Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Ιστοσελίδα · #1

Στις Πανελλήνιες εξετάσεις των Γενικών Λυκείων 2010, μια λύση του θέματος Γ3 οδηγεί στον υπολογισμό του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_{\, - 1}^{\,1} {x\ln (x^2 + 1)dx} }$ με αντικατάσταση όπου η συνάρτηση $\phi \left( x \right) = x^2 + 1$ δεν είναι 1-1 στο διάστημα $\left[ { - 1,1} \right]$ .
Είναι άραγε αναγκαία συνθήκη η $\phi \left( x \right)$ να είναι 1-1 ώστε η λύση να είναι έγκυρη;

H ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
(Μελέτη περίπτωσης)

ΠΡΟΤΑΣΗ

Μια συνάρτηση $\phi$ είναι ορισμένη και έχει συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ .
Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο $\phi \left( {\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \right)$ τότε είναι έγκυρη η ισότητα $\int_{\,\alpha }^{\,\beta } {f\left( {\phi (x)} \right)\phi '\left( x \right)} dx = \int_{\,\phi \left( \alpha \right)}^{\,\phi \left( \beta \right)} {f\left( x \right)} dx$

Απόδειξη

Το $\phi \left( {\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \right)$ είναι κλειστό διάστημα αφού η $\phi$ είναι συνεχής στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ και δεν είναι σταθερή.
Aν

είναι μια παράγουσα της

στο $\phi \left( {\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \right)$ θα ισχύει ότι $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ για κάθε $x \in \phi \left( {\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \right)$ (Η F υπάρχει αφού η f είναι συνεχής)
Η συνάρτηση $f\left( {\phi (x)} \right)\phi '(x)$ είναι συνεχής στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ και έτσι θα έχουμε ότι
$\begin{array}{l} \int_{\,\alpha }^{\,\beta } {f\left( {\phi (x)} \right)\phi '\left( x \right)} dx = \int_{\,\alpha }^{\,\beta } {F'\left( {\phi (x)} \right)\phi '\left( x \right)} dx = \int_{\,\alpha }^{\,\beta } {\left[ {F\left( {\phi (x)} \right)} \right]\,^\prime } dx = \left[ {F\left( {\phi (x)} \right)} \right]_{\,\alpha }^{\,\beta } = \ F\left( {\phi (\beta )} \right) - F\left( {\phi (\alpha )} \right) = \int_{\,\phi \left( \alpha \right)}^{\,\phi \left( \beta \right)} {F'\left( x \right)} dx = \int_{\,\phi \left( \alpha \right)}^{\,\phi \left( \beta \right)} {f\left( x \right)} dx \\ \end{array}$

Εφαρμογή

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\, - 1}^{\,1} {x\ln (x^2 + 1)dx} }$

Λύση
Έχουμε $\displaystyle{\int_{\, - 1}^{\,1} {x\ln (x^2 + 1)dx} }$ = $\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{\, - 1}^{\,1} {\ln (x^2 + 1)\left( {x^2 + 1} \right)^\prime dx} }$

Η συνάρτηση $\phi \left( x \right) = x^2 + 1$ έχει συνεχή παράγωγο στο $\left[ { - 1,1} \right]$ με $\phi \left( {\left[ { - 1,1} \right]} \right) = \left[ {1,2} \right]$ , ενώ η συνάρτηση $f\left( x \right) = \ln x$ είναι συνεχής στο $\phi \left( {\left[ { - 1,1} \right]} \right) = \left[ {1,2} \right]$ με $\phi \left( { - 1} \right) = 2$ και $\phi \left( 1 \right) = 2$
Επομένως ισχύει ότι $\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{\, - 1}^{\,1} {\ln (x^2 + 1)\left( {x^2 + 1} \right)^\prime dx} = \frac{1}{2}\int_{\,2}^{\,2} {\ln (x)dx} }$ = $\frac{1}{2}0 = 0$

Μίλτος Παπαγρηγοράκης

Ιστοσελίδα · #2

Γειά σας
Συμπλήρωσα με δύο ακόμα παραδείγματα το αρχείο που δημοσιεύτηκε στο προηγούμενο μήνυμα, διόρθωσα και κάποια τυπογραφικά.

antik_orism_olokl_m.papagrigorakis.pdf: (194.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 228 φορές

parmenides51 · #3

Διορθώστε με αν κατάλαβα λάθος, αλλά γιατί η αντικατάσταση u = x^2 + 1

στο ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\, - 1}^{\,1} {x\ln (x^2 + 1)dx} }$ έχει πρόβλημα; Που αποσκοπεί η παραπάνω πρόταση του Μίλτου;

Το σκεπτικό μου είναι
$\displaystyle{u = x^2 + 1\Rightarrow du=2xdx \Rightarrow xdx=\frac{du}{2}}$
για x=-1

είναι

για

είναι

οπότε $\displaystyle{\int_{\, - 1}^{\,1} {x\ln (x^2 + 1)dx} =\int_{\, 2}^{\,2} {\frac{\ln u}{2} du}=0}$

Πού κάνω λάθος;

#4

Δες εδώ : σελ 15 , 16
download/file.php?id=11309

Α.Κυριακόπουλος · #5

βλέπε εδώ

Ιστοσελίδα · #6

Νομίζω ότι τα πράγματα μπερδεύονται χωρίς να υπάρχει λόγος!!! Κανένα θεώρημα δεν απαιτεί το 1-1 στην αντικατάσταση, εφόσον δεν απαιτείται από την αντικατάσταση να λύσεις την αλλαγή μεταβλητής ως προς x. Αν αυτό χρειαστεί είναι θέμα απλής λογικής να καταλάβεις πότε γίνεται και πότε όχι (σε κάποια διαστήματα κλπ).

parmenides51 · #7

Αφού διάβασα τις σχετικές παραπομπές, Σωτήρη θα συμφωνήσω μαζί σου.
Δεν χρειάζεται το 1-1 στην λύση, οπότε η παραπάνω λύση μου είναι σωστή.

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζει ο Δ. Μπουνάκης (σελ.16 παράδειγμα 1, παραπομπή του exdx) το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\, - 1}^{\,1} {(2x-1)(x^2-x + 2011)dx} }$
και ικανοποιείται η προϋπόθεση της συνεχούς παραγώγου της αλλαγής μεταβλητής $\displaystyle{u=x^2+1}$ που αναφέρουν ο Δάσκαλος Αντώνης με το Τασσόπουλο στην άλλη παραπομπή. Ενδεχομένως να έπρεπε αναφέρω κι αυτήν.
Η παραπάνω πρόταση του Μίλτου είναι μια διαπραγμάτευση σχετικά με το εαν χρειάζεται το 1-1 στην αλλαγή μεταβλητής.
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.

Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Πανελλ_2010_Γ4 H αντικατάσταση στo ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση