Αύξουσα

#1

Έστω $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ συνεχής με την ιδιότητα για κάθε $\displaystyle{a,b \in \Bbb{R}}$ με $\displaystyle{a<b}$ υπάρχουν $\displaystyle{c_1,c_2 \in [a,b]}$

με $\displaystyle{c_1 \le c_2}$ και $\displaystyle{f(c_1)=min\{f(x)/x \in [a,b]\}}$ και $\displaystyle{f(c_2)=max\{f(x)/x \in [a,b]\}}$

Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα.

#2

Σπύρο χαιρετώ. Μία προσπάθεια:
Ας υποθέσουμε ότι το αποδεικτέο δεν ισχύει και πως για κάποια $\displaystyle{a < b}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( a \right) > f\left( b \right)}$ .
Από υπόθεση υπάρχουν $\displaystyle{a \le {c_1} < {c_2}\;\, \le b}$ ώστε
$\displaystyle{f\left( {\left[ {a,\,b} \right]} \right) = \left[ {f\left( {{c_1}} \right),\,f\left( {{c_2}} \right)} \right]\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}$
Ας ονομάσουμε $\displaystyle{m,\,M\,}$ τον μικρότερο αριθμό από τους c_1

και τον μεγαλύτερο αριθμό απότους c_2

για τους οποίους ισχύει η (1)

η πιο τυπικά αντιστοίχως το $\displaystyle{\inf }$ των $\displaystyle{{c_1}}$ $\displaystyle{ \in \left[ {a,\,b} \right]}$ για τα οποία υπάρχει $\displaystyle{{c_2} \in ({c_1},\,b]}$ ώστε να ισχύει η $\displaystyle{\left( 1 \right)\,\,}$ και το $\displaystyle{\sup }$ των $\displaystyle{{c_2}}$ $\displaystyle{ \in \left[ {a,\,b} \right]}$ για τα οποία υπάρχει $\displaystyle{{c_1} \in [,\,{c_2}]}$ ώστε να ισχύει η $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ .
Θα είναι $\displaystyle{a < m < M < b}$ και λόγω συνεχείας θα είναι
$\displaystyle{f\left( {\left[ {a,\,b} \right]} \right) = \left[ {f\left( m \right),\,f\left( M \right)} \right]}$
οπότε και
$\displaystyle{f\left( m \right) \le f\left( b \right) < f\left( a \right) \le f\left( M \right)}$
Θεωρούμε το διάστημα $\displaystyle{\left[ {a,\,m} \right]}$ . Θα πρέπει να υπάρχουν $\displaystyle{c_1^ * ,\,c_2^ * }$ με $\displaystyle{a \le c_1^ * < c_2^ * \le m}$ ώστε
$\displaystyle{\left[ {f\left( {c_1^ * } \right),\,f\left( {c_2^ * } \right)} \right] = f\left( {\left[ {,\,m} \right]} \right)}$
Aρα $\displaystyle{f\left( {c_1^ * } \right) \le f\left( m \right)}$ αλλά και $\displaystyle{f\left( m \right) \le }$ $\displaystyle{f\left( {c_1^ * } \right)}$ . Άρα $\displaystyle{f\left( {c_1^ * } \right) = f\left( m \right)}$ .
Αυτό σημαίνει ότι
$\displaystyle{f\left( {\left[ {a,\,b} \right]} \right) = \left[ {f\left( {c_1^ * } \right),\,f\left( M \right)} \right]}$
πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την ελαχιστική ιδιότητα του $\displaystyle{m}$ .
Μαυρογιάννης

kostas_zervos · #3

Έστω ότι υπάρχουν $x_1\;,\;x_2\in R$ με x_1<x_2

και

.

Τότε υπάρχουν $a_1\;,\;b_1$ με $x_1\leq a_1\leq b_1\leq x_2$ και $f(a_1)\leq f(x_2)<f(x_1)\leq f(b_1)$ .

Έτσι b_1<x_2

και

.

Τότε υπάρχουν $a_1\;,\;b_2$ με $b_1\leq a_2\leq b_2\leq x_2$ και $f(a_2)\leq f(x_2)<f(b_1)\leq f(b_2)$ .

Σχηματίζουμε έτσι την ακολουθία b_n

με

, $b_{n+1}\in[b_n,x_2]$ και $f(b_{n+1})=max\{f(x)/x\in[b_n,x_2]\}$ , άρα $b_n\leq b_{n+1}\leq x_2$ και $f(x_2)<f(b_n)\leq f(b_{n+1})\;(1)$ .

Οι b_n

και

είναι αύξουσες και φραγμένες (η 2η γιατί η

είναι συνεχής στο κλειστό [x_1,x_2]

).
Έστω $a=sup\,b_n$ , τότε $a=\lim b_n$ και επειδή η

είναι συνεχής , θα έχουμε $f(a)=\lim f(b_n)$ . Αφού η f(b_n)

είναι αύξουσα και φραγμένη , θα είναι f(a)=sup f(b_n)

.

Από την (1)

, θα πρέπει a<x_2

, διαφορετικά sup f(b_n)<f(b_n)

(άτοπο).

Άρα υπάρχουν $c_1\;,\;c_2$ με $a\leq c_1\leq c_2<x_2$ και $f(c_1)\leq f(x_2)<f(a)\leq f(c_2)$ . Αλλά $f(a)=sup\{max f(x)/x\in[b_n,x_2]\}$ , άρα πρέπει $f(a)\geq f(c_2)$ , δηλαδή f(c_2)=f(a)

και αφού

θα πρέπει

. ΄
Αλλά τότε c_1=c_2=a

, επομένως f(c_1)=f(c_2)=f(a)=f(x_2)

. ΑΤΟΠΟ.

Έτσι για κάθε x_1<x_2

ισχύει $f(x_1)\leq f(x_2)$ και η

είναι αύξουσα.

#4

Νίκο και Κώστα σας ευχαριστώ

Ας το δούμε και αλλιώς

Με απαγωγή σε άτοπο και εγώ:

Έστω ότι υπάρχουν $\displaystyle{a,b \in \Bbb{R}}$ με $\displaystyle{a<b}$ και $\displaystyle{f(a)>f(b)}$

Ονομάζω $\displaystyle{A}$ , το μη κενό σύνολο $\displaystyle{\{x \in [a,b]/ f(x)=f(a)\}}$

Το σύνολο είναι κλειστό $\displaystyle{f^{-1}\left(\{a\}\right)}$ και φραγμένο (προφανώς), άρα

το $\displaystyle{c=supA}$ υπάρχει και ανήκει στο $\displaystyle{A}$ .

Προφανώς $\displaystyle{c<b}$

Αν υπάρχει $\displaystyle{x \in (c,b]}$ με $\displaystyle{f(x) \ge f(a)=f(c)}$ , τότε από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής

υπάρχει $\displaystyle{d \in (c,b)}$ ώστε $\displaystyle{f(d)=f(c)}$ , άτοπο, γιατί $\displaystyle{c=supA}$

Άρα $\displaystyle{max\{f(x)/c \in [c,b]\}=f(c)}$ , άτοπο.

Αύξουσα

Αύξουσα

Re: Αύξουσα

Re: Αύξουσα

Re: Αύξουσα

Μέλη σε σύνδεση