Κρίσιμα σημεία συνάρτησης

[Γιώργος Ρίζος]

Τοποθετώ το θέμα εδώ κι όχι σε φάκελο που απευθύνεται και σε μαθητές, θεωρώντας τον πιο κατάλληλο.

Επαναφέρω (μετά από καιρό...) το ερώτημα του συνάδελφου Νίκου Καντιδάκη από εδώ, παρατηρώντας ότι οι ορισμοί των Πανεπιστημιακών βιβλίων (π.χ. Spivac 4η έκδοση) ταιριάζουν περισσότερο σ' αυτό που ονομάζαμε στην 1η Δέσμη ως Στάσιμο σημείο.

Θέλω να προσθέσω ακόμα ένα σχετικό ερώτημα:

Ο ορισμός του σημερινού σχολικού βιβλίου για το κρίσιμο βιβλίο ταυτίζεται με τον ορισμό που υπήρχε και στο βιβλίο 4ης Δέσμης (Ανδρεαδάκης κ.α.), σελ. 216. Σ' αυτόν τον ορισμό δεν απαιτείται η να είναι συνεχής στα κρίσιμα σημεία της.

Μάλιστα, στη σελίδα 217, στο θεώρημα φαίνεται ξεκάθαρα ότι η απαίτηση να είναι συνεχής η στο σημείο αυτό τίθεται ως επιπλέον προϋπόθεση.

28-01-2014 Ανάλυση b.jpg (107.73 KiB) Προβλήθηκε 8276 φορές

Όμως, στο αντίστοιχο βιβλίο (της ίδιας εποχής) της 1ης Δέσμης (Παντελίδης κ.α) δίνεται ως προϋπόθεση η συνέχεια της για να οριστεί ένα σημείο ως κρίσιμο.

28-01-2014 Ανάλυση a.jpg (17.34 KiB) Προβλήθηκε 8276 φορές

Θα χαιρόμουν να διαβάσω τις απόψεις σας σχετικά με το αν νομίζετε θα εξυπηρετούσε ή όχι τα Σχολικά Μαθηματικά (και τη διδασκαλία τους) η απαίτηση της συνέχειας σε σημείο για να οριστεί αυτό ως κρίσιμο σημείο.

Π.χ. νομίζετε ότι θα ωφελούσε το άνοιγμα σχετικής συζήτησης στην τάξη; Θα ζητούσατε από μαθητές να σχεδιάσουν μια συνάρτηση μη συνεχή σε σημείο εσωτερικό διαστήματος, το οποίο να είναι κρίσιμο σημείο της;

edit προς Επιμελητές σχετικών φακέλων: Αν νομίζετε ότι δεν χρειάζεται η σχετική συζήτηση εδώ να ενσωματωθεί σε τούτη τη συζήτηση, θα αναρτήσω ένα σύνδεσμο για να μη χαθεί η "συνέχεια" της συζήτησης. Είναι, νομίζω, κρίσιμο αυτό το σημείο

[Μπάμπης Στεργίου]

Γιώργο, με έχει απασχολήσει και μένα το ζήτημα από την εποχή των δεσμών ακόμα.

Λοιπόν, γιατί να υιοθετήσουμε έναν επιπλέον ορισμό στην ανάλυση , αν αυτός δεν καλύπτει το λόγο για τον οποίο γεννήθηκε ; Ο βασικός λόγος για να γεννηθεί ο όρος ''κρίσιμο σημείο '' είναι ασφαλώς για να συμπεριλάβει τις πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας συνάρτησης και μόνο. Αυτές οι θέσεις είναι :

Τα κλειστά άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού, τα σημεία μηδενισμού της παραγώγου και τα σημεία που δεν υπάρχει παράγωγος.

Η συνέχεια της συνάρτησης είναι τελείως περιττή προϋπόθεση , όπως όλοι καταλαβαίνουν .Ο ορισμός κατά την άποψή μου θα έπρεπε να είναι ο παραπάνω, χωρίς αφαιρέσεις ή προσθέσεις άλλων δεδομένων.Ωστόσο , στη βιβλιογραφία βλέπουμε, όπως ανέφερες, αποκλίσεις.Φαίνεται ότι ο όρος ''κρίσιμος '' έχει φυσική μάλλον προέλευση και ως εκ τούτου μερικοί(Spivak) ως τέτοια σημεία εκλαμβάνουν μόνο τις ρίζες της παραγώγου(σημεία που μηδενίζεται η ταχύτητα). Οι Thomas -Finney έχουν άλλον ορισμό. Ο Piskunov σε άλλο βιβλίο του τα μπερδεύει, λέγοντας αρχικά πως κρίσιμα είναι μόνο τα σημεία που έχουμε παράγωγο μηδέν ή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής (πολύ άστοχο το βρίσκω).Στη συνέχεια όμως γράφει ότι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων είναι σίγουρα κρίσιμα σημεία, χωρίς να ισχύει το αντίστροφο.

Όπως όμως έγραψα παραπάνω, οι μαθηματικοί πρέπει με τον όρο '' κρίσιμα σημεία'' να συμπεριλάβουν και τα τρία είδη σημείων(για τυχαία συνάρτηση) έτσι ώστε να αναζητάμε τα τοπικά ακρότατα μόνο σε αυτά και πουθενά αλλού. Αλλιώς, ο όρος κρίσιμος χάνει τη σημασία του και εισάγουμε όρους που δεν μας χρειάζονται πουθενά .

Από διδακτική άποψη δε νομίζω ότι θα προσφέρει κάτι στην τάξη μια σχετική συζήτηση. Ο μαθητής ας μάθει τον σημερινό ορισμό και ας μην κουρασθεί για πράγματα που δεν τον αφορούν ούτε και τον οφελούν .

Μπάμπης

[Theoxaris Malamidis]

Βασικά εμένα μου γεννιέται η εξής απορία από τα παραπάνω ας πούμε λέμε ότι κρίσιμο σημείο είναι το σημείο όπου δεν υπάρχει η παράγωγος επίσης αυτό το σημείο το λένε και γωνιακό.. Ποιο από τα δύο είναι πιο σωστό να το λέμε γωνιακό ή κρίσιμο σημείο;

[Μπάμπης Στεργίου]

Βασικά εμένα μου γεννιέται η εξής απορία από τα παραπάνω ας πούμε λέμε ότι κρίσιμο σημείο είναι το σημείο όπου δεν υπάρχει η παράγωγος επίσης αυτό το σημείο το λένε και γωνιακό.. Ποιο από τα δύο είναι πιο σωστό να το λέμε γωνιακό ή κρίσιμο σημείο;

Θεοχάρη, τον όρο γωνιακό σημείο τον είχαμε γνωρίσει παλιά για σημεία που δεν έχουμε καμπή, για το λόγο ότι οι ημιεφαπτόμενες δεν είναι αντικείμενες ημιευθείες.Εκεί έχουμε συνεχή συνάρτηση , εσωτερικά σημεία κλπ .Είναι λοιπόν άλλο πράγμα το γωνιακο σημείο.

Τα κρίσιμα σημεία, στον μισό αιώνα ζωής μου και κάτι, τα συναντάμε μόνο στη μελέτη των ακροτάτων, τοπικών ή ολικών.Προσοχή όμως, διότι και στον όρο κρίσιμο σημείο το σχολικό βιβλίο εξαιρεί τα κλειστά άκρα των διαστημάτων.

Η ερώτησή σου, όπως είναι γρήγορα διατυπωμένη , με φοβίζει κάπως και θα ήθελα να βοηθήσουμε να το ξεκαθαρίσεις , αν χρειάζεται . Πάντως τον όρο ''γωνιακό σημείο'' ξέχασέ τον για την ώρα .Αυτή είναι η φιλική μου πρόταση . Δεν υπάρχει πουθενά στα σημερινά σχολικά βιβλία, ούτε έχει κάποια σχέση με τα κρίσιμα σημεία.Ούτε και θα τον χρειαστείς κάπου, αφού σε θέματα κυρτότητας θα έχεις δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Μπάμπης

[Γιώργος Ρίζος]

Ευχαριστώντας τον Μπάμπη για την άμεση απάντησή του,

παραθέτω και την άποψη του Θωμά, ΕΔΩ, που εντοπίζει την αναγκαιότητα εξασφάλισης της συνέχειας, εφόσον αναφερόμαστε σε
ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο διαστήματος.

Επιτρέψτε μου να επαναφέρω το ερώτημα:
Θα ζητούσατε από μαθητές να σχεδιάσουν μια συνάρτηση μη συνεχή σε σημείο εσωτερικό διαστήματος, το οποίο να είναι κρίσιμο(*) σημείο της; ή μάλλον, τι θα κάνατε αν σάς το ζητούσε μαθητής;

(*) κατά τον "ισχύοντα" σχολικό ορισμό.

[chris_gatos]

Καλησπέρα Γιώργο.
Να συμφωνήσω κι εγώ με τον Μπάμπη λέγοντας πως δε θα είχε και τόση σημασία να το παρουσιάσω μέσα στην τάξη.
Αν ήθελε κάποιος μαθητής θα του έκανα ως παράδειγμα μία καμπύλη "τμηματικά συνεχή" στο διάστημα με "τρύπα" και το υλικό της τρύπας να έχει εκτοξευθεί προς τα πάνω κατά προτίμηση.
Κάπως έτσι:

[Τηλέγραφος Κώστας]

Καλησπέρα στην παρέα , να πω και εγώ την άποψη μου, σε αυτό το πολύ σημαντικό θέμα .

Στους ορισμούς των σχολικών της 1ης και 4ης δέσμης δεν βλέπω καμία διαφορά.

Στην σελίδα 216 του σχολικού δίνεται ο ορισμός του κρίσιμου σημείου .

Στην σελίδα 217 έχουμε ένα θεώρημα για το πότε ένα κρίσιμο σημείο μιας συνεχούς συνάρτησης είναι ακρότατο .

Δεν μας δίνει όμως, καμία πληροφορία για τα κρίσιμα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι ασυνεχής και κατά συνέπεια δεν είναι παραγωγίσιμη .

Στα σημεία ασυνέχειας ,βρίσκοντας τα όρια δεξιά και αριστερά και ελέγχοντας αν πληρείται ο ορισμός των τοπικών ακρότατων, απαντάμε στο ερώτημα αν έχουμε ακρότατα .

Πάντως είναι καλυτέρα σαν κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης να αναφέρονται

1ο Τα κλειστά άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού,
2ο τα σημεία ασυνέχειας
3ο τα σημεία μηδενισμού της παραγώγου
4ο και τα σημεία που είναι συνεχής και δεν υπάρχει παράγωγος.

Και να τονίζεται ότι ο πίνακας πρόσημου της πρώτης παραγώγου και μεταβολών της συνάρτησης μας δίνει ακρότατα μόνο για τα σημεία που η συνάρτηση μας είναι συνεχής
Δυο ορισμοί ακόμη

 Γωνιακό ή αιχμηρό σημείο , είναι το σημείο που αν <<χάιδευες>> την γραφική παράσταση της συνάρτησης θα κοβόσουν.
 Στάσιμο είναι το σημείο που αν περπατούσες πάνω στην γραφική παράσταση μια συνάρτησης θα σταματούσες