Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες
$f^{\prime}(x+g(y))=g(x)+y, \forall x,y \in \mathbb{R}$

#2

Μία λύση:

Παραγωγίζουμε τη δοθείσα πρώτα ως προς

και μετά ως προς

, οπότε λαμβάνουμε αντίστοιχα

$\displaystyle{f^{\prime \prime}(x+g(y))=g^{\prime}(x),}$

$\displaystyle{f^{\prime \prime}(x+g(y))g^{\prime}(y)=1.}$

Επομένως, $\displaystyle{g^{\prime}(x)g^{\prime}(y)=1,}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}$

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι

$\displaystyle{g^{\prime}(x)=1,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R},}$ ή $\displaystyle{g^{\prime}(x)=-1,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε $\displaystyle{g(x)=x+c,}$ και από την αρχική βρίσκουμε $\displaystyle{f^{\prime}(x+y+c)=x+y+c,}$

για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ , δηλαδή $\displaystyle{f^{\prime}(x)=x,}$ οπότε $\displaystyle{f(x)=\frac{x^2}{2}+c_{1}.}$

Εργαζόμενοι, ανάλογα για τη 2η περίπτωση, έχουμε $\displaystyle{g(x)=-x+c}$ , και η αρχική δίνει

$\displaystyle{f^{\prime}(x-y+c)=-x+y+c,}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$

άρα για y=0

προκύπτει $\displaystyle{f^{\prime}(x+c)=-x+c}$ ή αλλιώς $\displaystyle{f^{\prime}(x)=2c-x,}$ οπότε $\displaystyle{f(x)=2cx-\frac{x^2}{2}+c_{2}.}$

Παρατηρούμε, τέλος, ότι και τα δύο ζευγάρια συναρτήσεων που βρέθηκαν, ικανοποιούν την αρχική.

#3

Αν δεν κάνω λάθος, το ίδιο συμπέρασμα έχουμε όταν η

είναι απλά μια πραγματική συνάρτηση.
Ωραία άσκηση!

#4

socrates έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος, το ίδιο συμπέρασμα έχουμε όταν η είναι απλά μια πραγματική συνάρτηση.
Ωραία άσκηση!

Ας το δούμε και με αυτή τη συνθήκη...

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση