Ερώτημα για τις ρίζες πολυωνύμων

PanosG · #1

Αν για ένα μη μηδενικό πολυώνυμο P(x)

με πραγματικούς ακέραιους συντελεστές ισχύει P(a)P(b)<0

με

τότε μεταξύ των

και

θα υπάρχει περιττό πλήθος ριζών του P(x)

αν υπολογίζουμε και το βαθμό πολλαπλότητας των ριζών;

#2

PanosG έγραψε:Αν για ένα μη μηδενικό πολυώνυμο με πραγματικούς ακέραιους συντελεστές ισχύει με τότε μεταξύ των και θα υπάρχει περιττό πλήθος ριζών του αν υπολογίζουμε και το βαθμό πολλαπλότητας των ριζών;

Ναι ισχύει:

Αν $\displaystyle{r_1, ..., r_k$ (όλες) οι ρίζες του

στο

τότε
$\displaystyle{p(x) = (x-r_1)^{n_1}\cdot...\cdot(x-r_k)^{n_k}g(x)$ όπου το

δεν έχει ρίζες στο [a,b]

.

Άρα το

διατηρεί το πρόσημό του στο διάστημα αυτό. Χωρίς βλάβη $\displaystyle{g(a)>0, g(b) >0$ (όμοια το

).

Επειδή κάθε παράγοντας του $\displaystyle{p(b) = (b-r_1)^{n_1}\cdot...\cdot(b-r_k)^{n_k}g(b)$ είναι θετικός, έχουμε p(b)>0

.
Άρα

. Αλλά τότε
$\displaystyle{(a-r_1)^{n_1}\cdot...\cdot(a-r_k)^{n_k}g(a)<0$ (*).

Αφού κάθε όρος του γινομένου $\displaystyle{(a-r_1)^{n_1}\cdot...\cdot(a-r_k)^{n_k}$ είναι αρνητικός, σημαίνει λόγω της (*) και της g(a)>0

, ότι το πλήθος τους είναι περιττό. Δηλαδή n_1 + ... + n_k

= περιττός, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ερώτημα για τις ρίζες πολυωνύμων

Ερώτημα για τις ρίζες πολυωνύμων

Re: Ερώτημα για τις ρίζες πολυωνύμων

Μέλη σε σύνδεση