Ύπαρξη διαστήματος

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ύπαρξη διαστήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 06, 2018 12:10 am

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b).

Επίσης, έστω k\in (a,b). Να δείξετε ότι:

αν {f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b)) και {f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b)) τότε υπάρχουν

c,d\in (a,b) τέτοιοι, ώστε c<k<d και επιπλέον {f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.

Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι λάθος. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία. Ευχαριστώ τον κ.Δημήτρη Σκουτέρη που μου το επισήμανε. Θα επανέλθω αν καταφέρω να το διορθώσω

Διορθωμένη

Να αφαιρεθεί η συνθήκη c<k<d. Άρα

αν {f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b)) και {f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b)) τότε υπάρχουν

c,d\in (a,b) τέτοιοι, ώστε {f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.



Λέξεις Κλειδιά:
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 12:10 am
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b).

Επίσης, έστω k\in (a,b). Να δείξετε ότι:

αν {f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b)) και {f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b)) τότε υπάρχουν

c,d\in (a,b) τέτοιοι, ώστε c<k<d και επιπλέον {f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.

Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι λάθος. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία. Ευχαριστώ τον κ.Δημήτρη Σκουτέρη που μου το επισήμανε. Θα επανέλθω αν καταφέρω να το διορθώσω

Διορθωμένη

Να αφαιρεθεί η συνθήκη c<k<d. Άρα

αν {f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b)) και {f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b)) τότε υπάρχουν

c,d\in (a,b) τέτοιοι, ώστε {f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.
Αν (x_1,x_2) το ευρύτερο δυνατό διάστημα : a<x_1<x_2<b και f'(x_1)=inf(f'(x)),f'(x_2)=sup(f'(x))(ή και ανάποδα )
τότε ορίζουμε f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} και f_2(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x} για x\in(x_1,x_2)
Aπό την συνέχεια των f_1,f_2 και από ΘΜΤ έχουμε ότι
για f'(k) με f'(x_1)<f'(k)<f'(x_2) \exists c,d με [c,d]\subseteq [x_1,x_2]: {f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}

Αν το ευρύτερο διάστημα(x_1,x_2) επιτυγχάνεται για x_1\in (a,a+\delta ) , x_2\in (b-\delta,b )
και αφού inf(f'(x))< f'(k)<sup(f'(x))\Rightarrow f'(x_1)<f'(k)<f'(x_2)
τότε \exists \xi _1,\xi _2 :f'(\xi _1)<f'(k)<f'(\xi _2) με a<\xi _1<\xi _2<b
με την ίδια λογική που ορίσαμε f_1,f_2 προκύπτει το ζητούμενο
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Σάβ Ιαν 06, 2018 11:20 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 06, 2018 10:36 pm

mikemoke έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm

Αν (x_1,x_2) το ευρύτερο δυνατό διάστημα : a<x_1<x_2<b και f'(x_1)=inf(f'(x)),f'(x_2)=sup(f'(x))(ή και ανάποδα )
Γιατί το sup και το inf πιάνονται;


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Ιαν 06, 2018 11:17 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 10:36 pm
mikemoke έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm

Αν (x_1,x_2) το ευρύτερο δυνατό διάστημα : a<x_1<x_2<b και f'(x_1)=inf(f'(x)),f'(x_2)=sup(f'(x))(ή και ανάποδα )
Γιατί το sup και το inf πιάνονται;
Mπορεί και να μην πιάνονται είναι στην δεύτερη παράγραφο . Μιλάω για την περιπτώση που πιάνοντα και τα 2 και για αυτήν που δεν πιάνεται κανένα. Ομοίως θα εργαζόμασταν και στις υπόλοιπες.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 06, 2018 11:50 pm

Καλή χρονιά mikemoke.

Ομολογώ ότι δεν μου είναι ξεκάθαρη η λύση σου. Συγκεκριμένα λες
mikemoke έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
ορίζουμε f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} και f_2(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x} για x\in(x_1,x_2)
Επικαλείσαι τη συνέχεια αυτών και κάνεις ΘΜΤ (που;;;) για να πάρεις το ζητούμενο. Θα δώσει το ΘΜΤ το συγκεκριμένο k;

Στη δεύτερη περίπτωση πάλι θεωρείς ότι πιάνονται τα sup και inf αφού γράφεις
mikemoke έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Αν το ευρύτερο διάστημα(x_1,x_2) επιτυγχάνεται για x_1\in (a,a+\delta ) , x_2\in (b-\delta,b )
και μετά {f}'(x_{1})<{f}'(k)<{f}'(x_{2}).


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Ιαν 07, 2018 1:33 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:50 pm
Καλή χρονιά mikemoke.

Ομολογώ ότι δεν μου είναι ξεκάθαρη η λύση σου. Συγκεκριμένα λες
mikemoke έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
ορίζουμε f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} και f_2(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x} για x\in(x_1,x_2)
Επικαλείσαι τη συνέχεια αυτών και κάνεις ΘΜΤ (που;;;) για να πάρεις το ζητούμενο. Θα δώσει το ΘΜΤ το συγκεκριμένο k;

Στη δεύτερη περίπτωση πάλι θεωρείς ότι πιάνονται τα sup και inf αφού γράφεις
mikemoke έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Αν το ευρύτερο διάστημα(x_1,x_2) επιτυγχάνεται για x_1\in (a,a+\delta ) , x_2\in (b-\delta,b )
και μετά {f}'(x_{1})<{f}'(k)<{f}'(x_{2}).
Για την f_1 στο (x_1,x) και για την f_2 στο (x,x_2).Με το ΘΜΤ αντιστοιχίζω κάθε τιμή των συνόλων τιμών των f_1,f_2 με μία τιμή του συνόλου τιμών της f'.

Ναι υπάρχει λάθος διατύπωση. Διόρθωση για το δεύτερο μέρος.

Αν το το ευρύτερο διάστημα είναι το (a,b) τότε
inf(f'(x))\leq \lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x) και   \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\leq sup(f'(x)) (τα όρια μπορεί να μην υπάρχουν)

Άρα inf(f'(x))=inf(lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)) και  sup(f'(x))=sup( \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x))

Άρα inf(lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x))<f'(k)<sup( \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x))

Τότε \exists \xi _1,\xi _2 :f'(\xi _1)<f'(k)<f'(\xi _2) με a<\xi _1<\xi _2<b (από Darboux)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 08, 2018 10:46 pm

mikemoke έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 1:33 am
Για την f_1 στο (x_1,x) και για την f_2 στο (x,x_2).Με το ΘΜΤ αντιστοιχίζω κάθε τιμή των συνόλων τιμών των f_1,f_2 με μία τιμή του συνόλου τιμών της f'.
Τι σου λέει ότι αυτή η αντιστοίχιση είναι επί.
Στην ουσία αυτό ζητείται να αποδειχθεί.
Η ιδέα σου είναι στην σωστή κατεύθυνση αλλά πρέπει να την υλοποιήσεις.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Τετ Ιαν 10, 2018 11:46 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 08, 2018 10:46 pm
mikemoke έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 1:33 am
Για την f_1 στο (x_1,x) και για την f_2 στο (x,x_2).Με το ΘΜΤ αντιστοιχίζω κάθε τιμή των συνόλων τιμών των f_1,f_2 με μία τιμή του συνόλου τιμών της f'.
Τι σου λέει ότι αυτή η αντιστοίχιση είναι επί.
Στην ουσία αυτό ζητείται να αποδειχθεί.
Η ιδέα σου είναι στην σωστή κατεύθυνση αλλά πρέπει να την υλοποιήσεις.
Ορίζουμε την f_1 στο (x_1,x_2] και την f_2 στο [x_1,x_2)
\lim_{x\to {x_1}^+}f_1(x)= f'(x_1)=inf(f'(x))
f_1(x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
Άρα από ΘΕΤ (inf(f'(x),sup(f'(x))\supseteq f_1((x_1,x_2])\supseteq (inf(f'(x)),\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}]

ομοίως για f_2 ισχύει ότι (inf(f'(x),sup(f'(x))\supseteq f_2([x_1,x_2))\supseteq [\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},sup(f'(x)))

inf(f'(x))<f'(k)<sup(f'(x))

Άρα από ΘΜΤ f'(x_1,x_2)=f_1((x_1,x_2])\cup f([x_1,x_2))=(inf(f'(x)),sup(f'(x)))

Σημ: Μπορεί να αποδειχθεί και το Darboux έτσι.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 11, 2018 10:21 pm

Από τον ορισμό του sup,inf υπάρχουν x_{1},x_{2}

στο διάστημα με f'(x_{1})< f'(k)< f'(x_{2})

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι x_{1}< x_{2}

Ορίζουμε την f_{1}:[x_{1},x_{2}]\rightarrow \mathbb{R}

με f_{1}(x_{1})=f'(x_{1}) και f_{1}(x)=\dfrac{f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}},x\in (x_{1},x_{2}]

η οποία είναι συνεχής

1)περίπτωση.
Είναι f'(k)\leq f_{1}(x_{2})

Από το Θ.Ε.Τ υπάρχει t\in (x_{1},x_{2}]

με f_{1}(t)=\dfrac{f(t)-f(x_{1})}{t-x_{1}}=f'(k)

2)περίπτωση f'(k)>f_{1}(x_{2})

δηλαδή f'(k)> \dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}

Θεωρούμε την f_{2}:[x_{1},x_{2}]\rightarrow \mathbb{R}

με f_{2}(x_{2})=f'(x_{2})

και f_{2}(x)=\dfrac{f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}},x\in [x_{1},x_{2})

η οποία είναι συνεχής.

Επειδή f_{2}(x_{1})< f'(k)< f_{2}(x_{2})

το Θ.Ε. Τ μας δίνει οτι υπάρχει t\in (x_{1},x_{2})

με f_{2}(t)=\dfrac{f(t)-f(x_{2})}{t-x_{2}}=f'(k)


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ύπαρξη διαστήματος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιαν 11, 2018 10:41 pm

Ευχαριστώ και τους δύο για τη συμμετοχή. Επισυνάπτω το άρθρο απ'όπου την πήρα. Έχει και ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα.
Συνημμένα
A Converse of the Mean Value Theorem.pdf
(216.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 10 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης