Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

#1

Στο συνημμένο υπάρχουν μερικά ωραία συμπεράσματα των θεωρημάτων μέσης τιμής. Κάποια από αυτά μπορούν να διδαχτούν και στη σχολική τάξη.
Αν βρείτεκάποιο τυπογραφικό ή άλλο λάθος , θα χαρώ να μου το επισημάνετε με όποιο τρόπο θέλετε.

Σχόλια

Χάρις στο mathtype που τόσο άμεσα μου στείλατε για τον υπολογιστή του σχολείο, μπόρεσα σήμερα το πρωί και έγραψα το άρθρο.Ευτυχώς στο σχολείο δεν είχα δουλειά και μόνο η έκδοση των αποτελεσμάτων των επανεξεταστέων μας απασχόλησε λίγο.
(Είναι ένα από τα καλά του σχολείου !).Ελπίζω να πρόσθεσα κάτι στον χώρο της σχολικής ανάλυσης που τόσο αγαπάτε οι περισσότεροι. Αν κάποιος θελήσει να προσθέσουμε και τις αποδείξεις των θεωρημάτων που αναφέρονται στο κείμενο, ας τις γράψει και να μου τις στείλλει(με τον ίδιο τύπο και μέγεθος γραμμάτων).

Μπάμπης

#2

Σας ευχαριστούμε πολύ

!
Το θεώρημα 2 απαντάει σε ένα θέμα που είχε θέσει ο Αναστάσης εδώ: viewtopic.php?f=9&t=1333&start=0!

Νίκος Κατσίπης

#3

Μετά από ορισμένες χρήσιμες τυπογραφικές διορθώσεις που επισήμαναν ο Μιχάλης Λάμπρου και ο Χρήστος Καρδάσης, ξαναέβαλα το αρχείο σε πιο άρτια μορφή.
Ας διαγράψετε λοιπόν το παλιό , όσοι το αποθηκεύσατε , και ας βάλετε το καινούριο.

Σας ευχαριστώ - Μπάμπης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #4

Καλημέρα σε όλους,

Με αφορμή το 2ο θεώρημα του ολοκληρωτικου λογισμου που αναφέρεται μεταξύ άλλων στο δεκασέλιδο άρθρο του κ.Μπάμπη Στεργίου παραθέτω την ακόλουθη
Ασκηση
Έστω $\displaystyle{ g:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής, αύξουσα συνάρτηση και $\displaystyle{ f:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in \,[a,\beta ] }$ ώστε $\displaystyle{ \int_a^\beta {f(x)g(x)dx} = g(a)\int_a^\xi {f(x)} dx\, + \,g(\beta )\int_\xi ^\beta {f(x)} dx }$ .

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Καλημέρα σε όλους,

Με αφορμή το 2ο θεώρημα του ολοκληρωτικου λογισμου που αναφέρεται μεταξύ άλλων στο δεκασέλιδο άρθρο του κ.Μπάμπη Στεργίου παραθέτω την ακόλουθη
Ασκηση
Έστω $\displaystyle{ g:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής, αύξουσα συνάρτηση και $\displaystyle{ f:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in \,[a,\beta ] }$ ώστε $\displaystyle{ \int_a^\beta {f(x)g(x)dx} = g(a)\int_a^\xi {f(x)} dx\, + \,g(\beta )\int_\xi ^\beta {f(x)} dx }$ .

Στράτο, λες και αυτό το ξ(χ) να έχει καμιά παρόμοια ιδιότητα ; Θα είχε ενδιαφέρον να το κοιτάξει κάποιος , αν έχει λιγο χρόνο!

Μπάμπης

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Καλημέρα σε όλους,

Έστω $\displaystyle{ g:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής, αύξουσα συνάρτηση και $\displaystyle{ f:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in \,[a,\beta ] }$ ώστε $\displaystyle{ \int_a^\beta {f(x)g(x)dx} = g(a)\int_a^\xi {f(x)} dx\, + \,g(\beta )\int_\xi ^\beta {f(x)} dx }$ .

Για ευκολία θα κάνουμε την λύση για την ειδική περίπτωση όπου η g ' είναι συνεχής. Παρακάτω όμως θα κάνουμε δεύτερη απόδειξη χωρίς αυτήν την επιπλέον παραδοχή.

Απόδειξη. Θέτουμε $F(x) = \int_a^xf(t)dt$ , οπότε F(a) = 0. Από α' θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει ξ με

$\int_a^b F(x)g'(x)dx = F(\xi) \int_a^b g'(x)dx = F(\xi) (g(b) - g(a))$ .
Όμως, ολοκληρώνοντας κατά μέρη, το αριστερό μέλος δίνει

$\int_a^b F(x)g(x)dx = (F(b)g(b) - F(a)g(a)) - \int_a^b F'(x)g(x)dx = \\ F(b)g(b) - 0 - \int_a^b f(x)g(x)dx$

που εύκολα βλέπουμε ότι ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

(χωρίς την υπόθεση ότι g' συνεχής, βλέπε παρακάτω)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #7

Καλησπέρα Μιχάλη κάτι που δυσκολεύομαι να το συλλάβω....-είναι και η κουραση απο τα μαθηματα-πως προκύπτει g παραγωγισιμη με συνεχή παραγωγο από τις υποθέσεις της g;

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Καλημέρα σε όλους,

Έστω $\displaystyle{ g:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής, αύξουσα συνάρτηση και $\displaystyle{ f:[a,\beta ] \to R }$ μια συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in \,[a,\beta ] }$ ώστε $\displaystyle{ \int_a^\beta {f(x)g(x)dx} = g(a)\int_a^\xi {f(x)} dx\, + \,g(\beta )\int_\xi ^\beta {f(x)} dx }$ .

Απόδειξη. Θέτουμε $F(x) = \int_a^xf(t)dt$ , οπότε F(a) = 0 και, χωρίς βλάβη στη γενικότητα, F(b) $\ge 0$ (αλλιώς αντικαθιστούμε την f με την -f). Επίσης υποθέτουμε ότι g(b) > g(a) (αλλιώς g(b) = g(a), οπότε g σταθερή, και η άσκηση τετριμμένη).

Εξετάζουμε τον αριθμό

$\frac{g(b)F(b) - \int_a^bg(x)F'(x)dx}{g(b)-g(a)}$ (*)

Από α' θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει θ με $\int_a^bg(x)F'(x)dx = g(\theta)\int_a^bF'(x)dx = g(\theta)F(b)$

Άρα ο αριθμός (*) ισούται με $\frac{g(b)-g(\theta)}{g(b)-g(a)}\cdot F(b)$ (**)

Όμως $0 \le \frac{g(b)-g(\theta)}{g(b)-g(a)} \le 1$
οπότε ο αριθμός (**) είναι μεταξύ του 0 = F(a) και F(b). Συνεπώς από Bolzano υπάρχει ξ με $\frac{g(b)-g(\theta)}{g(b)-g(a)}\cdot F(b) = F(\xi)$ .

Συνοψίζοντας,

$\frac{g(b)F(b) - \int_a^bg(x)F'(x)dx}{g(b)-g(a)}= F(\xi)$

που εύκολα βλέπουμε ότι ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Στράτο: σωστή η ένστασή σου. Tώρα το έφτιαξα. Άφησα όμως και την περίπτωση g' συνεχής, γιατί είναι πιο εύκολη.
Ας διευκρινίσω ότι η απόδειξη της γενικής περίπτωσης είναι ουσιαστικά η ίδια με την ειδική. Οι δύο περιπτώσεις είναι μόνο φαινομενικά διαφορετικές. Απλά βρίσκουμε ένα μικρό τέχνασμα - μεταξύ των βημάτων (*) και (**) - για να παρακάμψουμε την υπόθεση της συνέχειας της g'.
Όταν πρωτοέλυνα την άσκηση είδα ότι δεν χρειάζεται η υπόθεση ότι g' συνεχής, αλλά για να ανακαλύψω ποιά συνάρτηση θα χρησιμοποιήσω (για να βρώ δηλαδή το κλειδί της άσκησης) χρησιμοποίησα g' συνεχής. Στο τέλος ξέχασα ότι είχα βάλει μία παραπάνω παραδοχή, και έγραψα την λύση "ως έχει" .

pito · #9

Μια παρόμοια άσκηση με αυτή που πρότεινε ο Στράτος ( μπορεί να έχει ξανασυζητηθεί):

Αν οι συναρτήσεις f,g

είναι συνεχείς στο $[a,\beta ]$ , η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[a,\beta ]$ και
$g(x)\geq 0$ για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$ , να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in [a,\beta ]$ τέτοιο ώστε

$\int_{a}^{\beta }{f(x)g(x)dx}=f(a)\int_{a}^{\xi }{g(x)dx}+f(\beta )\int_{\xi }^{\beta }{g(x)dx}$

Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Re: Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

Μέλη σε σύνδεση