεποιηθήσεις;) να γίνουν εδραίες:
$f\left( x\right) =\frac{1}{x+2}$
$f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}-x-2}$
$f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}+x+2}$
$f\left( x\right) =\frac{1}{x^{4}+x-2}$
$f\left( x\right) =\frac{1}{x^{5}-4x+3}$
$f\left( x\right) =\frac{1}{x^{5}-4x+2}$
Τα ξαναλέμε
Μαυρογιάννης

bilstef · #9

Να ρωτήσω κάτι άλλο ;
Γιατί θέλουμε να βρούμε την f ΄(χ) ; Που χρειάζεται ;

Με τις απαντήσεις που εγώ δίνω , νομίζω ότι είναι απαραίτητη η εύρεση του συνόλου Ορισμού ή για διδακτικούς σκοπούς (για να μη ξεχνιόμαστε- νται ) τουλάχιστον πρέπει να συνηθίσουμε τους μαθητές να γράφουν τους τυχόν περιορισμούς.
(Η επίλυση -εύκολη ή δύσκολη -των τυχόν περιορισμών είναι άλλο θέμα και αγγίζει το τι μελετούμε ή τι θέλουμε να αποδείξουμε)

Όπως για τον ίδιο λόγο θα έπρεπε να γίνεται ακόμη από το γυμνάσιο σε οποιαδήποτε πράξη με κλάσματα ,ή με ριζικά.

Στέλιος Μαρίνης · #10

Έχω κι άλλες φορές γράψει ότι, αν θέλουμε με μια άσκηση να εξασκήσουμε τους μαθητές σε μια μέθοδο εργασίας, χωρίς να τους βάλουμε να κάνουν κάποια μορφή διερεύνησης, αρκεί να δώσουμε στην εκφώνηση όσα δεδομένα αρκούν. Τι θα έχανε η εν λόγω άσκηση αν δινόταν Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης το διάστημα 1 έως άπειρο για παράδειγμα; Έτσι, και το σκοπό της εξάσκησης εξασφαλίζουμε και είναι προφανές ότι η παράγωγος έχει το ίδιο πεδίο ορισμού.
ΥΓ (επειδή δεν την έλυσα, ελπίζω το διάστημα που δίνω να καλύπτει τη λύση, αλλιώς το περιορίζουμε περισσότερο)

Ιστοσελίδα · #11

Αν το νόημα βρίσκεται στον "υπολογισμό" ορισμένων παραγώγων, τότε πολύ απλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποιο από τα προγράμματα που μπορούν να το κάνουν και να μην παιδευόμαστε καθόλου. Αν από την άλλη πλευρά θέλουμε απλά να εξασκηθούμε στον υπολογισμό παραγώγων και τη χρήση των κανόνων λογισμού, τότε αυτό μπορεί να γίνει με πολύ πιο εύκολες συναρτήσεις, αν θέλουμε να κάνουμε μαθηματικά ΠΡΩΤΑ ΘΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ, αυτό συνιστά τα λίγα μαθηματικ΄λα που έχει να προσφέρει αυτή η άσκηση...όλα τ' άλλα είναι ελαχίστου νοήματος...

Στέλιος Μαρίνης · #12

polysot έγραψε:αν θέλουμε να κάνουμε μαθηματικά ΠΡΩΤΑ ΘΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ, αυτό συνιστά τα λίγα μαθηματικ΄λα που έχει να προσφέρει αυτή η άσκηση...όλα τ' άλλα είναι ελαχίστου νοήματος...

Άραγε δεν είναι μαθηματικά μια άσκηση με συνάρτηση της οποίας το Πεδίο Ορισμού είναι δοσμενο σε τέτοιο διάστημα ώστε να είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό; Απ' όσο ξερω, κανένα φυσικό φαινόμενο δεν περιγράφεται με συνάρτηση που να έχει Πεδίο Ορισμού το Σύνολο των Πραγματικών αριθμών.
Καλησπέρα

Ιστοσελίδα · #13

Ναι βέβαια, συμφωνώ, αν το π.ο. είναι δοσμένο, όλα καλά. Τότε απλά η άσκηση εξυπηρετεί στον υπολογισμό μίας πολυσύνθετης παραγώγου, η οποία βεβαίως επίσης δε νομίζω να περιγράφει κάποιο φυσικό φαινόμενο...Εντάξει, για χάρη εξάσκησης στους κανόνες υπολογισμού της παραγώγου και ιδιαίτερα της σύνθεσης συναρτήσεων θα μπορούσε να είναι χρήσιμη αυτή η άσκηση, απλά νομίζω ότι μπορεί η δουλειά να γίνει με κάτι απλούστερο.

Ιστοσελίδα · #14

nsmavrogiannis έγραψε:...
Το ερώτημα δεν είναι τεχνικό αλλά οντολογικό!
...
Τα ξαναλέμε
Μαυρογιάννης

Επειδή ακριβώς το θέμα είναι οντολογικό - ιδεολογικό θα προσέθετα εγώ, νομίζω ότι ο μαθηματικός έχει την υποχρέωση να ενδιαφέρεται καταρχήν για την ποιότητα και τελικά για το αποτέλεσμα. ΜΟΝΟ για το τελευταίο ενδιαφέρονται όλοι οι υπόλοιποι (μηχανικοί, ιατροί, -συνήθως όχι θεωρητικοί φυσικοί - κλπ...). Ακόμη κι αν θεωρούμε αντιπαιδαγωγικό να βάζουμε τα παιδιά να υπολογίζουν πεδία ορισμού σε παραπάνω τύπου ασκήσεις, οφείλουμε να τους υποδεικνύουμε να αναφέρουν τουλάχιστον τους περιορισμούς που χρειάζονται ή να τους δίνουμε έτοιμο το π.ο, όπου κρίνουμε κατάλληλο, όπως έχουν αναφέρει συδιαλεγόμενοι παραπάνω.

ΥΓ: Η παράγωγος, αν ενδιαφέρει κάποιον, είναι :

$\displaystyle{-\left( \left( \frac{1}{x-sin\left( x\right) }-\frac{x\,\left( 1-cos\left( x\right) \right) }{{\left( x-sin\left( x\right) \right) }^{2}}\right) \,cos\left( \frac{x}{x-sin\left( x\right) }\right) -1\right) \,cos\left( sin\left( \frac{x}{x-sin\left( x\right) }\right) -x\right) }$

#15

Για τους βιαστικούς λέω προκαταβολικά την γνώμη μου: Θα εφαρμόσουμε τους κανόνες της παραγώγισης, θα βρούμε μία έκφραση σαν αυτή που βρήκε ο polysot και αυτό είναι όλο.

Ας δούμε τα πράγματα πιο συγκεκριμένα: Η συνάρτηση που παραθέτει ο Spivak αναμφίβολα ορίζεται σε κάποιο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ και όπου ορίζεται είναι και παραγωγίσιμη από την εφαρμογή των κανόνων. Με άλλα λόγια $\mathcal{D}_{f^{\prime }}=\mathcal{D}_{f}$ .
Έχουμε τόσους λόγους να μη δεχθούμε την απάντηση όσους έχουμε να μη δεχθούμε και την αρχική συνάρτηση ως «οντότητα». Νομιμοποιείται κάποιος να πει «δεν την παραγωγίζω αφού δεν ξέρω σε ποιά

θα εφαρμόσω τον τύπο που βρήκα;». Η απάντηση μου είναι όχι. Παρεκτός αν πει συγχρόνως ότι «Δεν αποδέχομαι την

γιατί δε μπορώ να βρω σε ποια

ορίζεται». Οπότε αρχίζει μία μεγάλη κουβέντα για το ποιες εκφράσεις-τύπους δεχόμαστε σαν συναρτήσεις. Μόνο εκείνες που μπορούμε να βρούμε το πεδίο ορισμού τους ή όλες; Η γνώμη μου είναι: όλες. Αρκεί μόνο περιγραφή τους να είναι καλώς συντεταγμένη. Οι 7 τύποι
1) $\displaystyle f\left( x\right) =\sin \left( \frac{x}{x-\sin \left( \frac{x}{x-\sin x}\right) }\right)$
2) $f\left( x\right) =\frac{1}{x+2}$
3) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}-x-2}$
4) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}+x+2}$
5) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{4}+x-2}$
6) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{5}-4x+3}$
7) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{5}-4x+2}$
ορίζουν συναρτήσεις με πεδίο ορισμού κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αυτόματα από τα αξιώματα της Θεωρίας Συνόλων. Το μόνο που χρειάζεται είναι το μη κενόν του πεδίου ορισμού τους και νομίζω ότι γι’ αυτό δεν τίθεται καμμία αμφιβολία. Το αν θα μπούμε στον κόπο να το βρούμε είναι άλλη ιστορία. Εξαρτάται από το τι μας ενδιαφέρει. Βρέξει-χιονίσει, το βρούμε-δεν το βρούμε οι συναρτήσεις είναι εκεί. Εκεί δίπλα στέκονται και οι παράγωγοι τους.
Αν αρχίσουμε να αποκλείουμε συναρτήσεις μόνο και μόνο επειδή αδυνατούμε να βρούμε το πεδίο ορισμού τους φτωχαίνουμε επικινδύνως τα Μαθηματικά. Από τον παραπάνω κατάλογο για την 1) δεν ξέρω να βρω το πεδίο ορισμού. Για τις 2) 3) και 4) μπορούν να το βρουν εύκολα οι μαθητές μας. Για τις 5) και 6) δε μπορούν αλλά μπορούμε εμείς ανατρέχοντας σε κατάλληλους τύπους. Στην 7) η πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει από τον μηδενισμό του παρονομαστή δεν είναι επιλύσιμη με ριζικά. Κάποιοι από μας λοιπόν δε μπορούν να βρουν το πεδίο ορισμού της 7). Κάποιοι άλλοι μπορούν να το βρουν επιστρατεύοντας ειδικές συναρτήσεις. Η αναζήτηση του πεδίου ορισμού έχει κάποια εμπόδια κατ’ αρχήν υποκειμενικά. Ωστόσο υπάρχουν και καθολικά εμπόδια που δεν έχουν να κάνουν με την τεχνική κατάρτιση του καθενός αλλά με δομικά ζητήματα υπολογισιμότητας. Έχει αποδειχθεί (βλ. [1]) ότι αν πάρουμε τις συναρτήσεις:
$\iota \left( x\right) \allowbreak =x,\,\,f_{q}\left( x\right) =q,\,\,q\in \mathbb{Q},\,\,g\left( x\right) =\ln 2,\,\,h\left( x\right) =e^{x},\,\,k\left( x\right) =\sin \left( x\right)$
και σχηματίσουμε όλες τις συναρτήσεις που μπορούν να προκύψουν με προσθαφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και συνθέσεις τότε ανάμεσα σε αυτές που θα προκύψουν θα υπάρχει μία ας την πούμε

για την οποία δε μπορούμε να καθορίσουμε αν υπάρχει

ώστε

. Για αυτήν την συνάρτηση δε μπορούμε να βρούμε το πεδίο ορισμού της $\sqrt{w\left( x\right) }$ . Όχι ως καλοί ή κακοί μαθηματικοί. Ως Ανθρωπότητα.

Αν δεν έχουμε την υποχρέωση a priori να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού μιας

, που δεν την έχουμε και το βρίσκουμε μόνο αν συντρέχουν λόγοι, δεν έχουμε την υποχρέωση να βρίσκουμε και το πεδίο ορισμού της $f^{\prime }$ . Ούτε και της $f^{-1 }$ . Κατά τη γνώμη μου στο θέμα viewtopic.php?f=52&p=19078#p19078 για την συνάρτηση

με
$\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$
που εύκολα βγαίνει αντιστρέψιμη η αντίστροφη της βγαίνει με τη μία είτε βρούμε το σύνολο τιμών της

είτε όχι. Αυτά όσον αφορά εμάς τους μεγάλους.

Οι μαθητές μας με τη σειρά τους υποχρεούνται να βρουν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης μόνο όταν τους το ζητάμε. Στα βιβλίο τους (Μαθηματικά Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου) σελίδα133, στον ορισμό της συνάρτησης δεν περιλαμβάνει, και καλά κάνει, ρητά την υποχρέωση να βρίσκεται το πεδίο ορισμού. Η υποχρέωση αυτή εμφανίζεται εμμέσως σε περιπτώσεις ορισμού των πράξεων συναρτήσεων και σαφώς στο «καθηκοντολόγιο» της μελέτης. Το ότι στην εφαρμογή της σελίδας 155 γράφει και ένα y>1

δεν συνεπάγεται κατά τη γνώμη μου και την πάγια υποχρέωση να βρίσκουμε το σύνολο τιμών ειδικά σε εκείνο το στάδιο. Εξ΄ άλλου οι οδηγίες διδασκαλίας αναφέρουν ότι «Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης προσδιορίζεται, όταν χρειάζεται, μόνο με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Αργότερα, βέβαια, για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί και η παράγωγος.» (σελίδα 126 για την έκδοση 2007-2008).

Τελειώνοντας θα ήθελα να αναφέρω μερικά παραδείγματα για την προσήλωση στους περιορισμούς που επιδεικνύουν μερικά καταξιωμένα βιβλία (εκτός από το βιβλίο του Spivak στο οποίο αναφέρθηκα και όπου στο κεφάλαιο 3 υπάρχει μία αριστοτεχνική παρουσίαση):

1) O Kuratowski (σελίδα 158) γράφει χωρίς κανένα περιορισμό:

$\frac{d\log \sin \left( x^{2}\right) }{dx}=\frac{d\log \sin \left( x^{2}\right) }{d\sin \left( x^{2}\right) }\cdot \frac{d\sin \left( x^{2}\right) }{dx^{2}}\cdot \frac{dx^{2}}{dx}=\frac{1}{\sin \left( x^{2}\right) }\cos \left( x^{2}\right) 2x=2x\cot \left( x^{2}\right)$

2) Ο Rudin έχει την ακόλουθη άσκηση (σελίδα 114):

Υποθέτουμε ότι οι $f^{\prime }\left( x\right) ,g^{\prime }\left( x\right)$ υπάρχουν ότι $g^{\prime }\left( x\right) \neq 0$ και $f\left( x\right) =g\left( x\right) =0$ . Δείξτε ότι
$\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{f\left( t\right) }{g\left( t\right) }=\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }$

3) Ο Apostol (σελίδα 82) ορίζει μία συνάρτηση ως εξής:

$f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\sin x - \sin y}}{{\tan x - \tan y}},} & {\tan x \ne \tan y} \\ {\cos ^3 x,} & {\tan x = \tan y} \\ \end{array}} \right.$

4) Οι Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας αν και σε πλείστες ασκήσεις δίνουν έτοιμα τα πεδία ορισμού περιλαμβάνουν (σελίδα 356) και την άσκηση:

Υπολογίστε τις παραγώγους (στα σημεία που υπάρχουν) των παρακάτω συναρτήσεων $f:I \to \mathbb{R}$ , όπου(κατάλληλο) διάστημα των πραγματικών αριθμών με:
….
….
(xiv) $f\left( x\right) =\frac{x}{\root{3}\of{x^{3}-2x+7}}$

Παραπομπές:
[1] Richardson D. Some Undecidable Problems Involving Elementary Functions of a Real Variable, Journal of Symbolic Logic, 33, 1968, 514-520
[2] Kuratowski K. Introduction to Calculus, Pergamon-PWS, 1969
[3] Rudin W. Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw Hill, 1964
[4] Apostol T. Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1973
[5] Νεγρεπόντης κ.α. Απειροστικός Λογισμός, Τόμος Ι, Συμμετρία, 1987

Ιστοσελίδα · #16

Άρα λοιπόν θα πρέπει να προχωρά ο μαθητής εμπιστευόμενος εμάς, ίσως εξαρτώμενος από εμάς, χωρίς να κάνει ούτε μία αναφορά στο πεδίο ορισμού σε καμία συνάρτηση. Αυτό όμως, αν και πράγματι δεν μπορεί να υπολογιστεί σε αρκετές περιπτώσεις, δεν είναι ούτε επιστημονικά, ούτε διδακτικά ορθό κατά τη γνώμη μου.

Αναφέρομαι παρακάτω στην περίπτωση που δίνεται συνάρτηση χωρίς το πεδίο ορισμού της.

Το επιστημονικώς ορθό επιβάλλει το πεδίο ορισμού ως μέρος της συνάρτησης, διότι αλλιώς αυτή μπορεί να μην έχει νόημα. Τουλάχιστον πρέπει να γνωρίζουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι μη κενό σύνολο. Επίσης, όλοι οι παραπάνω συγγραφείς σημειώνουν ή εννοούν ότι υπολογίζουμε την παράγωγο ή ό,τι άλλο όπου αυτό έχει νόημα, χωρίς να βρίσκουμε πεδία ορισμού κλπ, απλά και μόνο για να επικεντρώσουμε στο κατά περίπτωση θέμα(πχ υπολογισμός παραγώγου).

Από διδακτική άποψη τώρα : Είναι αναγκαίο είτε να δίνουμε στους μαθητές το π.ο, είτε να τους βάζουμε να το υπολογίσουν ΠΑΝΤΑ ή έστω να βεβαιωθούν για την ύπαρξή του και τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η ανεξάρτητη μεταβλητή, ώστε να μπορούν να αποφύγουν περίεργες καταστάσεις. Πχ στον υπολογισμό της παραγώγου της ρίζας χ ποιο θα ήταν το αποτέλεσμα της παραγώγισης χωρίς επεξεργασία του πεδίου ορισμού; Ή ακόμα στον ορισμό της σύνθεσης δύο συναρτήσεων ; Θα έπρεπε δηλαδή να ορίζουμε τον τύπο της συνάρτησης της σύνθεσης χωρίς να ενδιαφερόμαστε για το αν η συνάρτηση αυτή έχει νόημα; Δεν είναι ακόμη πολυπλοκότερο να ωθήσουμε τα παιδιά στη διαδικασία να αποφασίζουν πότε θα πρέπει και πότε όχι να βρουν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης;

Φιλικά,
polysot.

hsiodos · #17

Καλησπέρα
Παρακάτω γράφω μερικές σκέψεις και στο τέλος μια γενική γνώμη(που απέχει από το να είναι πεποίθηση).
Δεν πρόκειται για αντιπαράθεση με τον Νίκο Μαυρογιάννη του οποίου την επιστημονική-μαθηματική αρτιότητα ούτε καν πλησιάζω και τον οποίο εξάλλου εκτιμώ ιδιαιτέρως.
Απλά θέλω να ξεκαθαρίσω(σουμε) όσο γίνεται καλύτερα το θέμα αυτό.

nsmavrogiannis έγραψε: Οι 7 τύποι
1) $\displaystyle f\left( x\right) =\sin \left( \frac{x}{x-\sin \left( \frac{x}{x-\sin x}\right) }\right)$
2) $f\left( x\right) =\frac{1}{x+2}$
3) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}-x-2}$
4) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}+x+2}$
5) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{4}+x-2}$
6) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{5}-4x+3}$
7) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{5}-4x+2}$
ορίζουν συναρτήσεις με πεδίο ορισμού κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αυτόματα από τα αξιώματα της Θεωρίας Συνόλων. Το μόνο που χρειάζεται είναι το μη κενόν του πεδίου ορισμού τους και νομίζω ότι γι’ αυτό δεν τίθεται καμμία αμφιβολία.

Τι γίνεται όμως αν τίθενται αμφιβολίες; Για παράδειγμα:
Αν $f(x)=\frac{ln(-e^x)}{x^2+x-2}$ να βρείτε την f΄(x)

Εδώ τι πρέπει να κάνει ο μαθητής ; Να παραγωγίσει ή να αιτιολογήσει ότι δεν ορίζεται τέτοια συνάρτηση και να σταματήσει εκεί; Αν τον έχουμε εθίσει στις ασκήσεις αυτές να μην προσέχει το πεδίο ορισμού προφανώς θα παραγωγίσει.

nsmavrogiannis έγραψε: Αν δεν έχουμε την υποχρέωση a priori να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού μιας , που δεν την έχουμε και το βρίσκουμε μόνο αν συντρέχουν λόγοι, δεν έχουμε την υποχρέωση να βρίσκουμε και το πεδίο ορισμού της $f^{\prime }$ . Ούτε και της $f^{-1 }$ . Κατά τη γνώμη μου στο θέμα viewtopic.php?f=52&p=19078#p19078 για την συνάρτησημε
$\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$
που εύκολα βγαίνει αντιστρέψιμη η αντίστροφη της βγαίνει με τη μία είτε βρούμε το σύνολο τιμών της είτε όχι. Αυτά όσον αφορά εμάς τους μεγάλους.

Οι μαθητές μας με τη σειρά τους υποχρεούνται να βρουν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης μόνο όταν τους το ζητάμε. Στα βιβλίο τους (Μαθηματικά Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου) σελίδα133, στον ορισμό της συνάρτησης δεν περιλαμβάνει, και καλά κάνει, ρητά την υποχρέωση να βρίσκεται το πεδίο ορισμού. Η υποχρέωση αυτή εμφανίζεται εμμέσως σε περιπτώσεις ορισμού των πράξεων συναρτήσεων και σαφώς στο «καθηκοντολόγιο» της μελέτης. Το ότι στην εφαρμογή της σελίδας 155 γράφει και έναδεν συνεπάγεται κατά τη γνώμη μου και την πάγια υποχρέωση να βρίσκουμε το σύνολο τιμών ειδικά σε εκείνο το στάδιο. Εξ΄ άλλου οι οδηγίες διδασκαλίας αναφέρουν ότι «Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης προσδιορίζεται, όταν χρειάζεται, μόνο με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Αργότερα, βέβαια, για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί και η παράγωγος.» (σελίδα 126 για την έκδοση 2007-2008).

1. Όσον αφορά το σύνολο τιμών.

α) Δηλαδή στις ασκήσεις που ζητάμε την αντίστροφη της f(όταν υπάρχει) είτε δίνεται ο τύπος της είτε έχουμε συναρτησιακή σχέση η απάντηση θα θεωρείται πλήρης αν βρίσκουμε τον τύπο της αντίστροφης χωρίς να ασχοληθούμε με το πεδίο ορισμού της;
β) Δηλαδή χωρίς χρήση παραγώγων και απουσία της γραφικής παράστασης της f δεν μπορούμε να ζητήσουμε από τον μαθητή να βρει σύνολο τιμών; Δηλαδή το β) ερώτημα στο θέμα(topic) που παραπέμπει ο Νίκος δεν μπορεί να τεθεί σαν αυτοτελής άσκηση; Μα η ουσιαστική αναφορά στο σύνολο τιμών γίνεται στο 1ο κεφάλαιο (πριν τις παραγώγους) και μάλιστα υπάρχουν και σχετικές ασκήσεις!

2.
α) όσον αφορά το σχολικό βιβλίο και το πεδίο ορισμού. Αναφέρει για την περίπτωση που δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f αλλά μόνο ο τύπος της: '' Θα θεωρούμε συμβατικά ότι το πεδ. ορισμού της f είναι ...το f(x) έχει νόημα."
Λέει "θεωρούμε " , αυτό που "θεωρούμε " θα το προσδιορίζουμε κατά κάποιο τρόπο ή όχι;

β) παραδείγματα

1. Αν $f(x) = \frac{(x-1)^2}{x-1}-x^2$ να λύσετε την εξίσωση f΄(x)= -1 (1)
Αν ο μαθητής δεν ασχοληθεί με το πεδίο ορισμού θα κάνει δεκτή ως λύση της (1) την τιμή x=1.

2. Αν $f(x) = \left|x-1 \right|+ln(x)$ να βρείτε την f΄(x) όταν $x\neq 1$

Η απάντηση ενός κάποιου μαθητή ότι f΄(x)= $1+\frac{1}{x}\,\,\,\alpha \nu\,\,\,\, x>1$ και f΄(x)= $-1+\frac{1}{x}\,\,\,\alpha \nu\,\,\,\, x<1$ είναι σωστή;
Ίσως κάποιος θα πει ότι εδώ έχουμε πράξεις μεταξύ συναρτήσεων και άρα ο μαθητής πρέπει αρχικά να βρει το πεδίο ορισμού.

Ναι αλλά...

3. Να βρείτε την f΄(x) όταν: α) $f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}+x+2}$ β) $f(x)=\frac{1}{x^3+x-2} + ln(x)$
... και εδώ έχουμε πράξεις μεταξύ συναρτήσεων . Θα βρούμε το πεδίο ορισμού ή όχι;

4. Αν f(x)= x^2+ ln(x)

να βρείτε το f΄(-1)
Φυσικά το ζητούμενο δεν έχει έννοια. Αν κάποιος μαθητής δεν ασχοληθεί με το πεδίο ορισμού μπορεί να απαντήσει f΄(-1)=-3.

Μέσα από τα παραδείγματα αυτά θέλω να ρωτήσω:
Αφού εκ των προτέρων δεν έχουμε τη υποχρέωση να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού , πότε συντρέχουν λόγοι (και ποιοι) τελικά να το προσδιορίζουμε; Πως οι μαθητές θα εκπαιδευτούν να αντιλαμβάνονται ότι έχουν την υποχρέωση αυτή όταν εμφανίζεται έμμεσα;
Υπάρχει τρόπος να δώσουμε στους μαθητές ένα κατάλογο περιπτώσεων που εκεί θα πρέπει να βρίσκουν το πεδίο ορισμού;

Η γνώμη μου (αυτά εφαρμόζω στο μάθημα) σχετικά με το θέμα αυτό είναι:
1.Μέσα στη τάξη όταν ο σκοπός του μαθήματος είναι άλλος(π.χ εξάσκηση στους κανόνες παραγώγισης ή κάτι άλλο) ζητώ από τους μαθητές να μην ασχοληθούν με τα πεδία ορισμού.

2. Γενικά όμως (αντιμετώπιση ασκήσεων- θεμάτων , στο σπίτι , στα διαγωνίσματα , στις πανελλήνιες) σε ανάλογα θέματα τους ζητώ να βρίσκουν τα πεδία ορισμού με την διευκρίνηση ότι:
Στην περίπτωση που η εύρεση του πεδίου ορισμού είναι δύσκολη -χρονοβόρα(μας απομακρύνει από την ουσία των ερωτημάτων και δεν προαπαιτείται για την αντιμετώπισή τους , π.χ μελέτη συνάρτησης) να κάνουν μια γενική αναφορά στο πεδίο ορισμού με περιγραφή του.
Το ίδιο και αν το πεδίο ορισμού δεν μπορεί να βρεθεί.
Για παράδειγμα στην άσκηση του Michael Spivak :Βρείτε το $f^{\prime }\left( x\right)$ για την
$\displaystyle f\left( x\right) =\sin \left( \frac{x}{x-\sin \left( \frac{x}{x-\sin x}\right) }\right)$ θα μπορούσαμε να πούμε:
Η f ορίζεται στο σύνολο $A=\left\{x\in R^*/x-sin\left(\frac{x}{x-sinx} \right)\neq 0\left \right \right\}$ είναι παραγωγίσιμη στο Α με f΄(x)= ....
Το Α δεν είναι το κενό αφού για παράδειγμα ο αριθμός π ανήκει στο Α.

Γιώργος

Α.Κυριακόπουλος · #18

Το θέμα αυτό είναι εντελώς όμοιο με το σύνολο ορισμού μιας εξίσωσης, το οποίο έχουμε συζητήσει εκτενώς εδώ στο mathematica.
Το έχω γράψει πολλές φορές;
• «Αν ένα λάθος το δούμε γραμμένο 1000 φορές δεν σημαίνει ότι είναι σωστό».
Τις παρακάτω ασκήσεις τiς αφιερώνω σε αυτούς που νομίζουν ότι δεν πρέπει να ασχολούμεθα με τα σύνολα ορισμού( και ακολουθώ τη γνώμη τους).
Άσκηση 1.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
$\displaystyle{f(x) = \sqrt {\ln (\sigma \upsilon \nu x)} }$ .
Λύση. Έχουμε:
$\displaystyle{f'(x) = \frac{{{{\left( {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)} }} = ... = \frac{{ - \varepsilon \phi x}}{{2\sqrt {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)} }}}$ .
Άσκηση 2.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
$\displaystyle{F(x) = \int\limits_{\frac{1}{x}}^x {\frac{{\ln t}}{{{t^2} - 1}}} dt}$ .
Λύση. Ονομάζουμε G μια παράγουσα της συνάρτησης: $\displaystyle{f(t) = \frac{{\ln t}}{{{t^2} - 1}}}$ . Έτσι έχουμε:
$\displaystyle{F(x) = \int\limits_{\frac{1}{x}}^x {G'(t)dt} = G(x) - G\left( {\frac{1}{x}} \right)}$ .
Συνεπώς:
$\displaystyle{F'(x) = G'(x) - G'\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = ... = \frac{{2\ln x}}{{{x^2} - 1}}}$ .
Σχόλιο. Πρέπει να είμαστε χαρούμενοι που βρήκαμε τις παραγώγους; Εγώ λέω όχι. Γιατί;

#19

Για το πρώτο:
Είναι: $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x > 0\;\; \Leftrightarrow \;\;x \in \left( {2\kappa \pi - \frac{\pi }{2},\;2\kappa \pi + \frac{\pi }{2}} \right),\;\;\kappa \in {\rm Z}$
Επειδή στο διάστημα αυτό είναι: $\displaystyle 0 \le \sigma \upsilon \nu x \le 1$ ,τότε $\displaystyle \ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right) \le 0$ με το (=) μόνο στα σημεία όπου $\displaystyle x = 2\kappa \pi ,\;\;\kappa \in {\rm Z}$ ,
άρα η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)}$ έχει Π.Ο. τα σημεία του συνόλου $\displaystyle A = \left\{ {x / x= 2\kappa \pi ,\;\kappa \in {\rm Z}} \right\}$ , οπότε δεν είναι παραγωγίσιμη, αφού ορίζεται σε μεμονωμένα σημεία.

Για το δεύτερο:

H $\displaystyle f\left( t \right) = \frac{{\ln t}}{{t^2 - 1}}$ ορίζεται στο $\displaystyle \left( {0,1} \right) \cup \left( {1,\; + \infty } \right)$ , οπότε για κάθε 0 < x < 1 είναι $\displaystyle \frac{1}{x} > 1$ , άρα η F(x) δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle \left( {x,\;\frac{1}{x}} \right)$ ...

και ανάλογα για την περίπτωση x > 1...

Γιώργος Ρίζος

Edit: Έκανα μια διόρθωση στο διάστημα (1/x, x) σε (x, 1/x). Ευχαριστώ τον Μάκη για την υπόδειξη,

#20

Kαλησπέρα!
Κύριε Αντώνη, στην ερώτηση σας, αν πρέπει να είμαστε χαρούμενοι που υπολογίσαμε παραγώγους στις συναρτήσεις που αναφέρατε, θα απαντήσω ως εξής:
Εγω προσωπικά δε θα ήμουν καθόλου ευχαριστημένος αν κάποιος συνάδελφος είχε δώσει το θέμα ,διατυπωμένο με αυτή
τη μορφή σε ΜΑΘΗΤΕΣ. Ο λόγος είναι απλός, τη θεωρώ σα μια προκατασκευασμένη ''παγίδα'', μακριά απο το πνεύμα της διδασκαλίας και της χρησιμότητας των μαθηματικών. Με άλλη διατύπωση ( εννοώ κλιμακούμενης φυσικά, μιας και ο στόχος της άσκησης είναι άλλος) , ίσως και να συμφωνούσα για τη διδακτικότητα της άσκησης.
Πρέπει με σαφήνεια , να πληροφορούμε τους μαθητές για αυτό που θέλουμε να μας βρούν.
Όσον αφορά τα υπόλοιπα, οφείλω να ξαναπώ , πως συμφωνώ με την εύρεση του συνόλου ορισμού, ακόμα και περιγραφικά στις ...δύσκολες περιπτώσεις.
Τώρα , ομολογουμένως στην περίπτωση της άσκησης του spivak, δείχνεται το αντίθετο, το αποκρουστικό της υποθέσεως
''εύρεση συνόλου ορισμού''. Σε αυτήν την περίπτωση επιλέγω την ''περιγραφική'' μέθοδο κι ας μην το έχω προσδιορίσει πλήρως.

Βρείτε...

Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Ένας τρόπος να υπηρετηθούν όλοι οι στόχοι

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Re: Βρείτε...

Μέλη σε σύνδεση