Σύνθεση Κυρτών Συναρτήσεων

#1

'Εστω $f:\Delta \rightarrow \mathbb{R}$ , $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ δύο κυρτές συναρτήσεις με την

να είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδειχθεί ότι η $g\circ f$ είναι κυρτή.
Σημείωση 1. Ο ορισμός της κυρτότητας είναι εκείνος του σχολικού βιβλίου σελίδα 273. Επομένως οι δύο συναρτήσεις δεν υποτίθενται δύο φορές παραγωγίσιμες.
Σημείωση 2. 'Ισως την έχουμε ξαναδεί. Σε μία τέτοια περίπτωση θα την αποσύρω.
Σημείωση 3. Παράκληση αν κάποιος έχει κάποια ιδέα αλλά όχι λύση ας την αναρτήσει αφού δοθεί λύση.
Μαυρογιάννης

#2

....μια προσεγγιση στο θέμα του Νίκου αν και λίγο αργά....

Αφού η

κυρτή στο $\Delta$ η {f}'

θα είναι γνήσια αύξουσα στο $\Delta$ και έστω ότι

1) ${f}'(x)\ge 0$ τότε γιά με ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in \Delta$ και ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ θα ισχύουν $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ και $0\le {f}'({{x}_{1}})<{f}'({{x}_{2}})$ και επίσης αφού

γνήσια αύξουσα

$0\le {g}'(f({{x}_{1}}))<{g}'(f({{x}_{2}}))$ άρα με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε $0\le {g}'(f({{x}_{1}})){f}'({{x}_{1}})<{g}'(f({{x}_{2}})){f}'({{x}_{2}})\Leftrightarrow (g\circ f{)}'({{x}_{1}})<(g\circ f{)}'({{x}_{2}})$

δηλαδή $(g\circ f{)}'$ γνήσια αύξουσα άρα $g\circ f$ κυρτή

2) Αν ${f}'(x)\le 0$ τότε γιά με ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in \Delta$ και ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ θα ισχύουν $f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ και ${f}'({{x}_{1}})<{f}'({{x}_{2}})\le 0\Leftrightarrow -{f}'({{x}_{1}})>-{f}'({{x}_{2}})\ge 0$ και επίσης

αφού

γνήσια αύξουσα ${g}'(f({{x}_{1}}))>{g}'(f({{x}_{2}}))\ge 0$ άρα με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε

$-{g}'(f({{x}_{1}})){f}'({{x}_{1}})>-{g}'(f({{x}_{2}})){f}'({{x}_{2}})\ge 0\Leftrightarrow (g\circ f{)}'({{x}_{1}})<(g\circ f{)}'({{x}_{2}})$ δηλαδή $(g\circ f{)}'$ γνήσια αύξουσα άρα $g\circ f$ κυρτή

3) Αν τώρα παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο ${{x}_{0}}\in \Delta$ ελάχιστο δηλαδή για $x<{{x}_{0}}$ είναι ${f}'(x)\le 0$

και για $x>{{x}_{0}}$ είναι ${f}'(x)\ge 0$ για ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le {{x}_{0}}$ και για ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\ge {{x}_{0}}$ όπως προηγούμενα και για ${{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}$ θα είναι πάλι

${g}'(f({{x}_{1}})){f}'({{x}_{1}})<{g}'(f({{x}_{0}})){f}'({{x}_{0}})<{g}'(f({{x}_{2}})){f}'({{x}_{2}})$ άρα

${g}'(f({{x}_{1}})){f}'({{x}_{1}})<{g}'(f({{x}_{2}})){f}'({{x}_{2}})$ δηλαδή και σε αυτή την περίπτωση $(g\circ f{)}'$ γνήσια αύξουσα άρα $g\circ f$ κυρτή

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Καληνύχτα...

#3

Bασίλη σε ευχαριστώ για την ενασχόληση και την ωραία λύση που έδωσες η οποία έχει το πλεονέκτημα πως είναι και άμεσα διδάξιμη.
Η απόδειξη που είχα κατά νου δεν είναι αυτόνομη αλλά χρησιμοποιεί την πρόταση (που έχω την εντύπωση ότι κάπου την έχουμε αναφέρει στο παρελθόν):

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα $\Delta$ . Οι εξής συνθήκες είναι ισοδύναμες:
1) Η είναι κυρτή.
2*) Για κάθε $x \neq y$ από το $\Delta$ και κάθε $p \neq q$ από το με ισχύει
.

Η απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $x \neq y$ από το $\Delta$ και κάθε $p \neq q$ από το (0,1)

με

ισχύει $(g\circ f)(px+qy)<p(g\circ f)(x)+q(g\circ f)(y)$ .
Πράγματι είναι
f(px+qy)<pf(x)+qf(y)

(

κυρτή)

(

γνησίως αύξουσα)
$g(pf(x)+qf(y)) \leq pg(f(x))+qg(f(y))$ (

κυρτή, το

μπαίνει διότι ενδέχεται f(x)=f(y)

)

*H ανισότητα του 2) είναι γνωστή και σαν ανισότητα Jensen. Η συνθήκη 2) (χωρίς την υπόθεση της παραγωγισιμότητας της

) αποτελεί και ένα πιο γενικό ορισμό της κυρτής συνάρτησης.

Μαυρογιάννης

Σύνθεση Κυρτών Συναρτήσεων

Σύνθεση Κυρτών Συναρτήσεων

Re: Σύνθεση Κυρτών Συναρτήσεων

Re: Σύνθεση Κυρτών Συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση