Αρχική 1

#1

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , μονότονη συνάρτηση για την οποία υπάρχει περιττός θετικός ακέραιος

, ώστε η

έχει αρχική (διευκρίνηση f^n(x)=(f(x))^n

). Να αποδειχθεί ότι η

έχει το πολύ ένα σημείο ασυνέχειας. (Το ίδιο ισχύει και αν ο

είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος, αλλά διάλεξα το περιττός για λόγους ευκολίας)

#2

έστω $\displaystyle{x_0 \in R}$
στο $\displaystyle{(x_0,x)}$ η $\displaystyle{f^n=g'}$ έχει την ιδιότητα Darboux και είναι μονότονη
άρα είναι συνεχής
και όμοια στο $\displaystyle{(x,x_0)}$

Άρα η $\displaystyle{f^n}$ είναι συνεχής στο R εκτός ίσως του $\displaystyle{x_0}$
Συνεπώς και η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο R εκτός ίσως του $\displaystyle{x_0}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

R BORIS έγραψε:έστω $\displaystyle{x_0 \in R}$
στο $\displaystyle{(x_0,x)}$ η $\displaystyle{f^n=g'}$ έχει την ιδιότητα Darboux και είναι μονότονη
άρα είναι συνεχής
και όμοια στο $\displaystyle{(x,x_0)}$

Άρα η $\displaystyle{f^n}$ είναι συνεχής στο R εκτός ίσως του $\displaystyle{x_0}$
Συνεπώς και η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο R εκτός ίσως του $\displaystyle{x_0}$

Αφού το $\displaystyle{x_0}$ είναι οποιοδήποτε η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$

Οταν το

είναι άρτιος η απόδειξη διαφοροποιείται γιατί η $\displaystyle{f^n}$ δεν είναι σίγουρα μονότονη.

Αρχική 1

Αρχική 1

Re: Αρχική 1

Re: Αρχική 1

Μέλη σε σύνδεση